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二项式定理高考常见题型及其解法


第二讲 二项式定理高考常见题型及解法
二项式定理的问题相对较独立, 题型繁多, 虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应 用, 又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有 考查,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类 型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】 1、二项式定理: (a ? b) n ? 2、二项展开式的通项:

?C
k ?0

n

k n

a n ?k b k (n ? N*)

r Tr ?1 ? Cn a n?r b r (0 ? r ? n) 它是展开式的第 r+1 项.

r 3、二项式系数: Cn (0 ? r ? n).

4、二项式系数的性质:
k n ⑴ Cn ? Cn ?k (0 ? k ? n).
k k k ?1 ⑵ Cn ? Cn?1 ? Cn?1 (0 ? k ? n ? 1).

⑶ 若 n 是偶数,有 C ? C ? ? ? C
0 n 1 n

n 2 n

??? C

n ?1 n

?C

n n ,即中间一项的二项式系数

C 最大.

n 2 n

若 n 是奇数, C ? C ? ? ? C 有
0 n 1 n

n?1 2 n

?C

n ?1 2 n

??? C

n ?1 n

?C

n 即中项二项的二项式系数 n,

C 和C

n 2 n

n ?1 2 n

相等且最大.
0 1 2 r n ⑷ 各二项式系数和: 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn

⑸ 在二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
0 2 1 3 即: Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1

【典型考题】 一、求二项展开式: 1.“(a+b)n”型的展开式 例 1.求 (3 x ? 解:原式= ( =

1 x

) 4 的展开式. (3x ? 1) 4 x2

3x ? 1 x

)4 =

1 0 1 2 3 4 [ (3 x) 4 ? C 4 (3x) 3 ? C 4 (3x) 2 ? C 4 (3x) ? C 4] 2 C4 x 1 4 3 2 = 2 (81x ? 84 x ? 54 x ? 12 x ? 1) x 12 1 2 ? ? 54 = 81x ? 84 x ? x x2

小结:这类题目直接考查二项式定理掌握,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简再展 开”的思想在高考题目中会有体现的. 2. “(a-b)n”型的展开式 例 2.求 (3 x ?

1 x

) 4 的展开式. 1 x ) 4 改写成 [3 x ? (? 1 x )]4 的形式然后按照二项展开式的格式展开

分析:解决此题,只需要把 (3 x ?

即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3.二项式展开式的“逆用” 例 3.计算 1 ? 3
0 n

C ? 9 C ? 27 C ? ....? (?1) 3 c ; 解:原式= C ? C (?3) ? C (?3) ? C (?3) ? .... ? C
1 2 n 3 n n n n n n
1 1 2 n 2 3 3 n n

3 n

(?3) n ? (1 ? 3) n ? (?2) n
1

1

小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质. 二、通项公式的应用: 1.确定二项式中的有关元素

9 a x 9 ? ) 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为 4 x 2 r 3 ? r ?9 x r r a 9? r 解: Tr ?1 ? C9 ( ) (? ) ? C9r (?1) r ? 2 2 ? a 9?r ? x 2 x 2 3 9 8 8 ?4 9 ?8 ? ,解得 a ? ?1 令 r ? 9 ? 3 ,即 r ? 8 ,依题意,得 C9 (?1) ? 2 ? a 2 4
例 4.已知 ( 2.确定二项展开式的常数项 例 5. ( x ?

1
3

x

)10 展开式中的常数项是

r 解: Tr ?1 ? C10 ( x )10?r (?

1
3

x 所以常数项是 (?1) C ? 210
6 6 10

r ) r ? (?1) r C10 ? x

5 5? r 6

,令 5 ?

5 r ? 0 ,即 r ? 6 . 6

小结:可以讲 2011 陕西高考题—例 1⑴ 3.求单一二项式指定幂的系数 例 6.(03 全国) ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x9 的系数是 2x

.

