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浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理


第六节

正弦定理和余弦定理

1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 = = =2R.(R 为△ABC 外接圆 sin A sin B sin C 半径) 余弦定理

a

b

c

a2=b2+c2-2bc·cos_A; b2=c2+a2-2ca·cos_B; c2=a2+b2-2ab·cos_C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ca
cos C=

内容

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 变形 形式 (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R (1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条 解决 问题 边; (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其 他两角 2.三角形常用面积公式 1 (1)S= a·ha(ha 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2

a

b

c

a2+b2-c2 2ab

(1)已知三边求各角; (2)已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两个角

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC 中,若 A>B,则必有 sin A>sin B.(
2 2 2

) ) )

(2)在△ABC 中,若 b +c >a ,则△ABC 为锐角三角形.(

(3)在△ABC 中,若 A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=45°或 135°.(

a a+b-c (4)在△ABC 中, = .( sin A sin A+sin B-sin C

)

1

[解析] (1)正确.A>B?a>b?sin A>sin B. (2)错误.由 cos A=

b2+c2-a2 >0 知,A 为锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形. 2bc

(3)错误.由 b<a 知,B<A. (4)正确.利用 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知结论正确. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 C B.直角三角形 D.不能确定
2 2 2

)

[由正弦定理,得 =sin A, =sin B, =sin C,代入得到 a +b <c ,由余弦 2R 2R 2R

a

b

c

2

2

2

定理得 cos C=

a2+b2-c2 <0,所以 C 为钝角,所以该三角形为钝角三角形.] 2ab

2 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 5,c=2,cos A= ,则 b 3 =( ) A. 2 C.2 D B. 3 D.3

2 2 [由余弦定理得 5=b +4-2×b×2× , 3

1 解得 b=3 或 b=- (舍去),故选 D.] 3 π 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= ,a=1,b= 3,则 6

B=________. 【导学号:51062120】
π 2π 或 3 3

a b 3 π 2π [由正弦定理 = ,代入可求得 sin B= ,故 B= 或 B= .] sin A sin B 2 3 3

5.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 2 3 [由题意及余弦定理得 cos A=

b2+c2-a2 c2+16-12 1 = = ,解得 c=2,所以 S= 2bc 2×4×c 2

1 1 bcsin A= ×4×2×sin 60°=2 3.] 2 2

利用正、余弦定理解三角形

2

3π 在△ABC 中,∠BAC= ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 4 的长. [解] 设△ABC 的内角∠BAC,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos∠BAC 3π 2 2 =(3 2) +6 -2×3 2×6×cos 4 =18+36-(-36)=90, 所以 a=3 10.6 分 又由正弦定理得 sin B= π 由题设知 0<B< , 4 所以 cos B= 1-sin B=
2 2 2 2

bsin∠BAC 3 10 = = , a 3 10 10

1 3 10 1- = .10 分 10 10

在△ABD 中,因为 AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π -2B, 故由正弦定理得

AD=

AB·sin B 6sin B 3 = = = 10.14 分 sin?π -2B? 2sin Bcos B cos B

[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式, 只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦 定理通过约分达到解决问题的目的. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须 判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用. [变式训练 1] (1)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边, 且(b-c)(sin

B+sin C)=(a- 3c)sin A,则角 B 的大小为(
A.30° C.60°

)

B.45° D.120°

4 5 (2)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 5 13

b=________.
(1)A (2) 21 13 [(1)由正弦定理

a
sin A



b
sin B
2



c
sin C
2 2

及(b-c)·(sin B+sin C)=(a
2 2 2

- 3c)sin A 得(b-c)(b+c)=(a- 3c)a,即 b -c =a - 3ac,∴a +c -b = 3ac.又 ∵cos B=

a2+c2-b2 3 ,∴cos B= ,∴B=30°. 2ac 2

3

4 5 (2)在△ABC 中,∵cos A= ,cos C= , 5 13 3 12 3 5 4 12 ∴sin A= ,sin C= ,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × 5 13 5 13 5 13 63 = . 65 63 1× 65 21 a b asin B 又∵ = ,∴b= = = .] sin A sin B sin A 3 13 5 判断三角形的形状

(1)(2017·浙江五校二联)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,满 足 acos A=bcos B,则△ABC 的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)(2017·绍兴二模)设角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则“A+B<C”是“△ABC 是 钝角三角形”的( ) )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)D (2)A [(1)因为 acos A=bcos B,由正弦定理得 sin Acos A=sin Bcos B,即

π sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A+2B=π ,即 A=B 或 A+B= ,所以△ABC 为等腰三 2 角形或直角三角形,故选 D. π (2)由 A+B+C=π , A+B<C, 可得 C> , 故三角形 ABC 为钝角三角形, 反之不成立. 故 2 选 A.] [规律方法] 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关 系.(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式;要移项提取公因式,否则会有漏掉一 种形状的可能. [变式训练 2] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 2sin Acos B=sin

