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高三数学第十章圆锥曲线复习学案(教师版)


第十章圆锥曲线

第十章 圆锥曲线 第1节
【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式: 1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆 锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题. 2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲 线的位置关系,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式 出现.该部分题目多数为综合性问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知识 的能力等,属于中、高档题,一般难度较大. 【知识梳理】 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px(p>0)

椭圆、双曲线、抛物线

图形 范围 顶点 对称性 焦点 轴 几何性质 离心率 |x|≤a, |y|≤b (± a,0),(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a, 短轴长 2b c e= = a b2 1- 2 a 实轴长 2a, 虚轴长 2b c e= = a (e>1) b2 1+ 2 a

e=1 p x=- 2

(0<e<1) 准线 渐近线

b y=± x a

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第十章圆锥曲线

【典型题型解析】 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 x2 y2 y2 (1)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的 2 m 3 一个交点,则|PF1|· |PF2|的值等于________. (2)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k=________. 答案 解析 (1)3 2 2 (2) 3

(1)焦点坐标为(0,± 2),由此得 m-2=4,故 m=6.根据椭圆与双曲线的定义可得

|PF1| + |PF2| = 2 6 , ||PF1| - |PF2|| = 2 3 ,两式平方相减得 4|PF1||PF2| = 4×3 ,所以 |PF1|· |PF2|=3. (2)方法一 抛物线 C:y2=8x 的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)(k>0)恒过定点 P(-2,0). 如图,过 A、B 分别作 AM⊥l 于点 M, BN⊥l 于点 N.

由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点 B 为 AP 的中点. 1 连接 OB,则|OB|= |AF|, 2 ∴|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为(1,2 2). 2 2- 0 2 2 ∴k= = . 3 1-?-2? 方法二 如图,由图可知,BB′=BF,AA′=AF, 又|AF|=2|BF|, ∴ |BC| |BB′| 1 = = , |AC| |AA′| 2

即 B 是 AC 的中点.
?2xB=xA-2, ? ∴? 与 ?2yB=yA ?

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第十章圆锥曲线
2 ? ?yA=8xA, ? 2 ?yB=8xB, ?

联立可得 A(4,4 2),B(1,2 2). ∴kAB= 4 2-2 2 2 2 = . 3 4-1 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定 义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点 到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,提倡画出合理草图. x2 y2 3 (1)(2012· 山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2 a b 2 =1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭 圆 C 的方程为 x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 ( )

(2)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B, 交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( A.y2=9x C.y2=3x 答案 解析 (1)D (2)C (1)∵椭圆的离心率为 a2-b2 3 c 3 ,∴ = = , 2 a a 2 B.y2=6x D.y2= 3x )

∴a=2b.∴椭圆方程为 x2+4y2=4b2. ∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x± y=0, ∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为? ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 ∴a2=4b2=20. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 (2)如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定 义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, 2 5 2 5 ? , ? 5 b, 5 b?

2 5 2 5 b× b=4,∴b2=5, 5 5

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∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30° ,∴∠AFx=60° . 连接 A1F,则△AA1F 为等边三角形, 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 的中点, 1 1 3 设 l 交 x 轴于 N,则|NF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,∴抛物线方程为 y2=3x,故 2 2 2 选 C. 考点二 圆锥曲线的几何性质 例2 x2 y2 (1)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交 a b 4 于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |BF|=8, cos∠ABF= , 则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 5 B. 7 4 C. 5 6 D. 7 )

x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支 a b 上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 解析
2

5 (1)B (2) 3 (1)在△ABF 中,由余弦定理得

|AF| =|AB|2+|BF|2-2|AB|· |BF|cos∠ABF, ∴|AF|2=100+64-128=36,∴|AF|=6, 从而|AB|2=|AF|2+|BF|2,则 AF⊥BF. 1 ∴c=|OF|= |AB|=5, 2 利用椭圆的对称性,设 F′为右焦点, 则|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14,a=7. c 5 因此椭圆的离心率 e= = . a 7 (2)设∠F1PF2=θ,
?|PF1|-|PF2|=2a, ? 由? 得 ? ?|PF1|=4|PF2|

