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第1讲 三角函数的化简与求值

第1讲

三角函数的化简与求值

【自主学习】

第 1讲

三角函数的化简与求值

(本讲对应学生用书第1~4页)

自主学习

回归教材

5 1. (必修4 P23习题9改编)已知cos θ =- 13 ,θ 为第二象限角,则tan θ =
12 【答案】- 5

.

5 12 12 【解析】因为cos θ =- 13 ,θ 为第二象限角, 所以sin θ = 13 ,所以tan θ =- 5 .

2. (必修4 P118复习题9改编)求值:(tan3°+1)(tan42°+1)= 【答案】2

.

【解析】原式=tan3°tan42°+tan3°+tan42°+1=tan3°tan42°+tan(3°+42°)(1tan3°tan42°)+1=2.

π? ? ? π? 0, ? ? 2 x- ? ? 4 2 ? 的值域是 ? ? ? 3. (必修4 P45习题7改编)函数y=sin ,x∈
? 2 ? , 1? ?2 ? 【答案】 ?

.

3π ? ? π? π ?- π , 2 0, ? ? ? ? 【解析】因为x∈ ? 2 ? ,所以2x∈[0,π ],所以2x- 4 ∈ ? 4 4 ? ,所以- 2

π? ? ? 2 x- ? 4 ? ≤1. ≤sin ?
?π ? π? 1 ? ? 5π ? ? -x ? x ? x ? ? ? ? 6 ? = 4 ,则sin ? 6 ? +sin2 ? 3 ? = 4. (必修4 P23习题17改编)若sin ?

.

19 【答案】 16
? ?π ?? ? 5π ? ?π ? 1 ? π- ? 6 ? x ? ? ? -x ? ? ? x? ? ? =sin ? 6 ?= 4 , 【解析】因为sin ? 6 ? =sin ? ?
?π ? ? -x ? 3 ? 2?

sin

=sin

?? ? π ?? ? 2 ? ? x ? 6 ?? ? ?? 2?

π? ? 19 ? x ? ? 15 6? 2? =cos = 16 ,故原式= 16 .

π 5. (必修4 P40练习3改编)将函数y=3sin 2x的图象向左平移 8 个单位长度后,所得
图象的函数解析式为 .

π? ? ? 2x ? ? 4? 【答案】y=3sin ?

? ? π ?? π ?2 ? x ? 8 ?? ?? , 【解析】函数y=3sin 2x的图象向左平移 8 个单位长度后,得到y=3sin ? ?
π? ? ? 2x ? ? 4 ? 的图象. 即y=3sin ?

【要点导学】

要点导学

各个击破

三角函数的定义 例1 (2015·苏州调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C均在单

3 位圆上,已知点A在第一象限且横坐标是 5 ,点B在第二象限,点C(1,0).

(例1) (1) 设∠COA=θ ,求sin 2θ 的值; (2) 若△AOB为正三角形,求点B的坐标. 【分析】由于点A,B是单位圆上的点,利用三角函数的定义可以知道点 A(cos

3 θ , sin θ ) , 则 cos θ = 5 , 再 用 二 倍 角 公 式 , 就 可 求 出 sin 2θ 的 值 . 点
B(cos(θ +60°), sin(θ +60°))用和角公式求解即可.

3 【解答】(1) 由题设得cos θ = 5 .
因为点A在单位圆上且在第一象限,

4 所以sin θ = 5 ,
24 所以sin 2θ =2sin θ cos θ = 25 .
(2) 因为△AOB为正三角形, 所以∠BOC=∠AOC+60°=θ +60°,

3-4 3 所以cos∠BOC=cos(θ +60°)=cos θ cos 60°-sin θ sin 60°= 10 ,

4?3 3 sin∠BOC=sin(θ +60°)=sin θ cos 60°+cos θ sin 60°= 10 ,
? 3-4 3 4 ? 3 3 ? ? ? 10 , 10 ? ? ?. 所以点B的坐标为 ?

变式

(2015·南京、盐城一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,设锐角α 的

始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐标原点O

π 按逆时针方向旋转 2 后与单位圆交于点Q(x2,y2),记f(α )=y1+y2.

