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对数函数的概念图像及性质2


4.4 对数函数及其性质

13学前4班

开课教师:康小燕

二.引入新课 分裂次数 第一次 第二次 第三次 第y次

细胞分裂过程 细胞个数 2=21 4=22
3 8=2 8=23

……

2y

y x = 2 用x表示细胞个数,关于分裂次数y的表达为

如果把这个指数式转换成对数式的形式应为

y=log2x

(一)对数函数的定义
★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
定义域是(0,+∞) 其中x是自变量,

想 一 想 ?

对数函数解析式有哪些结构特征? ①底数:a>0,且 a≠1 ②真数: 自变量x ③系数:1

辨析:
★下列函数中,哪些是对数函数?




y ? log a x 2 ; y ? log 2 x ? 1; y ?? 2 log 8 x;


④ ⑤

y ? log 5 x; y ? log x a ( x ? 0, 且x ? 1)

动手画一画:


画出函数

y ? log2 x 与 y ? log x 的图象。
1 2

列表


描点
演 示

连线

归纳出函数图像的特征:
1.函数图像都在 y 轴的 右侧 , 2.函数图像都经过点(1,0) ; 3.函数 y ? log2 x 的图像自左至右呈 上升 趋势; 函数 y ? log 1 x 的图像自左至右呈 下降 趋势.
2

y=log2x图象 列 表 描 点 连 线

x
y ? log2 x



1 4

1 2

1 2

4
2




… -2 -1 0 1

y

2
1
0
11 42

y ? log2 x

1

2

3

4

x

-1 -2

y=log0.5x图像 列 表 描 点 连 线
x y=log2x y= log x y 0.5
2 1
0
11 42

1/4 1/2 -2 -1 2 1

1 0 0

2 1

4 2

….. … …

y ? log2 x

-1 从解析式的角度来讲: -2
利用换底公式

y ? log 0.5 x
1 2 3 4 x

?

? ? log 2 x

log 2 x 1 log 2 2

-1 -2

y ? log 0.5 x

探究新知
探究:是不是所有的对数函数的图像都具有上述的

两个指数函数 y ? log2 x

和 y ? log x 这样的特征呢?
1 2





底数互为倒数的两个对数函数的图象 关于x轴对称。

探讨:
给你一个任意的实数a ( a > 0 ),你能 很快的画出其图象和清楚图象特征吗? 下面我们先来看看,当a在变动时其图 象是怎样的?

探究新知
探究:是不是所有的对数函数的图像都具有上述的

两个指数函数 y ? log2 x

和 y ? log x 这样的特征呢?
1 2





对数函数的图像和性质
a>1
3

0<a<1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: 值域:

(0,+∞) (??,??)
在(0,+∞)上是 减 函数

性 质

恒过点(1,0),即当x=1时,y=0 在(0,+∞)上是 增 函数

x ? (0,1)

? y?0
? y?0

x ? (0,1)

x ? (1,??)

x ? (1,??)

? y?0
? y?0

例1

求下列函数的定义域:
(1) y ? log a x
2

(2) y ? log a (4 ? x)
2

x ? 0,即 x ? 0,所以函数 y ? log a x 的定义域是 {x | x ? 0}
解:(1)因为
2

(2)因为

4 ? x ? 0,即 x ? 4 ,所以函数 y ? loga (4 ? x)
{x | x ? 4}

的定义域是

例2

比较下列各组数中两个值的大小:
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )

解:⑴ 考察对数函数 y ? log 2 x ,因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是增函数,且3.4<8.5,所以
log 2 3.4 ? log 2 8.5

⑵考察对数函数 y ? log 0.3 x,因为它的底数为0.3, 即0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,且 1.8<2.7,所以 log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7

解:⑴ 对数函数 y ? log a x 的增减性决定于底数a大 于1还是 小于1,因此需要对底数a进行讨论。 当a>1时,函数 y ? log a x 在(0,+∞)上是增函数, 且5.1<5.9,所以 log a 5.1 ? log a 5.9 当0<a<1时,函数 y ? log a x 在(0,+∞)上是减函数, 且5.1<5.9,所以 log a 5.1 ? log a 5.9

小结:
1.定义

对 数 函 数

2.图象和性质
3.性质的应用
(1)求对数型函数的定义域 (2)比较两个对数的大小

作业:P74.

习题2.2

A 组 7 、8


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