?|PF |=3a, ? 2 ?|PF |=3a,
1 2

8

17a2-9c2 17 9 2 由余弦定理得 cos θ= = - e. 8a2 8 8 17 9 ∵θ∈(0,180° ],∴cos θ∈[-1,1),-1≤ - e2<1, 8 8
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第十章圆锥曲线

5 又 e>1,∴1<e≤ . 3 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式.建立关于 a,b, c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. (1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线 交 C 于点 D,且 B F =2 F D ,则 C 的离心率为________. x2 y2 a2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 a b 4 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 答案 解析 (1) 3 10 (2) 3 2





(1)设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图,B(0,b),

F(c,0),D(xD,yD), 则 B F =(c,-b), F D =(xD-c,yD), ∵B F =2F D ,
?c=2?xD-c?, ? ∴? ? ?-b=2yD,









?x = 2 , ∴? b ?y =-2.
D D

3c

又∵点 D 在椭圆 C 上,



?3c?2 ?-b?2 ? 2 ? ? 2?
a2 + b2

1 3 =1,即 e2= .∴e= . 3 3

(2)设 c= a2+b2,双曲线的右焦点为 F′. 则|PF|-|PF′|=2a,|FF′|=2c. ∵E 为 PF 的中点,O 为 FF′的中点, ∴OE∥PF′,且|PF′|=2|OE|. a ∵OE⊥PF,|OE|= , 2 ∴PF⊥PF′,|PF′|=a, ∴|PF|=|PF′|+2a=3a. ∵|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
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c 10 ∴9a2+a2=4c2,∴ = . a 2 ∴双曲线的离心率为 10 . 2

考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 2 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,点 F 为椭 a b 2 圆的右焦点,点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点,点 M 为椭 → → 圆的上顶点,且满足MF· FB= 2-1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l,当直线 l 交椭圆于 P、Q 两点时,使点 F 恰为△PQM 的垂心?若存 在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)根据题意得,F(c,0)(c>0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b),

→ → ∴MF=(c,-b),FB=(a-c,0), → → ∴MF· FB=ac-c2= 2-1. c 2 又 e= = ,∴a= 2c,∴ 2c2-c2= 2-1, a 2 ∴c2=1,a2=2,b2=1, x2 ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)假设存在满足条件的直线 l. ∵kMF=-1,且 MF⊥l,∴kl=1. 设直线 l 的方程为 y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2), y=x+m, ? ?2 由?x 2 ? ? 2 +y =1 消去 y 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 则有 Δ=16m2-12(2m2-2)>0,即 m2<3, 2m2-2 4m 又 x1+x2=- ,x1x2= , 3 3 ∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2 = 2m2-2 4m2 m2-2 - +m2= . 3 3 3

又 F 为△MPQ 的垂心,连接 PF,则 PF⊥MQ, → → ∴PF· MQ=0,

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→ → 又PF=(1-x1,-y1),MQ=(x2,y2-1), → → ∴PF· MQ=x2+y1-x1x2-y1y2 =x2+x1+m-x1x2-y1y2 2m2-2 m2-2 4 =- m+m- - 3 3 3 m 4 1 =-m2- + =- (3m2+m-4) 3 3 3 1 =- (3m+4)(m-1)=0, 3 4 ∴m=- 或 m=1(舍去), 3 4 经检验 m=- 符合条件, 3 ∴存在满足条件的直线 l,其方程为 3x-3y-4=0. (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与 系数的关系时,要注意使用条件 Δ≥0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是 否相交. (2)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直 关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考 虑用圆锥曲线的定义求解. x2 (2013· 北京)已知 A, B, C 是椭圆 W: +y2=1 上的三个点, O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解 x2 (1)由椭圆 W: +y2=1,知 B(2,0) 4

∴线段 OB 的垂直平分线 x=1. 在菱形 OABC 中,AC⊥OB, x2 3 将 x=1 代入 +y2=1,得 y=± . 4 2 ∴|AC|=|y2-y1|= 3. 1 1 因此菱形的面积 S= |OB|· |AC|= ×2× 3= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0, m≠0).