C,那么△ABC 一定是(

)
4

A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B

B.等腰三角形 D.等边三角形

[法一:由已知得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即

sin(A-B)=0,因为-π <A-B<π ,所以 A=B. 法二:由正弦定理得 2acos B=c,再由余弦定理得 2a·

a2+c2-b2 2 2 =c? a =b ? a=b.] 2ac

与三角形面积有关的问题

已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积. 【导学号:51062121】 [解] (1)由题设及正弦定理可得 b =2ac.2 分 又 a=b,可得 b=2c,a=2c.
2

a2+c2-b2 1 由余弦定理可得 cos B= = .6 分 2ac 4
(2)由(1)知 b =2ac.8 分 因为 B=90°,由勾股定理得 a +c =b , 故 a +c =2ac,进而可得 c=a= 2.12 分 1 所以△ABC 的面积为 × 2× 2=1.14 分 2 [规律方法] 三角形面积公式的应用方法: 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪 2 2 2 一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [变式训练 3] △ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos
2 2 2 2 2 2

A)=c.
(1)求 C; 3 3 (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 ,求△ABC 的周长. 2 [解] (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即 2cos Csin(A+B)=sin C,3 分 故 2sin Ccos C=sin C.

5

1 π 可得 cos C= ,所以 C= .6 分 2 3 1 3 3 (2)由已知得 absin C= . 2 2 π 又 C= ,所以 ab=6.10 分 3 由已知及余弦定理得 a +b -2abcos C=7, 故 a +b =13,从而(a+b) =25. 所以△ABC 的周长为 5+ 7.14 分
2 2 2 2 2

[思想与方法]

A B C π 1.在解三角形时,应熟练运用内角和定理:A+B+C=π , + + = 中互补和互余 2 2 2 2
的情况,结合诱导公式可以减少角的种数. 2.判定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余 弦)定理实施边、角转换.
6

3.在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. [易错与防范] 1.已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其它边或角.可能有一解、两解、无解. 在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:

A 为锐角

A 为钝角
或直角

图形

关系式 解的 个数

a= bsin A
一解

bsin A< a<b
两解

a≥b

a>b

一解

一解

2.在判定三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,以免漏解. 课时分层训练(二十) 正弦定理和余弦定理

A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B ) B.直角三角形 D.不确定
2

[由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A,
2

∴sin(B+C)=sin A, 即 sin(π -A)=sin A,sin A=sin A. π ∵A∈(0,π ),∴sin A>0,∴sin A=1,即 A= .] 2 2.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )
2 2

【导学号:51062122】 A.有一解 C.无解 C [由正弦定理得 = , sin B sin C B.有两解 D.有解但解的个数不确定

b

c

3 40× 2 bsin C ∴sin B= = = 3>1. c 20
7

∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在.] 3.在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,∠C=120°,则 AC=( A.1 C.3 A
2 2 2

)

B.2 D.4
2

[ 由余弦定理得 AB = AC + BC - 2AC·BC·cos C ,即 13 = AC + 9 - 2AC×3×cos
2

120°,化简得 AC +3AC-4=0,解得 AC=1 或 AC=-4(舍去).故选 A.] 4.(2017·台州二次适应性测试)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

a2+b2-c2=ab= 3,则△ABC 的面积为(
A. 3 4 3 2 [依题意得 cos C=

) B. 3 4 3 2

C. B ×

D.

a2+b2-c2 1 1 1 = , C=60°, 因此△ABC 的面积等于 absin C= × 3 2ab 2 2 2

3 3 = ,故选 B.] 2 4 π 1 5.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sin A=( 4 3 A. 3 10 5 5 B. 10 10 3 10 10 )

C. D

D.

a π [过 A 作 AD⊥BC 于 D,设 BC=a,由已知得 AD= .∵B= ,∴AD=BD,∴BD=AD= 3 4

a
3

2 ,DC= a,∴AC= 3

?a?2+?2a?2= 5a,在△ABC 中,由正弦定理得 ? ? ? ? ?3? ?3 ?
3

5 a 3 a = , sin∠BAC sin 45°

3 10 ∴sin ∠BAC= ,故选 D.] 10 二、填空题 6.(2017·嘉兴模拟)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=__________. 6 3 [由正弦定理可得 15 2
8

10 3 = ,所以 sin B= ,再由 b<a,可得 B 为锐角, 3 3 sin B

所以 cos B= 1-sin B=

2

6 .] 3

7.(2017·青岛模拟)如图 3?6?1 所示,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin 2 2 ∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3