(变式) (1) 求函数f(α )的值域; (2) 设△ABC的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 f(C)= 2 ,且 a= 2 , c=1,求b的值. 【解答】(1) 由题意,得y1=sin α ,

π? ? ?? ? ? 2 ? =cos α , y2=sin ? π? ? ?? ? ? 4?. 所以f(α )=sin α +cos α = 2 sin ? 3π ? ? π? π ?π, ? 0, ? ? ? 因为α ∈ ? 2 ? ,所以α + 4 ∈ ? 4 4 ? ,
所以f(α )∈(1, 2 ].

π? ? ?C ? ? 4 ?= 2 , (2) 因为f(C)= 2 sin ?

? π? π ? 0, ? 又因为C∈ ? 2 ? ,所以C= 4 .
在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,

2 即1=2+b2-2 2 × 2 b,解得b=1.
【点评】本题的意图是引导学生强化对三角函数定义的理解.

三角函数的化简与求值 例2 (2015·广东卷)已知tan α =2.

π? ? ?? ? ? 4 ? 的值; (1) 求tan ?

sin2? (2) 求 sin ? ? sin? cos? -cos2? -1 的值.
2

π? ? ?? ? ? 4 ? 的值. 【分析】(1) 由两角和的正切公式展开,代入数值,即可求得tan ?
(2) 先利用二倍角的正、余弦公式及平方关系把式子整理成齐次式,然后分子、 分母都除以cos2α ,再代入数值求值即可.

π 4 π? ? tan? ? 1 2 ?1 π ? ? ? ? 1-tan? tan 4 ?= 4 = 1-tan? = 1-2 =-3. 【解答】(1) 由题意得,tan ? tan? ? tan

sin2? (2) sin ? ? sin? cos? -cos2? -1
2

2sin? cos? 2 = sin ? ? sin? cos? -(2cos ? -1)-1
2

2sin? cos? 2 = sin ? ? sin? cos? -2cos ?
2

2tan? = tan ? ? tan? -2
2

2? 2 = 2 ? 2-2 =1.
2

【点评】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍 角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系,属于中档题.

7 2 变式1 已知α ,β ∈(0,π ),且tanα =2,cosβ =- 10 .
(1) 求cos2α 的值; (2) 求2α -β 的值. 【分析】(1) 利用二倍角的余弦公式,再找出它与tanα 之间的关系. (2) 要求一个角的大小,首先尽量缩小这个角的范围,再求出这个角的一个三 角函数值,从而得出角的大小.

cos 2? -sin 2? 1-tan 2? 2 2 2 2 2 【解答】 (1) cos2α =cos α -sin α = cos ? ? sin ? = 1 ? tan ? . 因为 tanα =2 ,所 1-tan 2? 1-4 3 3 2 以 1 ? tan ? = 1 ? 4 =- 5 ,所以cos2α =- 5 .
(2) 因为α ∈(0,π ),且tanα =2,

? π? 3 ? 0, ? 所以α ∈ ? 2 ? .由(1)知cos2α =- 5 , ?π ? 4 ? ,π ? ? ,sin2α = 5 . 所以2α ∈ ? 2

7 2 因为β ∈(0,π ),cosβ =- 10 ,
?π ? 2 ? ,π ? ?, 所以sinβ = 10 ,β ∈ ? 2

? ? 4 ?- 7 2 ? ?- 3 ? 2 2 ? 10 ? ? ? 5 ? - ? ? × 10 =- 2 . 又 所以 sin(2α -β )=sin2α cosβ -cos2α sinβ = 5 × ?

? π π? π ?- ,? 因为2α -β ∈ ? 2 2 ? ,所以2α -β =- 4 .
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角的余弦公式与两角和

7 2 与差的三角函数公式的应用 .由条件α ,β ∈(0,π ),且tanα =2,cosβ =- 10 ,
?π ? ?π ? ? π π? ? ,π ? ? ,π ? ?- ,? ? ,β ∈ ? 2 ? ,得 2α -β ∈ ? 2 2 ? . 通过计算 sin(2α -β ) 的值, 得 2α ∈ ? 2
从而得到2α -β 的值.