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第十章圆锥曲线
2 2 ? ?x +4y =4, 由? ?y=kx+m ?

消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- , =k· +m= . 2 2 2 1+4k2 1+4k2 4km m ∴线段 AC 中点 M?-1+4k2,1+4k2?,

?

?

1 ∵M 为 AC 和 OB 交点,∴kOB=- . 4k

?- 1 ?=-1≠-1, 又 k· ? 4k? 4
∴AC 与 OB 不垂直. 故 OABC 不是菱形,这与假设矛盾. 综上,四边形 OABC 不是菱形.

1. 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义 中的定值是标准方程的基础. 2. 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A、B 是不等的常数,A>B>0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆;B>A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;AB<0 时表示双 曲线. c 3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c,计算 e= ;方法二:根据 a c 已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 . a 4. 通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通 2b2 径长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通 a 径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c. 5. 抛物线焦点弦性质: 已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1)、B(x2,y2). p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角); sin α

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(3)S△AOB=

p2 ; 2sin α

1 1 2 (4) + 为定值 ; |FA| |FB| p (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

【当堂达标】 x2 y2 1. 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F a b 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 B 解析 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB b2 为锐角,即∠AEF<45° ,于是|AF|<|EF|, <a+c,于是 c2-a2<a2+ac,即 e2-e-2<0, a 解得-1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2. x2 y2 1 2. 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个 a b 2 实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) A.必在圆 x2+y2=2 内 C.必在圆 x2+y2=2 外 答案 A b c 解析 ∵x1+x2=- ,x1x2=- . a a
2 b2 2c b +2ac 2 2 ∴x1 +x2 = ( x + x ) - 2 x x = + = . 2 2 1 2 1 2 a a a2

( B.(1,2) D.(2,1+ 2)

)

(

)

B.必在圆 x2+y2=2 上 D.以上三种情形都有可能

c 1 1 ∵e= = ,∴c= a, a 2 2 1 ?2 3 2 ∴b2=a2-c2=a2-? ?2a? =4a . 3 2 1 a +2a× a 4 2 7 2 ∴x1 +x2 = <2. 2= a2 4 ∴P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内.

【点击高考】 一、选择题
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1. (2013· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p ? p ,0 ,抛物线的准线方程为 x=- ,则由抛物线的定义知,xM= 解析 由题意知:F? 2 ? ? 2 5 yM? 5 yM p 25 , ,所以圆的方程为?x- ?2+?y- ?2= , 5- ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? ?2 2 ? ? 2? ? 2 ? 4 2 p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x,故选 C. x2 y2 2. 与椭圆 + =1 共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是 12 16 x2 A.y2- =1 3 3x2 3y2 C. - =1 4 8 答案 A 解析 16-12 1 x2 y2 椭圆 + =1 的离心率为 = ,且焦点为(0,± 2),所以所求双曲线的 12 16 2 16 y2 B. -x2=1 3 3y2 3x2 D. - =1 4 8 ( ) B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( )

2 焦点为(0,± 2)且离心率为 2,所以 c=2, =2 得 a=1,b2=c2-a2=3,故所求双曲线 a x2 方程是 y2- =1. 3 3. (2013· 江西)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|等于 A.2∶ 5 答案 C 解析 由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH. 即|FM|∶|MN|=|MH|∶|MN| =|FO|∶|AF|=1∶ 5. x2 y2 4. 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线 FM 交 y 轴于点 P, a b → → → 切圆于点 M,2OM=OF+OP,则双曲线的离心率是 A. 2 答案 A 解析 由已知条件知, 点 M 为直三角形 OFP 斜边 PF 的中点, 故 OF= 2OM, 即 c= 2
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(

)

B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3

(

)

B. 3

C.2

D. 5

第十章圆锥曲线

a,所以双曲线的离心率为 2. 1 x2 5. (2013· 山东)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 2p 3 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( A. 3 16 B. 3 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3 )

