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选修1-1圆锥曲线与方程测试题精选有答案


圆锥曲线与方程测试题
一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1. (5 分)椭圆的焦点坐标为(﹣5,0)和(5,0) ,椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为( A. B. C. D. + =1 + =1 + =1 + =1 )

2. (5 分) (2012?泸州二模)方程 A.直线 B.椭圆

所表示的曲线是( C.双曲线

) D.圆

3. (5 分)已知抛物线 A. B.

的准线过双曲线 C.

的一个焦点,则双曲线的离心率为( D.



4. (5 分) (2011?昌平区二模)正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是平面 ABCD 内的 一个动点,且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 ,则点 P 的轨迹是( ) A.两个点 B.直线 C .圆 D.椭圆 5. (5 分) (2008?奉贤区二模)给出下列 3 个命题: ① 在平面内,若动点 M 到 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)两点的距离之和等于 2,则动点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的 椭圆; ② 在平面内, 已知 F1 (﹣5, 0) , F2 (5, 0) , 若动点 M 满足条件: |MF1|﹣|MF2|=8, 则动点 M 的轨迹方程是 ③ 在平面内,若动点 M 到点 P(1,0)和到直线 x﹣y﹣2=0 的距离相等,则动点 M 的轨迹是抛物线. 上述三个命题中,正确的有( ) A .0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 6. (5 分) (2012?淮北一模)已知圆的方程为 x +y =4,若抛物线过点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,且以圆的切线为准 线,则抛物线的焦点轨迹方程为( ) A. B. C. D.
2 2



7. (5 分) (2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 ( ) A .5

2

2

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是

2

B.

+

C.7+

D.6

8. (5 分) (2014?江门一模)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 B1BCC1 上的动 点,并且 A1F∥ 平面 AED1,则动点 F 的轨迹是( )

A .圆

B.椭圆
2

C.抛物线

D.线段

9. (5 分) (2014?邯郸二模)过抛物线 y =4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=8,则直线 AB 的倾斜角为 ( ) A. B. C. D.

10. (5 分) (2012?山东)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,与双曲线 x ﹣y =1 的渐近线有四个 ) D. + =1

2

2

交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( A. B. C. + =1 + =1 + =1

二.填空题(共 5 小题,满分 25 分,每小题 5 分) 11. (5 分) (2014?安徽模拟)椭圆 + =1 与双曲线 ﹣ =1 有相同的焦点,则实数 m 的值是 _________ .

12. (5 分) (2013?重庆模拟)已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则圆锥曲线

=1 的离心率为 _________ .

13. (5 分)已知下列命题命题:① 椭圆 ﹣y =a (a>0)的离心率
2 2

中,若 a,b,c 成等比数列,则其离心率

;② 双曲线 x

2

且两条渐近线互相垂直;③ 在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是每个面都是
2 2

直角三角形的四面体的 4 个顶点;④ 若实数 x,y∈[﹣1,1],则满足 x +y ≥1 的概率为 _________ . 14. (5 分) (2014?马鞍山三模)对于圆锥曲线,给出以下结论: ① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| |﹣| |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; = ( +

.其中正确命题的序号是

② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若
2

) ,则动点 P 的轨迹为圆;

③ 方程 4x ﹣12x+5=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④ 双曲线 ﹣ =1 与椭圆 + =1 有相同的焦点.

⑤ 椭圆 C:

+y =1 上满足

2

?

=0 的点 M 有 4 个(其中 F1,F2 为椭圆 C 的焦点) .

其中正确结论的序号为 _________ (写出所有正确结论的序号) . 15. (5 分) (2012?茂名二模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1, F2,且它们在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,双曲线的离心率的值为 2, 则该椭圆的离心率的值为 _________ . 三.解答题(共 6 小题) 16. (2015?洛阳一模)已知 F1,F2 是椭圆 C + =1 的左,右焦点,以线段 F1F2 为直径的圆与圆 C 关于直线 x+y

﹣2=0 对称. (l)求圆 C 的方程; (2)过点 P(m,0)作圆 C 的切线,求切线长的最小值以及相应的点 P 的坐标. 17. (2015?兴国县一模)已知抛物线 y =2px(p>0) ,焦点为 F,一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且|AF|+|BF|=8, 且 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6,0) ① 求抛物线方程; ② 求△ ABS 面积的最大值.
2

18. (2014?天津一模)已知椭圆 C: 8 . (1)求椭圆的方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为

(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆 C 上,且对角线 AC,BD 均过坐标原点 O,若 kAC?kBD=﹣ . ① 求 的范围;

② 求四边形 ABCD 的面积.