?1 π? ? x- ? 变式2 已知函数f(x)=2sin ? 3 6 ? ,x∈R. ? 5π ? ? ? (1) 求f ? 4 ? 的值; π ? 10 ? π? ? 6 0, ? ? 3? ? ? ? 2 ? = 13 ,f(3β +2π )= 5 ,求cos(α +β )的值. (2) 设α ,β ∈ ? 2 ? ,f ? ? 5π ? ? 5π π ? π ? ? ? ? 4 12 6 【解答】(1) f ? ? =2sin ? - ? =2sin 4 = 2 . π? ? 10 5 ? 3? ? ? 2 ? =2sin α = 13 ,所以sin α = 13 . (2) f ? π? ? π? ? 12 6 0, ? ?? ? ? ? 2 ? =2cos β = 5 ,所以 因为α ∈ ? 2 ? ,所以cos α = 13 .f(3β +2π )=2sin ?

3 cos β = 5 .
? π? 4 0, ? ? 因 为 β ∈ ? 2 ? , 所 以 sin β = 5 , 所 以 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin

3 12 4 5 16 β = 5 × 13 - 5 × 13 = 65 .

三角函数的图象与性质 例 3 (2015· 扬 泰 南 淮 三 调 ) 已 知 函 数 f(x)=Asin(ω x+φ )

π π? ? ? ?? ? ? ? 其中A,?,?为常数,且A ? 0,? ? 0, 2 2 ? 的部分图象如图所示. ?

(例3) (1) 求函数f(x)的解析式;

π? ? 3 ? 2? ? ? 6 ? 的值. (2) 若f(α )= 2 ,求sin ?
【分析】 (1) 根据图象写出 A,求出周期 T ,从而求出ω ,再由五点中的第二

? π? 3 3 π π ?? - ? 点求出φ .(2) 由f(α )= 2 ,得sin ? 6 ? = 4 ,找出角α - 6 与2α + 6 的关系,用倍 π? ? ? 2? ? ? 6?. 角公式求出sin ?
【解答】(1) 由图可知,A=2,T=2π ,故ω =1, 所以f(x)=2sin(x+φ ).

? 2π ? ? 2π ? π π ? ? ? ?? ? 3 3 ? =2,且- 2 <φ < 2 , 又f ? ? =2sin ? ? π? π ? x- ? 6 故φ =- ,于是f(x) =2sin ? 6 ? . ? π? 3 3 ?? - ? (2) 由f(α )= 2 ,得sin ? 6 ? = 4 ,

? ? π? ? ? π? ? ?2 ? ? - 6 ? ? 2 ? ? 2? ? ? 6 ? ? ? ? 所以sin =sin ? ? ? ? π ?? ?2 ? ? ? 6 ?? ?? =cos ? ?
? π? ?? - ? 6? 2?
?3? 1 ? ? 4 ? ? =1-2× =- 8 .
2

=1-2sin

1 变式 (2015·重庆卷)已知函数f(x)= 2 sin 2x- 3 cos2x.
(1) 求f(x)的最小正周期和最小值; (2) 将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得

?π ? ,π ? ? ? 时,求g(x)的值域. 到函数g(x)的图象,当x∈ ? 2

1 【解答】(1) f(x)= 2 sin 2x- 3 cos2x

1 3 = 2 sin 2x- 2 (1+cos 2x)
1 3 3 = 2 sin 2x- 2 cos 2x- 2
π? 3 ? ? 2 x- ? 3?- 2 , =sin ?

2? 3 故f(x)的最小正周期为π ,最小值为- 2 .
? π? 3 ? x- ? (2) 由条件可知g(x)=sin ? 3 ? - 2 . 2π ? ?π ? π ?π , ,π ? ? ? ? 时,有x- 3 ∈ ? 6 3 ? ?, 当x∈ ? 2

? π? ?1 ? 1? ? x- ? 的值域为 ? , ?2 ? 从而sin ? 3 ? ,
?1- 3 2- 3 ? ? π? 3 , ? ? x ? ? 2 2 ? 3 ? ? ? 2 所以g(x)=sin 的值域为 .

1 1. (2015·江苏卷)已知tan α =-2,tan(α +β )= 7 ,那么tan β 的值为
【答案】3

.

1 ?2 7 tan(? ? ? )-tan? 2 1【解析】由题得tan β =tan(α +β -α )= 1 ? tan(? ? ? )tan? = 7 =3.

π? ? π? 1 ? ?? - ? ? 2? - ? 6?= 2. (2015·宿迁一模)若cos ? 3 ? = 3 ,则sin ?

.