答案 D p? 解析 抛物线 C1 的标准方程为 x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 F′ 3 为(2,0),渐近线方程为 y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 x2 y2 → → 6. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 为椭圆 M 上任一点, 且PF1· PF a b
2, 2 2 的最大值的取值范围是[c 3c ],其中

c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是 ( )

1 1 A.[ , ] 4 2 C.( 2 ,1) 2

1 2 B.[ , ] 2 2 1 D.[ ,1) 2

答案 B 解析 设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), → → 则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), → → PF1· PF2=x2+y2-c2. 又 x2+y2 可看作 P(x,y)到原点的距离的平方, → → 所以(x2+y2)max=a2,所以(PF2· PF2)max=b2, 1 1 所以 c2≤b2=a2-c2≤3c2,即 ≤e2≤ , 4 2 1 2 所以 ≤e≤ .故选 B. 2 2 二、填空题 x2 y2 7. (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的 m m +4 值为________. 答案 2
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第十章圆锥曲线

解析 建立关于 m 的方程求解. ∵c2=m+m2+4,
2 c2 m+m +4 ∴e2= 2= =5, a m

∴m2-4m+4=0,∴m=2. x2 y2 8. (2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y a b = 3(x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________. 答案 3-1

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° , 又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° , MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a. c 即 e= = 3-1. a x2 y2 9. (2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等 9 16 于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, 因此△PQF 的周长为 |PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. x2 y2 10.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 25 16 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 答案 7 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2 分别是两圆的圆心, 且|PF1|+|PF2|=10, 从而|PM| +|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
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第十章圆锥曲线

三、解答题 x2 y2 11.(2013· 课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 a b 1 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的 最大值. 解 a (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 b ① ②

x2 y2 1 1 2+ 2=1

x2 y2 2 2 2+ 2=1 a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. a2 b2 y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2 1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2 所以可以解得 a2=2b2,即 a2=2(a2-c2),即 a2=2c2, 又因为 c= 3,所以 a2=6, x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, x2 y2 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 3x2-4 3x=0,即 A(0, 3),B? 4 6 所以可得|AB|= ; 3 x2 y2 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x2+4mx+2m2-6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 2 2 则|CD|= 2 ?x3+x4?2-4x3x4= 18-2m2, 3

?, ? 3 ,- 3 ?
4 3 3

200

第十章圆锥曲线

又因为 Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3, 1 8 6 所以当 m=0 时, |CD|取得最大值 4, 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|· |CD|= . 2 3 3 x2 y2 1 1, ?,离心率 e= ,直线 l 的方 12.(2013· 江西)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ? 2? a b 2 程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA、 PB、PM 的斜率分别为 k1、k2、k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由. 解 3 x2 y2 1, ?在椭圆 2+ 2=1 上,得 (1)由 P? ? 2? a b ① ②

1 9 + =1, a2 4b2 c 1 又 e= = ,得 a2=4c2,b2=3c2, a 2 ②代入①得,c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). y=k?x-1? ? ?2 2 由?x y 得, + =1 ? ?4 3 (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +3 4k +3 3 3 y1- y2- 2 2 k1+k2= + x1-1 x2-1 3 3 k?x1-1?- k?x2-1?- 2 2 = + x1-1 x2-1 1 3 1 =2k- ?x -1+x -1? 2? 1 ? 2

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第十章圆锥曲线

x1+x2-2 3 =2k- · 2 x1x2-?x1+x2?+1 8k2 -2 4k2+3 3 =2k- · 2 2 4k -12 8k2 - +1 4k2+3 4k2+3 =2k-1. 又将 x=4 代入 y=k(x-1)得 M(4,3k), 3 3k- 2 1 ∴k3= =k- , 3 2 ∴k1+k2=2k3. 故存在常数 λ=2 符合题意.