19. (2015?杨浦区一模) 如图, 曲线 Γ 由曲线 C1:

和曲线 C2:

组成,其中点 F1,F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3,F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (1)若 F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,求曲线 Γ 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一 条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 Γ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△ CDF1 面积的最大值.

20. (2014?福建)已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第四象限) ,且△ OAB 的 面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不 存在,说明理由.

21. (2013?江西)如图,椭圆 C:

经过点 P(1, ) ,离心率 e= ,直线 l 的方程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别 为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

圆锥曲线与方程测试题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1. (5 分)椭圆的焦点坐标为(﹣5,0)和(5,0) ,椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为( A. B. C. D. + =1 + =1 + =1 + =1



考点: 圆锥曲线的实际背景及作用. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的焦点坐标为(﹣5,0)和(5,0) ,椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,可得椭圆的焦点在 x 轴上,c=5,a=13,从而可求 b,即可求出椭圆的方程. 解答: 解:∵ 椭圆的焦点坐标为(﹣5,0)和(5,0) ,椭圆上一点与两焦点的距离和是 26, ∴ 椭圆的焦点在 x 轴上,c=5,a=13,
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∴ b=

=12,

∴ 椭圆的方程为

+

=1.

故选:A. 点评: 本题考查椭圆的定义,考查学生的计算能力,正确运用椭圆的定义是关键.

2. (5 分) (2012?泸州二模)方程 A.直线 B.椭圆

所表示的曲线是( C.双曲线

) D.圆

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 因为 k 是小于 9 的实数,得到两个分母 25﹣k、9﹣k 都是正数,对照圆锥曲线标准方程的形式,可得
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所表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆,得到正确答案. 解答: 解:∵ k<9 ∴ 9﹣k>0 且 25﹣k>0 且 25﹣k>9﹣k ∴ 所表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆

故选 B 点评: 本题给出一个含有字母参数的二次曲线,通过判断所对应的曲线类型,考查了椭圆的标准方程的知识点, 属于基础题.

3. (5 分)已知抛物线

的准线过双曲线

的一个焦点,则双曲线的离心率为(



A.

B.

C.

D.

考点: 圆锥曲线的实际背景及作用;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线 得准线方程为 y=﹣ ,因此双曲线的一个焦点和 c,再利用离心率计算公式即可得出.
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解答:

解:由抛物线

得准线方程为 y=﹣

,因此双曲线的一个焦点为

,∴ c=



双曲线 ∴ a=1, ∴ 双曲线的离心率=

化为





故选 C. 点评: 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质,属于基础题. 4. (5 分) (2011?昌平区二模)正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是平面 ABCD 内的 一个动点,且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 ,则点 P 的轨迹是( ) A.两个点 B.直线 C .圆 D.椭圆 考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 过 P 作 PE⊥ AD 垂足为 E, 过 E 作 EN⊥ A1D1, 连接 PN, 则可得 PN⊥ A1D1 可得 , 由 NE=2, 可得 PE=1, 由 PM=2 可得点 P 的轨迹是以 M 为圆心以 2 为半径的圆,由 PE=1 可得点 P 的轨迹是与 AD 平行且距 AD 的距离为 1 的直线,两者的公共部分即为所求 解答: 解:过 P 作 PE⊥ AD 垂足为 E,过 E 作 EN⊥ A1D1,连接 PN,则可得 PN⊥ A1D1 从而可得 所以 Rt△ PNE 中,NE=2,所以 PE=1 由 PM=2 可得点 P 的轨迹是以 M 为圆心以 2 为半径的圆,由 PE=1 可得点 P 的轨迹是与 AD 平行且距 AD 的距离为 1 的直线 从而可得满足条件的点 P 的轨迹是直线与圆心公共部分即两个交点 故选:A
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点评: 本题以正方体的性质的应用为考查切入点,主要考查了正方体中线线垂足的相互转化,点的轨迹的求解等