1 r 1 1 1 r r ) = C 9x18?2r (? )r ( )r = C 9(? )r x18?3 x 2x 2 x 2 1 21 21 3 9 令 18 ? 3x ? 9, 则 r ? 3 ,从而可以得到 x 的系数为: C 9(? )3 ? ? ,? 填 ? 2 2 2 三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数
解: Tr ?1 ? C 9( x2 )9?r (?
r

例 7. ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 3 ? ( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 5 的展开式中,x2 的系数等于 解: x 的系数是四个二项展开式中 4 个含 x 的,则有
0 1 2 3 0 1 2 3 ? C2 (?1) 0 ? C3 (?1)1 ? C4 (?1) 2 ? C5 (?1) 3 ? ?(C2 ? C3 ? C4 ? C5 ) ? ?20
2 2

例 8.(02 全国) x 2 ? 1)(x ? 2) 7 的展开式中,x3 项的系数是 ( 解:在展开式中, x 的来源有: ⑴第一个因式中取出 x ,则第二个因式必出 x ,其系数为 ⑵第一个因式中取出 1,则第二个因式中必出 x
6 4

.
6

3

2

3

C (?2) ; ,其系数为 C (?2)
7

6

4

4

7

? x 3 的系数应为: C 7 (?2) 6 ? C 7 (?2) 4 ? 1008 ,?填 1008 .
四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项

( 例 9.求 x ?
解:? Tr ?1

1 10 ) 的展开式的中间项; 3 x 5 1 r 1 5 ? C10 ( x )10?r (? 3 ) r , ? 展开式的中间项为 C 10( x )5 (? 3 )5 ? ?252 x 6 . x x
n

小结: 当 n 为奇数时, (a ? b) 的展开式的中间项是
n

C

n ?1 2 n

a
n 2

n ?1 2

b

n ?1 2



C

n ?1 2 n

a

n ?1 2

b

n ?1 2



当 n 为偶数时, (a ? b) 的展开式的中间项是 2、求有理项 例 10.求 ( x ?
2

C

n 2 n

a b .
项;
2

n 2

1
3

x

)10 的展开式中有理项共有

解:? Tr ?1 ?

x ? 当 r ? 0,3,6,9 时,所对应的项是有理项.故展开式中有理项有 4 项.

10 ? r C10 ( r ) (? 3 r

1

) r ? C10 (?1) r x
r

10 ?

4r 3

小结:⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式; ⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式. 3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题 例 11.(2000 上海)在二项式(x-1)11 的展开式中,系数最小的项的系数是 . 解:? Tr ?1 ?

C

r 11

x 11? r (?1) r
r

? 要使项的系数最小,则 r 必为奇数,且使 C11 为最大,由此得 r ? 5 ,从而可知最小项的系数为

C

5

11

(?1)5 ? ?462

⑵一般的系数最大或最小问题 例 12.求 ( x ?

1
4

2 x 解:记第 r 项系数为 Tr ,设第 k 项系数最大,则有

) 8 展开式中系数最大的项;

? k ?1.2 ?k ?1 ? k ?2 .2 ?k ? 2 ?Tk ? Tk ?1 r ?1 ? r ?1 ? 又 Tr ? C 8 .2 ,那么有 ?C8 k ?1 ?k ?1 C8 k ?k ? ? C8 .2 ?Tk ? Tk ?1 ? ? C8 .2
8! 8! ? 2 ? 1 ? (k ? 1)!.(9 ? k )! ? (k ? 2)!.(10 ? k )! ? 2 ?k ?1 ? k ? 2 ? ? ?? 即? ,解得 3 ? k ? 4 , 8! 8! ? 2 ?1 ? ?2? ? 9?k k ? (k ? 1)!.(9 ? k )! ? k !(8 ? k )! ?
故系数最大的项为第 3 项 T3 ? 7x
5 2 和第