202

第十章圆锥曲线

1 13. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 , 其一个顶点的抛物线 x2=-4 3 2 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的 坐标; → → (3)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,且满足PA· PB= → PM2?若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. 解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

c 1 由题意得 b= 3, = ,解得 a=2,c=1. a 2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切,所以直线 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1 (k≠0). x y ? ? 4 + 3 =1 由? ? ?y=k?x-2?+1 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0. 因为直线 l 与椭圆 C 相切, 所以 Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0. 1 整理,得 32(6k+3)=0,解得 k=- . 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y=- (x-2)+1=- x+2. 2 2 3? 1 将 k=- 代入①式,可以解得 M 点的横坐标为 1,故切点 M 的坐标为? ?1,2?. 2 (3)若存在直线 l1 满足条件,则直线 l1 的斜率存在,设其方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭 圆 C 的方程得
2 2 (3+4k2 1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0. 2 2



设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,
2 所以 Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k2 1)(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0.

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 x1+x2= , x x = . 1 2 3+4k2 3+4k2 1 1

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第十章圆锥曲线

→ → →2 因为PA· PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 1)= , 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 1)= . 4 8k1?2k1-1? ? ?16k1-16k1-8-2· 2 所以? 2 +4?(1+k1) 3 + 4 k ? 3+4k2 ? 1 1
2 4+4k1 5 = 2= , 4 3+4k1 2

1 解得 k1=± . 2 1 因为 A,B 为不同的两点,所以 k1= . 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2

第2节

圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景, 考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大. 2.求轨迹方程也是高考的热点与重点, 若在客观题中出现通常用定义法, 若在解答题中出现 一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中. 【知识梳理】 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ>0,则直 线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ<0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2
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第十章圆锥曲线

+by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2. 有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长 问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k2 |x2-x1|或|P1P2|= 即作如下变形: |x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3. 弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. 1 1+ 2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系, k

【典型题型解析】 考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题 x2 y2 6 例 1 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点(2 2,0),斜率为 1 的直线 l a b 3 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. 解 c 6 (1)由已知得 c=2 2, = . a 3

解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m, ? ? 由? x2 y2 ? ?12+ 4 =1. 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4

205

第十章圆锥曲线

因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. 此时,点 P(-3,2)到直线 AB: |-3-2+2| 3 2 x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆 方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中 点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 椭圆 ____________. 答案 2x+4y-3=0 解析 设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1,y1+y2=1. x2 x2 1 2 2 ∵A,B 在椭圆上,∴ +y2 = 1 , +y2 =1. 1 2 2 ?x1+x2??x1-x2? +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 即 y1-y2 x1+x2 1 =- =- , 2 x1-x2 2?y1+y2? 1 1? x2 + y2 = 1 的 弦 被 点 ? ?2,2? 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 2

1 即直线 AB 的斜率为- . 2 1 1 1 x- ?, ∴直线 AB 的方程为 y- =- ? 2 2? 2? 即 2x+4y-3=0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 x2 y2 1 例 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F a b 2
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第十章圆锥曲线

交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ +μ 的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值;否则,说明理由; (3)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点? 若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由. (1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消 y 后 → → → → 可得点 A,B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式MA=λAF,MB=μBF把 λ,μ 用 点 A,B 的横坐标表示出来,只要证明 λ+μ 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定 值,否则就不是定值;(3)先根据直线 l 的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线 AE, BD 的交点坐标,如果直线 AE,BD 相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个 定点,这样只要证明直线 AE,BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点,否则两 直线就不相交于定点. 解 c 1 (1)依题意得 b= 3,e= = ,a2=b2+c2, a 2

x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为 y=k(x-1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,-k), 又 F 坐标为(1,0),设 l 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2), y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 ∴x1+x2= ,x x = , 3+4k2 1 2 3+4k2 → → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1), x1 x2 ∴λ= ,同理 μ= , 1-x1 1-x2 x1+x2-2x1x2 x1 x2 ∴λ+μ= + = 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2 2?4k2-12? 8k2 2- 3+4k 3+4k2 8 = =- . 3 4k2-12 8k2 1- 2+ 2 3+4k 3+4k 8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ+μ 的值为定值- . 3
207

第十章圆锥曲线

(3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相 5 ? 交于 FK 的中点 N? ?2,0?, 猜想,当直线 l 的倾斜角变化时, 5 ? AE 与 BD 相交于定点 N? ?2,0?, 证明:由(2)知 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴D(4,y1),E(4,y2),当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 5 ? AE 过定点? ?2,0?, y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1 y2-y1 ? 3? 5 当 x= 时,y=y2+ ·- 2 4-x1 ? 2? = = = = 2?4-x1?· y2-3?y2-y1? 2?4-x1? 2?4-x1?· k?x2-1?-3k?x2-x1? 2?4-x1? -8k-2kx1x2+5k?x1+x2? 2?4-x1? -8k?3+4k2?-2k?4k2-12?+5k· 8k2 =0. 2?4-x1?· ?3+4k2?