知识的综合应用,属于知识的简单综合 5. (5 分) (2008?奉贤区二模)给出下列 3 个命题: ① 在平面内,若动点 M 到 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)两点的距离之和等于 2,则动点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的 椭圆; ② 在平面内, 已知 F1 (﹣5, 0) , F2 (5, 0) , 若动点 M 满足条件: |MF1|﹣|MF2|=8, 则动点 M 的轨迹方程是 ③ 在平面内,若动点 M 到点 P(1,0)和到直线 x﹣y﹣2=0 的距离相等,则动点 M 的轨迹是抛物线. 上述三个命题中,正确的有( ) A .0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 考点: 椭圆的定义;抛物线的定义;双曲线的定义. 专题: 综合题. 分析: 对选项一一进行分析:对于① 在平面内,若动点 M 到 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)两点的距离之和等于 2,而 2 正好等于两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离,则动点 M 的轨迹是以 F1,F2 为端点的线段;② 在平面 内,已知 F1(﹣5,0) ,F2(5,0) ,若动点 M 满足条件:|MF1|﹣|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是双曲线的一 支, ;对于③ 在平面内,若动点 M 到点 P(1,0)和到直线 x﹣y﹣2=0 的距离相等,根据抛物线的定义可知, 动点 M 的轨迹是抛物线. 解答: 解:对于① 在平面内,若动点 M 到 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)两点的距离之和等于 2,而 2 正好等于两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离,则动点 M 的轨迹是以 F1,F2 为端点的线段.故错; ② 在平面内,已知 F1(﹣5,0) ,F2(5,0) ,若动点 M 满足条件:|MF1|﹣|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是双
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曲线的一支,其方程是

(x>0) .故错;

对于③ 在平面内,若动点 M 到点 P(1,0)和到直线 x﹣y﹣2=0 的距离相等,根据抛物线的定义知,动点 M 的轨迹是抛物线.正确. 上述三个命题中,正确的有③ , 故选 B. 点评: 本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等基础知识,属于基础题. 6. (5 分) (2012?淮北一模)已知圆的方程为 x +y =4,若抛物线过点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,且以圆的切线为准 线,则抛物线的焦点轨迹方程为( ) A. B. C. D.
2 2

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设出切线方程,表示出圆心到切线的距离求得 a 和 b 的关系,设出焦点坐标,根据抛物线的定义求得点 A, B 到准线的距离等于其到焦点的距离,然后两式平方后分别相加和相减,联立后求得 x 和 y 的关系式. 2 2 解答: 解:设切点为(a,b) ,∴ a +b =4,则切线为:ax+by﹣4=0
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设焦点(x,y) ,由抛物线定义可得: (x﹣1) +y =
2 2

2

2

…① ,

(x+1) +y =

…② ,

消去 a 得:故抛物线的焦点轨迹方程为 (依题意焦点不能与 A,B 共线∴ y≠0. ) 故抛物线的焦点轨迹方程为

(y≠0)

故选 C 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生数形结合的思想及综合分析问题的能力.
2 2 2

7. (5 分) (2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 ( ) A .5 考点: 专题: 分析: 解答:

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是

B.

+

C.7+

D.6

椭圆的简单性质;圆的标准方程. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P,Q 两点间的最大距离. 解:设椭圆上的点为(x,y) ,则
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∵ 圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 ∴ 椭圆上的点与圆心的距离为 =

2

2

, ≤5 ,

∴ P,Q 两点间的最大距离是 5 + =6 . 故选:D. 点评: 本题考查椭圆、圆的方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 8. (5 分) (2014?江门一模)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 B1BCC1 上的动 点,并且 A1F∥ 平面 AED1,则动点 F 的轨迹是( )

A .圆

B.椭圆

C.抛物线

D.线段

考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 取棱 BB1 的中点 N,棱 B1C1 的中点,证明平面 A1NM∥ 平面 AED1,F 是侧面 B1BCC1 上的动点,可得 F 是 线段 MN 上的点时,A1F∥ 平面 AED1,即可得出结论. 解答: 解:取棱 BB1 的中点 N,棱 B1C1 的中点,则 MN∥ BC1, ∵ BC1∥ AD1, ∴ MN∥ AD1, ∵ MN?平面 AED1,AD1?平面 AED1, ∴ MN∥ 平面 AED1, 同理,A1N∥ 平面 AED1, ∵ MN∩ A1N=N,
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∴ 平面 A1NM∥ 平面 AED1, ∵ F 是侧面 B1BCC1 上的动点, ∴ F 是线段 MN 上的点时,A1F∥ 平面 AED1, 故选:D.