4 项 T4 ? 7x . .
n

7 2

⑶系数绝对值最大的项 例 13.在(x-y)7 的展开式中,系数绝对值最大项是
n

解:求系数绝对最大问题都可以将“ (a ? b) ”型转化为 " (a ? b) " 型来处理, 故此答案为第 4 项

C

4 7

x 3 y 4 ,和第 5 项 ?C 7 x 2 y 5 .
5

五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和(参考例题 2) 例 14.若 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的值为 解: ? (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 令 x ? 1 ,有 (2 ? 3) 4 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 , 令 x ? ?1 ,有 (?2 ? 3) 4 ? (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) 故原式= (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ).[(a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 )] = (2 ? 3) 4 .(?2 ? 3) 4 = (?1) ? 1 小结:在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言: 1,?1,0 特殊值在解题过程 中考虑的比较多.
4

.

例 15.设 (2x ? 1) ? a6 x ? a5 x ? ... ? a1 x ? a0 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ?
6 6 5

.

分析:解题过程分两步走;第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第二步是用赋值法求的化简后的代 数式的值. 解:? Tr ?1 ?

C

r 6

(2 x) 6? r (?1) r
= (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ) =0

? a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6

3

3

六、利用二项式定理求近似值 例 16.求 0.9986 的近似值,使误差小于 0.001; 分析:因为 0.998 = (1 ? 0.002) 6 ,故可以用二项式定理展开计算.
6

解: 0.998 = (1 ? 0.002) 6 = 1 ? 6.(?0.002)1 ? 15.(?0.002) 2 ? ... ? (?0.002) 6
6

? 从第 3 项起,以后的项都可以忽略不计. ? 0.9986 = (1 ? 0.002) 6 ? 1 ? 6 ? (?0.002) = 1 ? 0.012 ? 0.988 1 2 n 小结:由 (1 ? x)n ? 1 ? C nx ? C nx2 ? ... ? C nxn ,当 x 的绝对值与 1 相比很小且 n 很大时, x 2 , x 3 ,....x n 等项

? T3 ? C 6 .(?0.002 ) 2 ? 15 ? (?0.002 ) 2 ? 0.00006 ? 0.001 ,且第 3 项以后的绝对值都小于 0.001 ,
2

的绝对值都很小, 因此在精确度允许的范围内可以忽略不计, 因此可以用近似计算公式: 1 ? x) n ? 1 ? nx , ( 在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高, 则可以使用更精确的公式: (1 ? x) ? 1 ? nx ?
n

n(n ? 1) 2 x . 2

利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是按照新课标要求,对高中学生的计算能 力是有一定的要求,其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题 例 17.求证:5151-1 能被 7 整除. 证明:? 51 ? 1 = (49 ? 2) 51 ? 1
51

=
51

C

0 51

49 51 ? C 51 .49 50.2 ? C 51 .49 49.2 2 ? .... ? C 51 .49.2 50 ? C 51 .2 51 ? 1
1 2 50 51

=49P+ 2 又? 2 ? 1 ? (2 )
0

51

?1( P ? N ? )

3 17

?1
17

=(7+1)
17

?1
1 2 16 17

= C17.7 ? C17.716 ? C17.715 ? .... ? C17.7 ? C17 ? 1 =7Q(Q ? N )
?

?5151 ? 1 ? 7P ? 7Q ? 7( P ? Q) ? 5151 ? 1 能被 7 整除.
小结: 在利用二项式定理处理整除问题时, 要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来, 变形要有一定的目的性,要凑 出相关的因数. 八、知识交汇型 在知识点的交汇处命题,已成为新高考命题的一个趋势.二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三 角等知识进行综合,而设计出新题. 例 18 如图,在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中,第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2:3. 分析:本题是杨辉三角与二项式定理的
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

交汇题,而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言. 解:设所求的行数为 n,将条件转换为组合数语言,得
13 Cn 14 2 2 ? ,解得 n=34. ? ,即 14 n ? 13 3 3 Cn

5 10 10 5 1 …… ……

4

4

二项式定理中的五大热点
二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一,本文总结出了近年高考中的五大热点题型,供参考. 一、通项运用型 凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项,x 项的系数等)及有理项,无理项,或逆向问题,常是先写
r 出其通项公式 Tr ?1 = Cn a n?r br ,然后再据题意进行求解,有时需建立方程才能得以解决.
3

例 1 (2 x ?