5 ? ∴点 N? ?2,0?在直线 lAE 上. 5 ? 同理可证,点 N? ?2,0?也在直线 lBD 上. 5 ? ∴当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点? ?2,0?. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示 要解决的问题, 证明要解决的问题与参数无关. 在这类试题中选择消元的方向是非常关 键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定 点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. (1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,

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第十章圆锥曲线

当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中 点, ∴|O1M|= x2+42, 又|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= , k2 b2 x1x2= 2, k y1 y2 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题 例3 x2 y2 (2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过 点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. ③ ① ②

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第十章圆锥曲线 ? ?b=1, (1)由题意得? ?a=2. ?



x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d= 1 , k2+1 4k2+3 . k2+1

所以|AB|=2 4-d2=2

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
? ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. ?

消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2 所以|PD|= 8 k2+1 . 4+k2

1 设△ABD 的面积为 S,则 S= · |AB|· |PD| 2 = 8 4k2+3 , 4+k2 ≤ 13 4k2+3+ 2 4k2+3 32 32 4k2+3· 13 4k2+3

所以 S=



16 13 , 13 10 时取等号. 2 10 x-1. 2

当且仅当 k=±

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

求最值及参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件列出一个关于 参数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由 题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域.

210

第十章圆锥曲线

已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为 坐标原点 O,从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; π (2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C,D 两点,且椭圆 C1 的左焦点 F 在 6 以线段 CD 为直径的圆的外部,求 m 的取值范围. 解 (1)先判断出(- 6, 0)在椭圆上, 进而断定点(1, -3)和(4, -6)在抛物线上, 故( 3, 1 -3 - 6 0 4 -6 3 1

x2 y2 1)在椭圆上,所以椭圆 C1 的方程为 + =1,抛物线 C2 的方程为 y2=9x. 6 2 (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3 (x-m), 3

?y= 33?x-m? 由? x y ? 6 + 2 =1,
2 2

消去 y 整理得 2x2-2mx+m2-6=0, 由 Δ>0 得 Δ=4m2-8(m2-6)>0, 即-2 3<m<2 3, m -6 而 x1x2= ,x1+x2=m, 2 故 y1y2= 3 3 (x -m)· (x2-m) 3 1 3
2



1 = [x1x2-m(x1+x2)+m2] 3 = m2-6 . 6

欲使左焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆的外部, → → 则FC· FD>0, → → 又 F(-2,0),即FC· FD=(x1+2,y1)· (x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4>0. 整理得 m(m+3)>0, 即 m<-3 或 m>0.② 由①②可得 m 的取值范围是(-2 3,-3)∪(0,2 3).

211

第十章圆锥曲线

1. 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点 P 的运动规律,即 P 点满 足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程 表示).检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. 2. 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题, 处理时可以直接推理求出定值, 也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值 能达到事半功倍的效果. 3. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来 解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函 数, 再求这个函数的最值, 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围, 求新参数的范围, 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 【当堂达标】 设直线 l:y=k(x+1)与椭圆 x2+3y2=a2(a>0)相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于 点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. (1)证明 依题意,直线 l 显然不平行于坐标轴, 1 故 y=k(x+1)可化为 x= y-1. k 1 将 x= y-1 代入 x2+3y2=a2,消去 x, k

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第十章圆锥曲线

1 ? 2 2y 2 得? ?3+k2?y - k +1-a =0, 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得 1 4 2 ? Δ= 2-4? ?k2+3?(1-a )>0, k 1 ? 2 整理得? ?k2+3?a >3, 即 a2> 3k2 . 1+3k2