点评: 本题考查轨迹问题,考查线面平行,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 9. (5 分) (2014?邯郸二模)过抛物线 y =4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=8,则直线 AB 的倾斜角为 ( ) A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分 α=90°时,易知不成立,当 α≠90°时,设直线方程为:y=tanα(x﹣1) ,与抛物线方程联立,再由韦达定理 和抛物线过焦点的弦长公式求得其倾斜角. 解答: 解:当 α=90°时,|AB|=4 不成立 当 α≠90°时,设直线方程为:y=tanα(x﹣1) 2 2 2 2 与抛物线方程联立得: (tanα) x ﹣(2(tanα) +4)x+(tanα) =0
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∴ 由韦达定理得:x1+x2=

∴ |AB|=x1+x2+p= ∴ tanα=±1 ∴ α=

+2=8

故选:B. 点评: 本题主要考查直线与抛物线的位置及弦长公式,特别是抛物线过焦点的弦,要灵活地选择公式,提高解题 效率.

10. (5 分) (2012?山东)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,与双曲线 x ﹣y =1 的渐近线有四个 ) D. + =1

2

2

交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( A. B. C. + =1 + =1 + =1

考点: 圆锥曲线的共同特征;椭圆的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 综合题.

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分析: 由题意,双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,可得(2, 2)在椭圆 C: + =1.利用 ,即可求得椭圆方程.

解答: 解:由题意,双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 y=±x ∵ 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,故边长为 4, ∴ (2,2)在椭圆 C: ∴ ∵ + =1(a>b>0)上

∴ ∴ a =4b 2 2 ∴ a =20,b =5 ∴ 椭圆方程为: + =1
2 2

故选 D. 点评: 本题考查双曲线的性质,考查椭圆的标准方程与性质,正确运用双曲线的性质是关键. 二.填空题(共 5 小题,满分 25 分,每小题 5 分) 11. (5 分) (2014?安徽模拟)椭圆 + =1 与双曲线 ﹣ =1 有相同的焦点,则实数 m 的值是 1 .

考点: 圆锥曲线的共同特征. 分析: 先根据椭圆的方程求得焦点坐标,进而可知双曲线的半焦距,根据双曲线的标准方程,求得 m,答案可得. 解答: 解:椭圆 得
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∴ c1=

, ,0) (﹣ ,0) ,

∴ 焦点坐标为(

双曲线: 则半焦距 c2= ∴

的焦点必在 x 轴上,

则实数 m=1 故答案为:1. 点评: 此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,考查椭圆、双曲线的标准方程,以及椭圆、双曲线的简单性质的 应用,利用条件求出 a,b,c 值,是解题的关键.

12. (5 分) (2013?重庆模拟)已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则圆锥曲线

=1 的离心率为

5 .

考点: 专题: 分析: 解答:

圆锥曲线的共同特征;等比数列的性质. 综合题. 根据实数 m 是 2,8 的等比中项,确定实数 m 的值,再利用离心率的公式,即可求得结论. 解:由题意,实数 m 是 2,8 的等比中项,
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∴ m =2×8 ∴ m=±4 m=4 时,方程为 ,表示椭圆,离心率为 ;

2

m=﹣4 时,方程为

,表示双曲线,离心率为

综上所述,圆锥曲线

=1 的离心率为



故答案为:



点评: 本题考查等比数列,考查圆锥曲线的离心率,解题的关键是正确运用离心率公式.

13. (5 分)已知下列命题命题:① 椭圆 ﹣y =a (a>0)的离心率
2 2

中,若 a,b,c 成等比数列,则其离心率

;② 双曲线 x

2

且两条渐近线互相垂直;③ 在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是每个面都是
2 2

直角三角形的四面体的 4 个顶点;④ 若实数 x,y∈[﹣1,1],则满足 x +y ≥1 的概率为 ① ② ③ .

.其中正确命题的序号是

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 综合题;压轴题. 分析: ① 根据 a,b,c 成等比数列得出 a,b,c 的关系,进而可求得 c 关于 a 的表达式,进而根据
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求得 e.

② 由双曲线的标准方程,则可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出其斜率之积为﹣1 进而求 得 a 和 b 的关系,进而根据 c= 求得 a 和 c 的关系,则双曲线的离心率可得.