7 【答案】- 9

π 1 π π π 【 解 析】令 β =α - 3 ,则 cos β = 3 , α =β + 3 ,从而 2α - 6 =2β + 2 ,因此 sin
π? ?1? ? ?π ? 7 ? ? ? 2? - ? ? ? 2? ? 6 ? =sin ? 2 ? ? =cos 2β =2cos2β -1=2× ? 3 ? -1=- 9 .
2

π? ? ? 2x ? ? 6 ? ,若y=f(x-φ 3. (2015·南通期末)已知函数f(x)=sin ?
则φ = .

π? ? ?0 ?? ? ? 2 ? 是偶函数, )?

π 【答案】 3

π? ? π π ? 2 x-2? ? ? 6 ? 为偶函数,所以 -2φ + 6 =kπ + 2 , k∈Z , 【解析】因为 y=f(x-φ )=sin ?

? π? kπ π π ? 0, ? φ =- 2 - 6 ,k∈Z.因为φ ∈ ? 2 ? ,所以k=-1,φ = 3 .

4. (2015·无锡期末 ) 已知将函数 y= 3 cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0) 个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 .

π 【答案】 6
π? ? ?x? ? 3 ? 的图象向左平移 m(m>0)个单位长 【解析】因为函数 y= 3 cos x+sin x=2sin ?

π? ? ?x?m? ? 3 ? ,由于函数y=2sin x 的图象至少向 度后所得图象的函数解析式是y=2sin ?

π π π 的最小值是 2 ,故 左平移 2 个单位长度后才可得到关于 y轴对称的图象,所以m+ 3 π m的最小值为 6 .

5. (2015·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中,已知角α 的终边经过点P(3,4).

π? ? ?? ? ? 4 ? 的值; (1) 求sin ?
??? ? ???? OP (2) 若P关于x轴的对称点为Q,求 · OQ 的值.

【解答】(1) 因为角α 的终边经过点P(3,4),

4 3 所以sin α = 5 ,cos α = 5 ,
π? ? π π 4 2 3 2 7 2 ?? ? ? 4 ? =sin α cos 4 +cos α sin 4 = 5 × 2 + 5 × 2 = 10 . 所以sin ?
(2) 因为P(3,4)关于x轴的对称点为Q,

???? ??? ? OQ OP 所以Q(3,-4), =(3,4), =(3,-4), ??? ? ???? OP 所以 · OQ =3×3+4×(-4)=-7.

【融会贯通】
完善提高 融会贯通

典例

如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛赛道,赛道的前

2π ? ? ??x ? ? 3 ? (A>0,ω >0),x∈[-4,0] 一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数y=Asin ?
时的图象,且图象的最高点为B(-1,2);赛道的中间部分为长 3 km的直线跑道 CD,且CD∥EF;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.

(典例) (1) 求ω 的值和∠DOE的大小; (2) 若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一 边在道路EF上,一个顶点在半径 OD上,另外一个顶点P在圆弧DE上,且∠POE=θ , 求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ 的值. 【思维引导】

【规范解答】

(1)











A=2



T 4

=3.??????????????????????2分

π 因为T= ? ,所以ω = 6 , ??????????????????????4




2π ? ?π ? x? ? 3 ?. 所以曲线段FBC的解析式为y=2sin ? 6
当 x=0 时 , y=OC=
3 . 又 CD=

π 3 , 所 以 ∠COD= 4 , 所 以 ∠DOE=

π 4 . ??????7分
(2) 由(1)可知OD= 6 , 又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P在弧DE 上,故OP= 6 .?????8 分

π 设∠POE=θ , 0<θ ≤ 4 ,则由题意可知,“矩形草坪”的面积为 S= 6 sin
θ ( 6 cos θ - 6 sin θ )=6(sin θ cos θ -sin2θ )

=6

1 1? ?1 ? sin2? ? cos2? - ? 2 2? ?2

=3

2

sin

π? ? ? 2? ? ? 4? ?

