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2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版):专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数(讲)(解析版)

【最新考纲解读】 要 内 容 A 两角和(差)的正弦、 余弦及正切 B C √
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦. 4.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.



备注

基 本 初 等 函 数 Ⅱ(三角 函数)、 二倍角的正弦、余弦及 三 角 恒 正切 等变换



5.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正 弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

【考点深度剖析】 1. 本课主要题型有:①三角函数式的化简与求值;②三角函数式的简单证明.这部分知识难 度已较以前有所降低,应适当控制其难度. 2.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换,进而考查三角函数的图像和性质是 高考的热点内容. 3.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形 状,求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题. 【课前检测训练】 [判一判] (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α ,β 是任意的。( ) 解析 正确。 (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立。( ) π 解析 正确。如 α=0,β=2。 (3)在锐角三角形 ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小关系不确定。( ) 解析 错误。sin Asin B-cos Acos B=-cos(A+B)。 ∵△ABC 为锐角三角形,∴90°<∠A+∠B<180°。

∴cos(A+B)<0,sin Asin B-cos Acos B>0, 即 sin Asin B>cos Acos B。 tan α+tan β (4)公式 tan(α+β)= 可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任 1-tan αtan β 意角 α,β 都成立。( ) 解析 错误。α 、β 应使 tan α ,tan β ,tan(α +β )有意义。 (5)存在实数α ,使 tan 2α =2tan α 。( ) 解析 正确。如α =π 。 [练一练] α 3 若 sin 2 = 3 ,则 cos α=_______ . α 3 α 解析 因为 sin 2= 3 ,所以 cos α=1-2sin22 =1-2×?

? 3? 1 ? 2= 。 ?3? 3

2. sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=_______ .

3.已知 tan(α +β )=3,tan(α -β )=5,则 tan 2α =________ 解析 ∵2α=(α+β)+(α-β), ∴tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)] = = + 1- + 3+5 4 =-7 1-3×5 + - -

4.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=________ tan 20°+tan 40° 解析 ∵tan(20°+40°)= , 1-tan 20°tan 40° ∴ 3- 3tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°, 即 tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3 5.函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )的最大值为________

【题根精选精析】

考点 1

两角和与差的三角函数公式的应用
? ?

【1-1】设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

??

3 ?? , 6? 5

则 sin ? ? ?

? ?

?? 12 ?

? ?

.

【答案】

2 10

【解析】由于 ? 为锐角,则 0 ? ? ?

?
2

,则

?
6

?? ?
2

?
6

?

2? ?? ? ,因此 sin ? ? ? ? ? 0 , 3 6? ?

?? 4 ?? ? ?3? ? 所以 sin ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? , 6? 5 6? ? ?5? ?
所以 sin ? ? ?

? ?

?? ?? ?? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 12 ? 6 ? 4? ??

? ?

?? ? ?? ? 4 2 3 2 2 ? ? . ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 6? 4 6? 4 5 2 5 2 10 ? ?
【 1-2 】 求值:

2 cos100 ? sin 200 = cos 200



【答案】 3 【解析】 试题分析:由题意得:

2 cos100 ? sin 200 2 cos (300 ? 200 ) ? sin 200 ( 3 cos 20 0 ? sin 20 0 ) ? sin 200 ? ? ? 3 cos 200 cos 200 cos 200

【基础知识】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ; C(α+β):cos(α+β)=cosαcos_β-sin_αsinβ; S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cosαsinβ; tan α+tan β T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 变形公式: tan α± tan β=tan(α± β)(1?tanαtanβ);

sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

).

【思想方法】
应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视, 公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了 公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.

【温馨提醒】在 T(α+β)与 T(α-β)中,α,β,α±β都不等于 kπ+ (k∈Z),即保证
π tanα,tan β,tan(α+β)都有意义;若α,β中有一角是 kπ+ (k∈Z),可利用诱导公 2 式化简.

π 2

考点 2

二倍角公式的运用
.

【2-1】函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为 【答案】

3 2 1 2 3 , 2

【解析】因为 y ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ?

1 3 时函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 取得最大值,最大值为 . 2 2 1 ? 【2-2】已知 sin 2? ? ,则 cos 2 (? ? ) ? . 3 4 2 【答案】 3
所以当 sin x ?

?? ? 1 1 ? cos? 2? ? ? 1? ? 1 ? sin 2 ? 2 ? ? ? ?? 3 ?2. 【解析】 cos 2 ? ? ? ? ? ? 2 3 4? 2 2 ?
【基础知识】
二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α T2α:tan 2α= . 1-tan2α 变形公式: 1+cos 2α 1-cos 2α cos2α= ,sin2α= 2 2 1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2

【思想方法】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角” ,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公 式; (2)二看“函数名称” ,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特征” ,分析结构特征,找到变形的方向.

【温馨提醒】求解三角函数问题,应灵活运用公式,特别注意已知等式中角的取值范围,涉
及开方求值问题,注意正负号的选取.

考点 3

三角恒等式的证明
1 = α 4sin 2α. α-tan2 tan 2 cos2α

【3-1】求证: 1

1 = sin 2α=右边. 4 ∴原式成立.

sin β sin(2α+β) 【3-2】求证:sin α= sin α -2cos(α+β).

【3-3】已知 0 ? ? ?

?
4

,0 ? ? ?

?
4

,且 3 sin ? ? sin( 2? ? ? ) , 4 tan

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

.

证明: ? ? ? ?

?
4

.

【证明】? 3 sin ? ? sin( 2? ? ? ) ,即 3 sin(? ? ? ? ? ) ? sin( 2? ? ? ) ,

? 3 sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? , ? 2 sin(? ? ? ) cos ? ? 4 cos(? ? ? ) sin ? , ? tan(? ? ? ) ? 2 tan ? ,
又? 4 tan

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

,? tan ? ?

2 tan ? 1 ? tan 2

?
2

?

1 , 2

? tan(? ? ? ) ? 2 tan ? ? 1 ,? 0 ? ? ? ?? ? ? ?

?
4

,0 ? ? ?

?
4



?
4

.

【基础知识】
二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α T2α:tan 2α= . 1-tan2α 变形公式: 1+cos 2α 1-cos 2α cos2α= ,sin2α= 2 2 1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2

【思想方法】
三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式. (1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角 恒等式变换,使等式的两边化异为同. (2)条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途 径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.

【温馨提醒】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一
或变更论证. . 【易错问题大揭秘】 1.利用辅助角公式,asin x+bcos x 转化时一定要严格对照和差公式,防止搞错辅助角. 2.计算形如 y=sin(ω x+φ ), x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将ω x+φ 的范围和 x 的范围混 淆. (1)讨论三角函数的性质,要先利用三角变换化成 y=Asin(ω x+φ ),φ 的确定一定要准确. (2)将ω x+φ 视为一个整体,设ω x+φ =t,可以借助 y=sin t 的图象讨论函数的单调性、最值 等.


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