③ 找出正方体中的四面体的各种图形,例如侧棱垂直底面直角三角形的四面体即可判断③ 的正误; ④ 用几何概型判断即可. 解答: 解:① 已知 a,b,c 成等比数列,∴ ac=b ,椭圆的离心率 ② 双曲线 x ﹣y =a (a>0) ,则双曲线的渐近线方程为 y=±x ∴ 两条渐近线互相垂直, 2 2 ∵ a =b , ∴ c= ∴ e= = = a
2 2 2 2

,故正确;

,故正确;

③ 如四面体 B1ABD;故正确; ④ 概率应为 1﹣ 故答案是① ② ③ . ,故错.

点评: 本题主要考查了椭圆的基本性质,考查了双曲线的简单性质.解答关键是学生转化和化归思想和对圆锥曲 线的基础知识的把握程度. 14. (5 分) (2014?马鞍山三模)对于圆锥曲线,给出以下结论: ① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| |﹣| |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; = ( + ) ,则动点 P 的轨迹为圆;

② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若
2

③ 方程 4x ﹣12x+5=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④ 双曲线 ﹣
2

=1 与椭圆

+

=1 有相同的焦点.

⑤ 椭圆 C:

+y =1 上满足

?

=0 的点 M 有 4 个(其中 F1,F2 为椭圆 C 的焦点) .

其中正确结论的序号为 ③ ④ (写出所有正确结论的序号) . 考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ① 不正确.若动点 P 的轨迹为双曲线,则|k|要小于 A、B 为两个定点间的距离;② 设出定圆的方程,利用代
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入法分析可知 AB 中点 P 的轨迹为圆(除去 A 点) ;③ 求出方程的两根即可得到答案;④ 双曲线



=1 与

椭圆

+

=1 有相同的焦点(±5,0) ;⑤ 椭圆 C:

+y =1 上满足

2

?

=0 的点 M 有 2 个(0,±1) .

解答: 解:① 不正确.若动点 P 的轨迹为双曲线,则|k|要小于 A、B 为两个定点间的距离.当|k|大于 A、B 为两个 定点间的距离时动点 P 的轨迹不是双曲线; 对于② ,设定圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,点 A(m,n) ,P(x,y) ,由
2 2

= (

+

) ,可知 P 为

AB 的中点,则 B(2x﹣m,2y﹣n) ,因为 AB 为圆的动弦,所以 B 在已知圆上,把 B 的坐标代入圆 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 得到 P 的轨迹仍为圆,当 B 与 A 重合时 AB 不是弦,所以点 A 除外,所以② 不正确; 2 因为 4x ﹣12x+5=0 的两根是 1.25,0.5,椭圆的离心率范围是(0,1) ,双曲线的离心率范围是(1,+∞) , 所以③ 正确; ④ 双曲线 ﹣
2

=1 与椭圆

+

=1 有相同的焦点(±5,0) ,正确;

⑤ 椭圆 C:

+y =1 上满足

?

=0 的点 M 有 2 个(0,±1) (其中 F1,F2 为椭圆 C 的焦点) ,不正确.

故答案为:③ ④ . 点评: 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征,同时考查了椭圆与双曲线的性质,考查的知识点较多,属于中档题. 15. (5 分) (2012?茂名二模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1, F2,且它们在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,双曲线的离心率的值为 2, 则该椭圆的离心率的值为 .

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 综合题. 分析: 利用离心率的定义,及双曲线的离心率的值为 2,|PF1|=10,|F1F2|=|PF2|,可求得|PF2|=
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,再利用椭圆的离

心率 e2= 解答:

,可得结论.