1 x

) 9 的展开式中,常数项为

.(用数字作答).

解:由 Tr ?1 ? C (2 x)
r 9

9? r

9?r ? ? 1 ? r 9? r r 2 . ?? ? ? (?1) ? 2 ? C9 ? x x? ? r

r

令 9- r-

r = 0, 得 r= 6 . 故 常 数 项 为 2

6 T7 ? (?1)6 ? 23 ? C9 ? 672 . 故填 672.

练习:
10

1. ?

?1 ? 3 x ? 1? 的二项展开式中 x 的系数为_______.[15] ?2 ?
2 3 4 5 2

2.(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) -(x-1) 的展开式中,x 的系数是_______.[-20]

?a 9 x? 3 3. ? ? ? 展开式中 x 的系数为 ,常数 a=______.[4] ?x ? 4 2? ?
二、系数配对型 是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题,通常转化为乘法分配律问 题来解决. 例 2 (x +1)(x-2) 的展开式中 x 项的系数是______. 解: 由 x 项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数,应为如下表搭配: x +1 常数项:1 x 的系数:1
3
4

9

2

7

3

3

2

(x-2)
3

7

4 x 的系数: C7 ? ?2 ? 6 x 的系数: C7 ? ?2 ? 6

4

2

6

4 6 因此,x 项的系数是 C7 ? ?2 ? + C7 ? ?2 ? =1008.

练习:(x+2) (x -1)的展开式中 x 的系数为____________(用数字作答).[179]

10

2

10

5

5

三、系数和差型 是指求二项展开式系数的和或差等问题,常可用赋值法加以解决. 例 3 若 (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? a2004 x2004 (x∈R),则

(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ?
解:取 x=0,得 a0=1; 取 x=1,得 a0+a1+a2+…+a2004=(1-2)
2004

(用数字作答).

=1.

故 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) =2003a0+(a0+a1+a2+…+a2004)=2003+1=2004. 评注:若 f(x)=a0+a1x+a2x +…+anx .则有①a0=f(0),②a0+a1+a2+…+an=f(1);③a0-a1+a2 -…=f(-1);④a0+a2+a4+…= 练习:若 2 x ? 3 _________.[1] 四、综合应用型 应用意识是数学的归宿,二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等 式、求组合数及求余数等问题. 例 4 91 除以 100 的余数是_______.
90 0 1 91 92 解:91 =(90+1) = C92 9092 + C92 9091 +…+ C92 902 + C92 90 + C92
92 92 92 2 n

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ;a1+a3+a5+…= . 2 2

?

?

4

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? a 4 x 4 , 则 ?a0 ? a2 ? a4 ?2 ? ?a1 ? a3 ?2 的值为

=M×10 +92×90+1(M 为整数) =100M+82×100+81. ∴ 91 除以 100 的余数是 81.
6 92

2

练习:⑴求 0.998 近似值(精确到 0.001).[0.998]
1 2 3 n ⑵设 n ? N ,则 Cn ? Cn 6 ? Cn 6 2 ? ? ? Cn 6 n?1 ? _________.[
?

1 n (7 ? 1) ] 6

五、知识交汇型 在知识点的交汇处命题,已成为新高考命题的一个趋势.二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三 角等知识进行综合,而设计出新题. 例 5 如图,在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中,第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . 分析:本题是杨辉三角与二项式定理的
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

交汇题,而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言. 解:设所求的行数为 n,将条件转换为组合数语言,得

5 10 10 5 1 …… ……

6

6

13 Cn 14 2 2 ? ,解得 n=34. ? ,即 14 n ? 13 3 3 Cn

练习:若(1- 2 ) 展开式的第 3 项为 288,则 lim(
x ??

x 9

1 1 1 ? 2 ? ? ? n ) 的值是_________.[2] x x x

7

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