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2013高考数学三角函数典型例题

2013 高考三角函数典型例题
1 .设锐角 ? ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? 2 b sin A .

(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由 a ? 2 b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2 sin B sin A ,所以 sin B ?

1 2

,

由 ? ABC 为锐角三角形得 B ?

π 6

.

? ? ? (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? ? ? ?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? ? cos A ? 1 2 cos A ? 3 2

sin A

?

?? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?

2 .在 ? ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.

(Ⅰ)求角 B 的大小; ?? ? ?? ? (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4 k ,1? ? k ? 1 ? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
2 0

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA. ∵0<A<π,∴sinA≠0. 1 ∴cosB= . 2 ? ∵0<B<π,∴B= . 3 ?? ? (II) m ? n =4ksinA+cos2A. =-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ ( 0 ,1] .
?? ? 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ ( 0 ,1] . ?? ? ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.
2? 3

0

7

0

3

1

6

)

依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

3 2

.
A?B 2 ? sin C 2 ? 2.

3 .在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , sin

I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值. ? ?C C C C C ? ? sin ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 【解析】:I. sin 2 2 2 2 2 4 C ? ? ? ? ? ? 即 C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2 II. 16 ? a ? b ?
a ?b
2 2

此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .
4 .在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ?

?

? 2 ab ?

?

2 ab ,? ab ? 64 ( 2 ?

2 ) 当且仅当 a ? b 时取等号,
2

3 4

,

(1)求 cos C , cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?
27 2

,求边 AC 的长?
2

【解析】:(1) cos C ? cos 2 A ? 2 cos

A ?1 ? 2?

9 16

?1 ?

1 8

由 cos C ?

1 8

, 得 sin C ?

3 7 8

;由 cos A ?

3 4

, 得 sin A ?

7 4 7 4 ? 3 7 8 ? 3 4 ? 1 8 ? 9 16

? cos B ? ? cos ? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cos C ?

(2) BA ? BC ? 又
a ?

27 2 c

,? ac cos B ?

27 2

,? ac ? 24 3 2 a

① ②

sin A sin C 由①②解得 a=4,c=6
2 2 2

, C ? 2 A ,? c ? 2 a cos A ?

? b ? a ? c ? 2 ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ?
? b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.

9 16

? 25

5 .已知在 ? ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.
2

(Ⅰ)求 tan( A ? B ) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .
2

∴ tan( A ? B ) ?

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B
?

?

2?3 1? 2?3
?

? ?1

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? 180 ,∴ C ? 180 ? ( A ? B ) .

由(Ⅰ)知, tan C ? ? tan( A ? B ) ? 1 ,
2 2

∵ C 为三角形的内角,∴ sin C ?

∵ tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ?
AB sin C BC sin A

3 10

,

由正弦定理得: ∴ BC ?
5 2 2
6

?

?

3 10

?3 5.

. 在 ? ABC 中 , 已 知 内 角

A .

B . C

所 对 的 边 分 别 为

a 、 b 、 c, 向 量

? m ? 2 s i n? B

?

? ? ? ? ? 2 B , , n ? ? cos 2 B , 2 cos 3 ? 1 ? ,且 m / / n ? 2 ? ?

?

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ? ABC 的面积 S ? ABC 的最大值?
? ? 【解析】:(1) m / / n ?

B 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B 2

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵0<2B<π,∴2B= ,∴锐角 B= 3 3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B= 或 3 6

π ①当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵△ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

∴△ABC 的面积最大值为 3 5π ②当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) 1 1 ∵△ABC 的面积 S△ ABC= acsinB= ac≤ 2- 3 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3
7 .在 ? ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b
2 2 2

?

1 2

ac .

? cos 2 B 的值; 2 (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

(1)求 sin

2

A?C

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

1 4

sin

2

A?C 2

+cos2B= ?

1 4
15 4 . ∵b=2,

(2)由 cos B ?

1 4

, 得 sin B ?

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

8

15 1 S△ ABC= acsinB≤ (a=c 时取等号) 2 3

故 S△ ABC 的最大值为

15 3

sin(
8 .已知 tan ? ? a , ( a ? 1) ,求

? ?
4 2

??) ? tan 2? 的值? ??)

sin(
2a 1? a

【解析】

;

3? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? ? 9 .已知 f ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ? ? ? 3? ? 2 ? 2? ? ?

(I)化简 f ? ? ?
? 3? ? 1 ? ? ? ? ,求 f ? ? ? 的值? (II)若 ? 是第三象限角,且 cos ? ? 2 ? 5
【解析】

2 2 10.已知函数 f(x)=sin x+ 3 sinxcosx+2cos x,x ? R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1) f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 2

?

3 2

sin 2 x ? (1 ? cos 2 x )

?

3 2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ? 3 2 .

3 2

? sin(2 x ?

?
6

)?

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? 2

? ?.

由题意得 2 k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,

即 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ? Z.

? ?? ? ? f ( x ) 的单调增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(2)先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 得到 y ? sin(2 x ?

?
12

个单位长度,
3 2

?
6

) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移

个单位长度,

就得到 y ? sin(2 x ?

?
6

)?

3 2

的图象?


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