解:由题意知双曲线的离心率 e1= 又|PF1|=10,|F1F2|=|PF2|, ∴ |PF2|=

=

=

=2,

∴ 椭圆的离心率 e2= 故答案为:

=

点评: 本题考查椭圆与双曲线的几何性质,解题的关键是正确运用离心率的定义,属于中档题. 三.解答题(共 6 小题) 16. (2015?洛阳一模)已知 F1,F2 是椭圆 C + =1 的左,右焦点,以线段 F1F2 为直径的圆与圆 C 关于直线 x+y

﹣2=0 对称. (l)求圆 C 的方程; (2)过点 P(m,0)作圆 C 的切线,求切线长的最小值以及相应的点 P 的坐标. 考点: 椭圆的简单性质;圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)关键是求出以线段 F1F2 为直径的圆的圆心关于直线 x+y﹣2=0 对称的点即圆 C 的圆心,半径是
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=1; (2)切线、圆半径、点 P 与圆心的连线,他们构成的直角三角形,切线最小及点 P 到圆心的距离最小. 解答: 解: (1)由题意知,F1(﹣1,﹣) ,F2(1,0) ,线段 F1F2 的中点坐标为原点. 设点 0 关于直线 x+y﹣2=0 对称的点 C 坐标为( (x0,y0) ,则,



解得

,即 C(2,2) ,

半径为

=1,
2 2

所以圆 C 的方程为: (x﹣2) +(y﹣2) =1; (2)切线长: ,

当|PC|最小时,切线长取得最小值, 当 PC 垂直于 x 轴,及点 P 位于(2,0)处时,|PC|min=2, 此时切线长取最小值 .

点评: 本题主要考查圆的对称问题,圆的切线问题. 17. (2015?兴国县一模)已知抛物线 y =2px(p>0) ,焦点为 F,一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且|AF|+|BF|=8, 且 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6,0) ① 求抛物线方程; ② 求△ ABS 面积的最大值.
2

考点: 抛物线的标准方程;抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ① 利用点差法,确定 AB 中点 M 的坐标,分类讨论,根据 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6,0) ,即可求抛 物线方程; ② 分类讨论,求出△ ABS 面积的表达式,即可求得其最大值. 解答: 解:① 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 中点 M(x0,y0)
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当直线的斜率存在时,设斜率为 k,则由|AF|+|BF|=8 得 x1+x2+p=8,∴





,∴

所以

依题意
2

,∴ p=4

∴ 抛物线方程为 y =8x﹣﹣﹣﹣(6 分) 2 当直线的斜率不存在时,2p=8,也满足上式,∴ 抛物线方程为 y =8x

② 当直线的斜率存在时,由(2,y0)及



令 y=0,得 又由 y =8x 和
2

得:

∴ 当直线的斜率不存在时,AB 的方程为 x=2,|AB|=8,△ ABS 面积为 ∵ ,∴ △ ABS 面积的最大值为 .

=

﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.

18. (2014?天津一模)已知椭圆 C: 8 . (1)求椭圆的方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为

(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆 C 上,且对角线 AC,BD 均过坐标原点 O,若 kAC?kBD=﹣ . ① 求 的范围;

② 求四边形 ABCD 的面积. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用离心率计算公式、菱形的面积计算公式、a2=b2+c2 即可得出; (2) (i)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、 数量积运算即可得出; (ii)利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形及其四边形的面积公式即可得出. 解答: 解: (1)由已知可得: ,
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于是 c=2,b=2,a =8, ∴ 椭圆的方程为 .

2

(2)当直线 AB 的斜率不存在时,

=2,∴

的最大值为 2.

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立
2 2

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0,
2 2

2

2

2

∴ △ =16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣8) 2 2 =8(8k ﹣m +4)>0,









,∴





=﹣



y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=

=

=





,∴ 4k +2=m ,

2

2



=x1x2+y1y2= ,

=

=



∴ 因此,综上可得:



② 设原点到直线 AB 的距离为 d,则



则 S△AOB=

=

=

=

=
2 2



又∵ 4k ﹣m =﹣2, ∴ S△AOB=2 . ∴ S 四边形 ABCD=4S△AOB= . 点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜 率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形四边形的面积公式、菱形的面积计 算公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

19. (2015?杨浦区一模) 如图, 曲线 Γ 由曲线 C1:

和曲线 C2:

组成,其中点 F1,F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3,F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (1)若 F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,求曲线 Γ 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一 条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 Γ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△ CDF1 面积的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由 F2(2,0) ,F3(﹣6,0) ,可得
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,解出即可;

(2) 曲线 C2 的渐近线为
2

, 如图, 设点 A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x0, y0) , 设直线 l: y=
2 2



与椭圆方程联立化为 2x ﹣2mx+(m ﹣a )=0, 利用△ >0,根与系数的关系、中点坐标公式,只要证明 ,即可.