-

3.??????????????13分

π π π 3π π π π 因为0<θ ≤ 4 ,所以 4 <2θ + 4 ≤ 4 ,故当2θ + 4 = 2 ,即θ = 8 时,S取得最
大值. ??????????????????????16 分

【精要点评】 此题是苏教版数学教材必修4中 P132第18题的改编,将教材中 例题、习题进行改编、推广与引申等是提高数学解题能力和培养思维灵活性的有效 方式.有的还将“矩形PNMQ”变为“? PNMQ”,这一变化对思维能力提出了更高要 求,要求同学们能从不同的角度、不同的侧面来认识问题的本质,这无疑是加强了 对思维能力的考查. 事实上万变不离其宗,我们仍可以将 ? PNMQ 转化为矩形PNMQ, “以不变应万变”求出矩形的面积,即可得到? PNMQ的面积.

温馨提示:趁热打铁,事半功倍 . 请老师布置同学们完成《配套检测与评估》 中的练习第1-2页.

【课后检测】
专题一 第 1讲 三角函数和平面向量 三角函数的化简与求值

一、填空题

3 1. (2015·无锡期末 ) 已知角 α 的终边经过点 P(x , -6) ,且 tan α =- 5 ,则 x 的值
为 .

π? ? ? 4 x- ? 3 ? 的图象,只需要将函数y=sin 4x的图象 2. (2015·山东卷)要得到函数y=sin ?
向 平移 个单位长度.

3. (2014· 南 通 三 调 ) 已 知 函 数 f(x)=sin(ω x+φ ) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f(2)= .

(第3题)

π? ? ? -2 x ? ? 3 ? 的递增区间是 4.函数y=sin ?

.

5.(2015·陕西卷 ) 如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数

?π ? ? x ?? ? ? +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 y=3sin ? 6

.

(第5题)

6.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R,若函数f(x)在区间 (-ω ,ω )内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω 对称,则ω 的值 为 .

?π? ? ? 7. (2014·江西卷改编 ) 已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f ? 4 ? =0 ,
? 3π ? ? ? 其中a∈R,θ ∈(0,π ),则f ? 16 ? =

.

8. 已知函数f(x)=xsinx,给出下列命题: ①函数f(x)是偶函数; ②函数f(x)的最小正周期是2π ; ③点(π ,0)是函数f(x)图象的一个对称中心;

? π? ? π ? 0, ? - , 0? ? ? 2 2 ? ? ? ? 上单调递减. ④函数f(x)在区间 上单调递增,在区间
其中为真命题的是 .(填序号)

二、 解答题 9. 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α ,β ,它们的终边

2 2 5 , 分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是 10 5 .
(1) 求tan(α +β )的值; (2) 求α +2β 的值.

(第9题)

5 ? 1 π 10. 已知sin(α +β )= 13 ,tan 2 = 2 ,且0<α < 2 <β <π .
(1) 求cos α 的值;

5 (2) 求证:sin β > 13 .

11. (2015·安徽卷)设函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1) 求函数f(x)最小正周期;

? π? 0, ? ? 2 ? 上的最大值和最小值. ? (2) 求f(x)在区间

【课后检测答案】
高考总复习 二轮课后限时训练案 配套检测与评估 详解详析

专题一 第 1讲

三角函数和平面向量 三角函数的化简与求值

-6 3 1. 10 【解析】根据三角函数的定义得tan α = x =- 5 ,所以x=10.

2. 右

π 12

? ? π ?? ? 4 ? x ? 12 ? ? ? ? ,所以只需将函数y=sin 4x的图象向右 【解析】因为y=sin ? ?

π 平移 12 个单位长度即可.

2 3. - 2

3T 【解析】由图知 4 =3-1=2,

3 2π 3π π π 即 4 × ? =2,所以ω = 4 .当x=1时,令ω x+φ = 2 ,所以φ =- 4 ,所以f(x)=sin
π? ? 3π π ? ? 3π 5π 2 ? x- ? ? ? 2- ? 4 ? ,所以f(2)=sin ? 4 4 ? =sin 4 =- 2 . ? 4

5π 11π ? ? kπ ? ,kπ ? ? 12 12 ? ? ,k∈Z 4. ?

π? ? ? -2 x ? ? 3 ? 的递增区间即为函数 【解析】函数y=sin ?

π? ? π π 3π 5π 11π ? 2 x- ? 3 ? 的递减区间.令 2 +2kπ ≤2x- 3 ≤ 2 +2kπ ,所以 6 +2kπ ≤2x≤ 6 y=sin ?

5π 11π +2kπ ,所以 12 +kπ ≤x≤ 12 +kπ ,k∈Z.

