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2018届高三数学一轮复习 直线、平面平行的判定与性质_图文

第三节 直线平面平行的判定与 性质 本节主要包括 2 个知识点: 1.直线与平面平行的判定与性质;? 2.平面与平面平行的判定与性质. 突破点(一) 基础联通 直线与平面平行的判定与性质 抓主干知识的“源”与“流” 符号语言 l∥a,a?α, l?α?l∥α 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 平面外 _______一条直线与______ 此平面 内 的一条直线平行, 则该 判定 ____ 定理 直线与此平面平行(线线平 行?线面平行) 一条直线与一个平面平行 ____, 性质 则过这条直线的任一平面 交线 与该直线 定理 与此平面的_____ 平行(线面平行?线线平行) l∥α,l?β, α∩β=b?l∥ b 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 线面平行的判定 如图,在三棱台DEFABC中, [例1] AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中 点.求证:BD∥平面FGH. [证明] 如图,连接DG,CD,设CD∩FG=O,连接OH. 在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G为AC的中点, 可得DF∥GC,DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边形, 所以点O为CD的中点. 又因为点 H 为 BC 的中点, 所以 OH∥BD. 又因为 OH?平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. [方法技巧] 判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β). 线面平行性质定理的应用 [例 2] 如图,四棱锥 PABCD 的底面 是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB, CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥平面 ABCD,BC∥平面 GEFH. (1)证明:GH∥EF; [解] 证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且 同理可证 EF∥BC, 平面 PBC∩平面 GEFH=GH, 所以 GH∥BC. 因此 GH∥EF. (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. [解 ] 如图,连接 AC,BD 交于点 O, BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面 ABCD 内,所以 PO ⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 从而 GK⊥EF. 由 AB=8,EB=2,得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB=4DB=2OB,即 K 为 OB 的中点. 1 再由 PO∥GK 得 GK=2PO, 1 即 G 是 PB 的中点,且 GH=2BC=4. 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, 所以 GK=3. GH+EF 4+8 故四边形 GEFH 的面积 S= · GK= 2 ×3=18. 2 [易错提醒] 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时,一 定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的 条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行 时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交, 这时才有直线与交线平行. 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点二]如图所示,四边形 ABCD 是平 行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G, 过 G 和 PA 作平面 PAHG 交平面 BDM 于 GH. 求证:PA∥GH. 证明:如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O, 连接 MO, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点,又 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 又 MO?平面 BMD,PA?平面 BMD,∴PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH, 且 PA?平面 PAHG,∴PA∥GH. 2. [考点一]如图, 四棱锥 PABCD 中, AD 1 ∥BC,AB=BC=2AD,E,F,H 分别 为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点.求证: (1)AP∥平面 BEF; 证明:连接 EC, 1 ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴BC 綊 AE, ∴四边形 ABCE 是平行四边形,∴O 为 AC 的中点. 又∵F 是 PC 的中点, ∴FO∥AP, FO?平面 BEF,AP?平面 BEF, ∴AP∥平面 BEF. (2)GH∥平面 PAD. 证明:连接 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点,H 是 CD 的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H, ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH?平面 OHF,∴GH∥平面 PAD. 突破点(二) 基础联通 平面与平面平行的判定与性质 抓主干知识的“源”与“流” 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 相交 一个平面内的两条____ 判定 直线 ____与另一个平面平 定理 行,则这两个平面平行 (线面平行?面面平行) 如果两个平行平面同时 性质 相交 , 和第三个平面_____ 那 定理 交线 平行 么它们的_____ 符号语言 a∥β,b∥β, a∩b=P,a?α, b?α?α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b?a∥b 考

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