(3)由(1)知,曲线 C1:
2 2

,点 F4(6,0) .设直线 l1 的方程为 x=ny+6(n>0) .与

椭圆方程联立可得(5+4n )y +48ny+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基 本不等式的性质即可得出. 解答: (1)解:∵ F2(2,0) ,F3(﹣6,0) , ∴ ,

解得



则曲线 Γ 的方程为 (2)证明:曲线 C2 的渐近线为 如图,设直线 l:y= ,

和 ,





,化为 2x ﹣2mx+(m ﹣a )=0,

2

2

2

△ =4m ﹣8(m ﹣a )>0, 解得 . 又由数形结合知 . 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,

2

2

2

则 x1+x2=m,x1x2= ∴ ∴ = ,



. 上.

,即点 M 在直线 y=﹣

(3)由(1)知,曲线 C1: 设直线 l1 的方程为 x=ny+6(n>0) . ,化为(5+4n )y +48ny+64=0,
2 2 2 2 2

,点 F4(6,0) .

△ =(48n) ﹣4×64×(5+4n )>0,化为 n >1. 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) , ∴ , .

∴ |y3﹣y4|=

=



= 令 t= ∴ = >0,∴ n =t +1, =
2 2

=

=



=

,当且仅当 t= ,即 n=

时等号成立.

∴ n=

时,

=



点评: 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、 弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20. (2014?福建)已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第四象限) ,且△ OAB 的 面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不 存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,可知 =2,易知 c= a,从而可求双曲线 E 的离心率;
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(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1,设直线 l 与 x 轴相交于点 C,分 l⊥ x 轴与直线 l 不与 x 轴

垂直讨论,当 l⊥ x 轴时,易求双曲线 E 的方程为



=1.当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为

y=kx+m,与双曲线 E 的方程联立,利用由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|=8 可证得:双曲线 E 的方程为 从而可得答案. 解答: 解: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x, 所以 =2.



=1,

所以 故 c= a,

=2.

从而双曲线 E 的离心率 e= =



(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.

设直线 l 与 x 轴相交于点 C, 当 l⊥ x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a, 所以 |OC|?|AB|=8,

因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为



=1.

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<﹣2;



=1 也满足条件.

则 C(﹣ ,0) ,记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得 y1= ,同理得 y2= ,

由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|得: |﹣ |?|
2



|=8,即 m =4|4﹣k |=4(k ﹣4) .

2

2

2

因为 4﹣k <0, 2 2 2 2 2 2 所以△ =4k m +4(4﹣k ) (m +16)=﹣16(4k ﹣m ﹣16) , 2 2 又因为 m =4(k ﹣4) , 所以△ =0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 ﹣ =1.

点评: 本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.

21. (2013?江西)如图,椭圆 C:

经过点 P(1, ) ,离心率 e= ,直线 l 的方程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别 为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意将点 P (1, )代入椭圆的方程,得到
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,再由离心率为 e= ,将 a,

b 用 c 表示出来代入方程,解得 c,从而解得 a,b,即可得到椭圆的标准方程; (2)方法一:可先设出直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数的关系求得 x1+x2= 坐标,分别表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值; 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,以之表示出直线 FB 的方程为 ,由此方程求得 M 的 , ,再求点 M 的

坐标,再与椭圆方程联立,求得 A 的坐标,由此表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值 解答: 解: (1)椭圆 C: 经过点 P (1, ) ,可得 ①

由离心率 e= 得 = ,即 a=2c,则 b =3c ② ,代入① 解得 c=1,a=2,b=

2

2

故椭圆的方程为 (2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③ 代入椭圆方程 并整理得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2= , ④

在方程③ 中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k) , 从而 , , =k﹣

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+

﹣ (

+



=2k﹣ ×



④ 代入⑤ 得 k1+k2=2k﹣ ×

=2k﹣1

又 k3=k﹣ ,所以 k1+k2=2k3 故存在常数 λ=2 符合题意 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,则直线 FB 的方程为

令 x=4,求得 M(4,



从而直线 PM 的斜率为 k3=



联立

,得 A(



) ,

则直线 PA 的斜率 k1=

,直线 PB 的斜率为 k2=

所以 k1+k2= 故存在常数 λ=2 符合题意

+

=2×

=2k3,

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查了分析转化的能力与探究的能力,考查了方程的思想,数形结 合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严谨运算,严密推理,方能碸解答出.


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