(2)解 设 A(x1,y1),B(x2,y2)由①, 2k 得 y1+y2= , 1+3k2 → → 因为AC=2CB,得 y1=-2y2, -2k 代入上式,得 y2= . 1+3k2 1 3 于是,△OAB 的面积 S= |OC|· |y1-y2|= |y2| 2 2 = 3|k| 3|k| 3 ≤ = . 1+3k2 2 3|k| 2

3 其中,上式取等号的条件是 3k2=1,即 k=± . 3 -2k 3 由 y2= 2,可得 y2=± . 3 1+3k 将 k= y2= 3 3 3 ,y2=- 及 k=- , 3 3 3

3 这两组值分别代入①, 3

均可解出 a2=5. 所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x2+3y2=5. 【点击高考】 一、选择题 x2 y2 1. 已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 ( k+1 3-k A.k<1 或 k>3 C.k>1 答案 B B.1<k<3 D.k<3 )

213

第十章圆锥曲线

k+1>0 ? ? 解析 若椭圆焦点在 x 轴上,则?3-k>0 , ? ?k+1>3-k 解得 1<k<3.选 B. 2. △ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨 迹方程是 ( ) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9 x2 y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16 答案 C 解析 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线 x2 y2 的右支,方程为 - =1(x>3). 9 16 3. 设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为 半径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是 ( A.(0,2) C.(2,+∞) 答案 C 解析 依题意得:F(0,2),准线方程为 y=-2, 又∵以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交,且|FM|=|y0+2|, ∴|FM|>4,即|y0+2|>4, 又 y0≥0,∴y0>2. x2 y2 → → 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP· FP 4 3 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 设 P(x0,y0),则
2 x2 y0 3x2 0 0 2 + =1,即 y0 =3- , 4 3 4

) B.[0,2] D.[2,+∞)

(

)

又因为 F(-1,0),

214

第十章圆锥曲线

1 2 → → 所以OP· FP=x0· (x0+1)+y2 0= x0+x0+3 4 1 = (x0+2)2+2, 4 → → 又 x0∈[-2,2],即OP· FP∈[2,6], → → 所以(OP· FP)max=6. 5. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线 在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与 双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1· e2 的取值范围是 ( ) 1 B.( ,+∞) 3 1 D.( ,+∞) 9

A.(0,+∞) 1 C.( ,+∞) 5 答案 B

解析 设椭圆与双曲线的半焦距为 c, PF1=r1,PF2=r2. 由题意知 r1=10,r2=2c, 且 r1>r2,2r2>r1, ∴2c<10,2c+2c>10, 5 25 ∴ <c<5?1< 2 <4, 2 c 2c 2c 2c c ∴e2= = = = ; 2a双 r1-r2 10-2c 5-c e1= 2c 2c 2c c = = = . 2a椭 r1+r2 10+2c 5+c

c2 1 1 ∴e1· e2= = > . 3 25-c2 25 -1 c2 二、填空题 x2 y2 6. 直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 答案 m≥1 且 m≠5 x2 y2 解析 ∵方程 + =1 表示椭圆, 5 m ∴m>0 且 m≠5. ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有:
215

第十章圆锥曲线

02 12 + ≤1,m≥1, 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. x2 7. 设 F1、F2 为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两 4 → → 点,当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1· PF2 的值等于________. 答案 -2 解析 易知当 P,Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形 PF1QF2 面积最大. 此时,F1(- 3,0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1), → → ∴PF1=(- 3,-1),PF2=( 3,-1), → → ∴PF1· PF2=-2. 8. 已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________. 答案 5 2 -1 2

解析 过点 P 作抛物线的准线的垂线,垂足为 A,交 y 轴于 B,由抛物线方程为 y2=4x 得焦点 F 的坐标为(1,0),准线为 x=-1,则由抛物线的定义可得 d1+d2=|PA|-|AB|+d2=|PF|-1+d2, |PF|+d2 大于或等于焦点 F 点 P 到直线 l, |1-0+4| 5 2 即|PF|+d2 的最小值为 = , 2 2 5 2 所以 d1+d2 的最小值为 -1. 2 9. (2013· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞)

解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y-a)2=a,
?y=x2 ? 由? 2 得 y2+(1-2a)y+a2-a=0. 2 ? x + ? y - a ? = a ? ?a>0 ? 即(y-a)[y-(a-1)]=0,由已知? 解得 a≥1. ?a-1≥0, ?