?π ? ? x ?? ? ? =-1时,ymin=2,求得k=5, 5. 8 【解析】由图象得,当sin ? 6 ?π ? ? x ?? ? ? =1时,ymax=3×1+5=8,故答案为8. 当sin ? 6

6.

π 2

【解析】由f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,且f(x)的图象关于直线

? 2 π? π ?? ? ? 4 ? =1, x=ω 对称,可得2ω ≤ ? 且f(ω )=sin ω 2+cos ω 2= 2 ?sin ?

π π π 所以ω + 4 = 2 ?ω = 2 .
2

2 7. - 4

?π? ?π ? ? ? ? ?? ? ? =-(a+1)sin θ =0,因为θ ∈(0, 【解析】由题意知f ? 4 ? =(a+1)cos ? 2
2

π ),所以sin θ ≠0,所以a+1=0,所以a=-1.因为函数f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ )

π 为奇函数,所以f(0)=(a+2)cos θ =cos θ =0.又因为θ ∈(0,π ),所以θ = 2 ,所
π? ? ? 3π ? 1 1 2x ? ? ? ? ? 2 ? =-cos 2x·sin 2x=- 2 sin 4x,所以f ? 16 ? =- 2 sin 以f(x)=(-1+2cos2x)cos ?

3π 2 4 =- 4 .

8. ①④ 【解析】由f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),可得函数f(x)是偶函数,即命题 ①正确.显然函数f(x)=xsinx不是周期函数,即命题②不正确.由f(x)+f(2π -x)≠0, 可得点(π ,0)不是函数f(x)图象的一个对称中心,即命题③不正确.由

? π? ? π? 0, ? ? ?0, ? f'(x)=sinx+xcosx知,当x∈ ? 2 ? 时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间 ? 2 ? 上单调递 ? π ? ? π ? 0? 0? ?? , ?- , 增;当x∈ ? 2 ? 时,tanx<-x,即f'(x)=sinx+xcosx<0,所以函数f(x)在区间 ? 2 ?
上单调递减,即命题④正确.综上可得真命题是①④.

2 2 5 9. (1) 由题意可知cosα = 10 ,cosβ = 5 .
因为α 为锐角,所以sinα >0,

7 2 所以sinα = 1-cos ? = 10 .
2

5 1-cos ? 5 同理可得sinβ = = ,
2

1 所以tanα =7,tanβ = 2 ,
1 2 tan? ? tan? 1 1-7 ? 2 =-3. 所以tan(α +β )= 1-tan? tan? = 7? -3 ?
(2) tan(α +2β )=tan[(α +β )+β ]=

1 2

1-(-3) ?

1 2 =-1,

π π 又因为0<α < 2 ,0<β < 2 ,
3π 所以0<α +2β < 2 , 3π 所以α +2β = 4 .

? 1 10. (1) 因为tan 2 = 2 ,
2tan
所以tan α =

?
2

1-tan 2

?

4 2 =3,

? sin? 4 ? , ? ? cos? 3 ?sin 2? ? cos 2? ? 1. 所以 ?

? π? 3 ? 0, ? 又α ∈ ? 2 ? ,解得cos α = 5 .

π 3π (2) 易得 2 <α +β < 2 , 5 又因为sin(α +β )= 13 ,
12 所以cos(α +β )=- 13 .

4 由(1)可得sin α = 5 , 5 3 ? - 12 ? 4 63 5 ? ? 所以sin β =sin[(α +β )-α ]= 13 × 5 - ? 13 ? × 5 = 65 > 13 .

π? ? 2x ? ? ? 4? 11. (1) 因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2 sin ?
+1,所以函数f(x)的最小正周期为π .

π? ? ? 2x ? ? 4 ? +1, (2) 由(1)的计算结果知,f(x)= 2 sin ? ? π? ?0, ? 当x∈ ? 2 ? 时,

5π ? π ?π , ? ? 2x+ 4 ∈ ? 4 4 ? ,
? π 5π ? , ? ? 4 4 ? 上的图象可知, ? 由正弦函数y=sin x在

π π π 当2x+ 4 = 2 ,即x= 8 时,f(x)取最大值为 2 +1;
π 5π π 当2x+ 4 = 4 ,即x= 2 时,f(x)取最小值为0.
? π? ?0, ? 综上,f(x)在区间 ? 2 ? 上的最大值为 2 +1,最小值为0.


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