图 3?6?1 3 2 2 [∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD= , 3
2 2

∴在△ABD 中,有 BD =AB +AD-2AB·ADcos∠BAD, 2 2 2 ∴BD =18+9-2×3 2×3× =3, 3 ∴BD= 3.] 8.已知△ABC 中,AB= 3,BC=1,sin C= 3cos C,则△ABC 的面积为________. 3 2 π [由 sin C= 3cos C 得 tan C= 3>0,所以 C= . 3

BC AB 1 3 根据正弦定理可得 = ,即 = =2, sin A sin C sin A 3 2
1 π π 所以 sin A= .因为 AB>BC,所以 A<C,所以 A= ,所以 B= ,即三角形为直角三 2 6 2 角形, 1 3 故 S△ABC= × 3×1= .] 2 2 三、解答题 3 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2,c=5,cos B= . 5 (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值. 【导学号:51062123】 3 2 2 2 [解] (1)因为 b =a +c -2accos B=4+25-2×2×5× =17,所以 b= 17.6 分 5 3 4 (2)因为 cos B= ,所以 sin B= ,10 分 5 5

9

b c 17 5 由正弦定理 = ,得 = , sin B sin C 4 sin C 5
4 17 所以 sin C= .14 分 17 10.(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,m=(sin

B,5sin A+5sin C)与 n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直.
(1)求 sin A 的值; (2)若 a=2 2,求△ABC 的面积 S 的最大值. [解] (1)∵m=(sin B,5sin A+5sin C)与 n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直, ∴m·n=5sin B-6sin Bsin C+5sin C-5sin A=0, 6sin Bsin C 2 2 2 即 sin B+sin C-sin A= .4 分 5 根据正弦定理得 b +c -a = 由余弦定理得 cos A= ∵A 是△ABC 的内角, 4 2 ∴sin A= 1-cos A= .7 分 5 6bc 2 2 2 (2)由(1)知 b +c -a = , 5 ∴ 6bc 2 2 2 2 =b +c -a ≥2bc-a .10 分 5
2 2 2 2 2 2

6bc , 5

b2+c2-a2 3 = . 2bc 5

又∵a=2 2,∴bc≤10. 1 2bc ∵△ABC 的面积 S= bcsin A= ≤4, 2 5 ∴△ABC 的面积 S 的最大值为 4.14 分 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 已知 b=c,a =2b (1-sin A),则 A =( A. C. C ) 3π 4 π 4 [∵b=c,∴B=C.
10
2 2

B. D.

π 3 π 6

π A 又由 A+B+C=π 得 B= - . 2 2 由正弦定理及 a =2b (1-sin A)得 sin A=2sin B(1-sin A), 即 sin A=2sin ?
2 2 2 2 2 2 2 2

?π -A?(1-sin A), ? ? 2 2?
A

即 sin A=2cos (1-sin A), 2 即 4sin cos =2cos (1-sin A), 2 2 2
2

A

2

A

2

A

? 2 ? 整理得 cos ?1-sin A-2sin ?=0, 2? 2?
A
2

A

即 cos (cos A-sin A)=0. 2

2

A

A π A ∵0<A<π ,∴0< < ,∴cos ≠0, 2 2 2
π ∴cos A=sin A.又 0<A<π ,∴A= .] 4 2.(2017·浙江高考冲刺卷(一))在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且

acos C,bcos B,ccos A 成等差数列,则角 B=________;若 b= 3,a+c=3,则△ABC
的面积为________. 【导学号:51062124】 π 3 3 2 [依条件有 acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得 sin Acos C+sin Ccos

A=2sin Bcos B,即 sin(A+C)=2sin Bcos B,则有 sin B=2sin Bcos B,由 sin B≠0,
1 π 得 cos B= ,又 B∈(0,π ),故 B= . 2 3 由余弦定理得 a +c -ac=3,即(a+c) -3ac=3,所以 ac=2, 1 3 则 S△ABC= acsin B= .] 2 2 3.在△ABC 中,cos C 是方程 2x -3x-2=0 的一个根. (1)求角 C; (2)当 a+b=10 时,求△ABC 周长的最小值. 1 2 [解] (1)因为 2x -3x-2=0,所以 x1=2,x2=- .2 分 2 又因为 cos C 是方程 2x -3x-2=0 的一个根, 1 2π 所以 cos C=- ,所以 C= .6 分 2 3
2 2 2 2 2

11

? 1? 2 2 2 2 (2)由余弦定理可得:c =a +b -2ab·?- ?=(a+b) -ab,10 分 ? 2?
则 c =100-a(10-a)=(a-5) +75, 当 a=5 时,c 最小且 c= 75=5 3,此时 a+b+c=10+5 3, 所以△ABC 周长的最小值为 10+5 3.14 分
2 2

12


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