三、解答题 x2 y2 10.已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C a b 10 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l:x= 分 3
216

第十章圆锥曲线

别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值. 解 (1)如图,由题意得椭圆 C 的左顶点为 A(-2,0),上顶点为

D(0,1),即 a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)直线 AS 的斜率显然存在且不为 0, 10 16k 设直线 AS 的方程为 y=k(x+2)(k>0),解得 M( , ),且将直线方程代入椭圆 C 的 3 3 方程, 得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 16k2-4 设 S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)· x1= . 1+4k2 2-8k2 2-8k2 4k 4k 由此得 x1= ,y = ,即 S( , ). 1+4k2 1 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1 又 B(2,0),则直线 BS 的方程为 y=- (x-2), 4k 10 1 联立直线 BS 与 l 的方程解得 N( ,- ). 3 3k 16k 1 ? 16k 1 ∴|MN|=? ? 3 +3k?= 3 +3k≥2 16k 1 8 · = . 3 3k 3

16k 1 1 1 8 当且仅当 = ,即 k= 时等号成立,故当 k= 时,线段 MN 的长度的最小值为 . 3 3k 4 4 3 11.在平面直角坐标系中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 2,0),B(- 2,0),直线 PA 与 1 PB 的斜率之积为- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q 不 重合),求证:直线 MQ 过 x 轴上一定点. (1)解 y y 1 由题知: · =- . 2 x+ 2 x- 2

x2 化简得 +y2=1(y≠0). 2 (2)证明 方法一 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2), x2 l:x=my+1,代入 +y2=1(y≠0)整理得 2 (m2+2)y2+2my-1=0.

217

第十章圆锥曲线

-2m -1 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2 令 y=0, y1?x2-x1? 得 x=x1+ y1+y2 my1?y2-y1? 2my1y2 =my1+1+ = +1=2. y1+y2 y1+y2 ∴直线 MQ 过定点(2,0). 方法二 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2), x2 l:y=k(x-1),代入 +y2=1(y≠0)整理得 2 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 2k2-2 4k2 x1+x2= ,x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2 y1?x2-x1? 令 y=0,得 x=x1+ y1+y2 k?x1-1??x2-x1? =x1+ k?x1+x2-2? = 2x1x2-?x1+x2? =2. x1+x2-2

∴直线 MQ 过定点(2,0). 12.(2013· 课标全国Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外 切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A、B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 解 (1)设圆 P 的半径为 r,

则|PM|=1+r,|PN|=3-r, ∴|PM|+|PN|=4>|MN|, ∴P 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,左顶点除外, 且 2a=4,2c=2,∴a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3.

218

第十章圆锥曲线

x2 y2 ∴P 的轨迹曲线 C 的方程为 + =1(x=-2). 4 3 (2)由(1)知:2r=(|PM|-|PN|)+2≤|MN|+2=4, ∴圆 P 的最大半径为 r=2.此时 P 的坐标为(2,0). 圆 P 的方程为(x-2)2+y2=4. ①当 l 的方程为 x=0 时,|AB|=2 3, ②设 l 的方程为 y=kx+b(k∈R), |-k+b| ? ? 1+k =1 ? |2k+b| ? ? 1+k =2
2 2

2 2 ? ? ?k= ?k=- 4 4 解之得:? 或? . ? ? ?b= 2 ?b=- 2 ∴l 的方程为 y= 2 2 x+ 2,y=- x- 2. 4 4

? 联立方程? 2 ?y= 4 x+
化简:7x2+8x-8=0

x2 y2 + =1 4 3

2

8 8 ∴x1+x2=- ,x1x2=- , 7 7 18 ∴|AB|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2= . 7

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