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(智慧测评)2015届高考数学大一轮总复习 第7篇 第2节 空间几何体的表面积与体积课时训练 理 新人教A版


(智慧测评) 2015 届高考数学大一轮总复习 第 7 篇 第 2 节 空间几 何体的表面积与体积课时训练 理 新人教 A 版

一、选择题 1.(2014 湖北黄冈 4 月调研)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( )

A.20 C.56

B.

40 3

D.60

解析: 空间几何体是底面为直角三角形的三棱锥, 底面直角三角形的直角边边长分别为 4,5,三棱锥的高为 4, 1 1 40 故其体积为 × ×4×5×4= . 3 2 3 故选 B. 答案:B 2.(2014 山东枣庄一模)一个几何体的三视图如图所示,其中长度单位为 cm,则该几何 体的体积为( )

A.18 cm C.45 cm

3

B.48 cm D.54 cm

3

3

3

解析:由题中三视图可知,该几何体是四棱柱,底面为直角梯形其上底为 4,下底为 5, 高为 3.棱柱的高为 4, 4+5 3 所以四棱柱的体积为 ×3×4=54(cm ), 2
1

故选 D. 答案:D 3.(2014 河南省十所名校三联)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A. 2π C.(2 2+1)π

B.2 2π D.(2 2+2)π

解析:由题中三视图可知该几何体是两个底面半径为 1,高为 1 的圆锥的组合体,圆锥 的母线长度为 2,故其表面积是 2×π ×1× 2=2 2π .故选 B. 答案:B 4.(2014 山东烟台高三期末)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ( )

A.6+8 3 C.12+8 3

B.12+7 3 D.18+2 3

解析:该空间几何体是一个三棱柱.底面等腰三角形的高是 1,两腰长为 2,所以其底 边长是 2 3,两个底面三角形的面积之和是 2 3,侧面积是(2+2+2 3)×3=12+6 3, 故其表面积是 12+8 3.故选 C. 答案:C 5.(2014 河南开封二检)已知三棱锥 O-ABC,A,B,C 三点均在球心为 O 的球表面上,

AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥 O-ABC 的体积为
A.64π B.16π

5 ,则球 O 的表面积是( 4

)

2

C.

32 π 3

D.544π 3 1 3 5 ,设球心 O 到平面 ABC 的距离为 h,则 × ×h= ,所以 4 3 4 4 3 3 2
2

解析:△ABC 的面积是

h= 15.△ABC 外接圆的直径 2r=

=2,所以 r=1.球的半径 R= ? 15? +1=4,

2

故所求的球的表面积是 4π ×4 =64π . 故选 A. 答案:A 6.(2014 潍坊模拟)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥外接球表面积等于( A.8π C.48 2π 8 解析:设矩形长为 x,则宽为 (x>0), )

B.16π D.50π

x

? 8? 周长 P=2?x+ ?≥2·2 ?
x?
8 当且仅当 x= ,

x· =8 2. x

8

x

即 x=2 2时,周长取到最小值. 此时正方形 ABCD 沿 AC 折起,取 AC 的中点为 O,则

OA=OB=OC=OD,
三棱锥 D-ABC 的四个顶点都在以 O 为球心, 以 2 为半径的球上, 此球的表面积为 4π ·2 =16π . 答案:B 二、填空题 7.有一根长为 3π cm,底面直径为 2 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为________cm.
2

解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形 ABCD(如图),由题意知

BC=3π cm,AB=4π cm,点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置,故线段 AC 的长度即为铁
丝的最短长度.

AC= AB2+BC2=5π (cm),
3

故铁丝的最短长度为 5π cm. 答案:5π 8.(2013 年高考江苏卷)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB, AC,AA1 的中点.设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________. × AD·AE·sin∠EAD·AF V1 3 2 解析: = V2 1 AC·AB·sin∠CAB·AA1 2 = 1AD AE AF · · 3AB AC AA1 1 1

1 1 1 1 = × × × 3 2 2 2 = 1 . 24

答案:1∶24 9.(2014 吉林省吉林市二模)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥 外接球的表面积等于________cm .
2

解析:由题中三视图知该几何体为三棱锥 C1-ABC,可补成长方体如图所示,其中 AB= 3,BC=1,CC1=2,其外接球的直径 AC1= 14, 故其外接球的表面积为 14π cm . 答案:14π 10.如图在底面半径为 2,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱,则圆柱的表面 积为________. 解析:由圆锥的底面半径为 2,母线长为 4, 得圆锥的高 h= 4 -2 =2 3, 由圆柱高为 3,则圆柱的底面半径 r=1.
2 2 2

4

S 表面=2S 底面+S 侧面=2π +2π × 3
=(2+2 3)π . 答案:(2+2 3)π 三、解答题

11.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是 一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S. 解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面 是边长为 1 的正方形,高为 3, 所以 V=1×1× 3= 3. (2)由题中三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面

BCC1B1,所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3.
12.(2014 安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、

F 分别为 AC、AB 的中点,将△AEF 沿 EF 折起,使 A′在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中
点,得到图(2).

(1)求证:EF⊥A′C; (2)求三棱锥 F-A′BC 的体积. (1)证明:在△ABC 中,EF 是等腰直角△ABC 的中位线, ∴EF⊥AC, 在四棱锥 A′-BCEF 中,EF⊥A′E,EF⊥EC,
5

又 EC∩A′E=E,∴EF⊥平面 A′EC, 又 A′C? 平面 A′EC, ∴EF⊥A′C. (2)解:在直角梯形 BCEF 中,EC=2,BC=4, 1 ∴S△FBC= BC·EC=4, 2 ∵A′O⊥平面 BCEF, ∴A′O⊥EC, 又∵O 为 EC 的中点, ∴△A′EC 为正三角形,边长为 2, ∴A′O= 3, 1 ∴VF-A′BC=VA′-FBC= S△FBC·A′O 3 1 = ×4× 3 3 = 4 3 . 3

6


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