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17第十七讲 函数奇偶性及其应用


泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析 教研室 课程名称 授课题目 高等数学研究 第十七讲 授课对象 函数奇偶性及其应用 2006 级本科 课时数 4

教学 目的

通过教学使学生掌握函数奇偶性的概念 ; 奇偶函数的导数、 变动上限的积 分形式的原函数、不定积分、定积分、重积分的性质及应用

1. 偶函数奇偶性与导数 重 点 难 点 2. 函数奇偶性与不定积分 3. 函数奇偶性与定积分 4. 函数奇偶性与重积分

第十七讲
教 1. 函数奇偶性的概念 2. 偶函数奇偶性与导数

函数奇偶性及其应用

3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数 学 4. 函数奇偶性与不定积分 5. 函数奇偶性与定积分 提 6. 函数奇偶性与二重积分 7. 函数奇偶性与三重积分



1

教学过程与内容

教学 后记

第十七讲
1. 函数奇偶性的概念

函数奇偶性及其应用

定义 1:设函数 f ( x ) 在关于原点对称的区间 I 上有定义,如果 (1)对于 ? x ? I , 都有 f ( ? x ) ? f (x ) ,则称 f ( x ) 是偶函数; (2)对于 ? x ? I , 都有 f ( ? x ) ? ? f (x ) ,则称 f ( x ) 是奇函数。 主要结论: (1)函数 f ( x ) 在关于原点对称的区间 I 上有定义,则 f ( x ) ? f (-x ) 是偶函数;
f ( x ) ? f (-x ) 是奇函数。

(2)函数 f ( x ) 在关于原点对称的区间 I 上有定义,则 f ( x ) 可以表示成一个偶函数和 一个奇函数的和。 这是因为: f ( x ) ?
f ( x) ? f (? x) 2 ? f ( x) ? f (? x) 2

=

(3)偶函数的图像关于 y 轴对称;奇函数的图像关于原点对称。 (4)偶函数+偶函数=偶函数; 奇函数+奇函数=奇函数 奇函数 ? 偶函数=奇函数; 定义 2:设函数 f ( x , y ) 在关于 y 轴区间 D 上有定义,如果 (1)对于 ? y 都有 f ( x , y ) ? f (-x, y ) ,则称 f ( x , y ) 关于 x 是偶函数; (2)对于 ? y 都有 f ( x , y ) ? ? f (-x, y ) ,则称 f ( x , y ) 关于 x 是奇函数; 2. 偶函数奇偶性与导数 定理 1:设函数 f ( x ) 在关于原点对称的区间 I 上有导数,则 (1)如果 f ( x ) 是偶函数,则 f ? ( x ) 是奇函数; (2)如果 f ( x ) 是奇函数,则 f ? ( x ) 是偶函数; 证明:仅证明(1) f ( x ) 是偶函数, 对于 ? x ? I , 都有 f ( ? x ) ? f (x ) ,在 I 任取 x 0 .

2

f ? ( ? x 0 ) ? lim

f (? x0 ? ?x) ? f (? x0 ) ?x

?x? 0

? lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0

? ? lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? ?x

?x? 0

? f ?( x 0 )

得证.

3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数 定理 2:设函数 f ( x ) 在关于原点对称的区间 I 上有连续,则 (1)如果 f ( x ) 是偶函数,则 ? f ( t ) dt 是奇函数;
0 x

(2)如果 f ( x ) 是奇函数,则 ? f ( t ) dt 是偶函数;
0

x

证 明 : 仅 证 明 (1)
F (x) ?

f ( x ) 是 偶 函 数 , 对 于 ? x ? I , 都有 f ( ? x ) ? f (x ) , 记

?

x

f ( t ) dt

0

令 s=-t
F (x) ?

?

x

f ( t ) dt ?

0

?

?x

0

f (? s)d (? s) ? ? ?

?x

0

f (? s)d (s) ? ? ?

?x

f (s)d (s) ? ? F ( x)

0

得证. 4. 函数奇偶性与不定积分 定理 3:设函数 f ( x ) 在关于原点对称的区间 I 上连续,如果 f ( x ) 是奇函数,则

?

f ( x ) dx 是偶函数。

证明:记 F ( x ) ?

?

x

f ( t ) dt , f ( x ) 是奇函数,则 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,并切

0

是偶函数,所以, ? f ( x ) dx ? F ( x ) ? c 是偶函数。 注意:如果 f ( x ) 是偶函数,则 ? f ( x ) dx 不一定是奇函数。 例: ? cos xdx ? sin x ? c ,只有 c=0 时的原函数才是奇函数。 5. 函数奇偶性与定积分 定理 4:设函数 f ( x ) 在[-a,a]连续,则 (1)如果 f ( x ) 是奇函数,则 ? (2)如果 f ( x ) 是偶函数,则 ?
a

?a a

f ( x ) dx ? 0 ; f ( x ) dx ? 2 ? f ( x ) dx 。
0 a

?a

3

证明::仅证明(1)

?

a

?a

f ( x ) dx ? ? f ( x ) dx ?
0

a

?

0

?a

f ( x ) dx

令 x ? y ,并注意到定积分与积分变量的选取无关及 f ( ? x ) ? f (x )
0 0 0 0

?

?a

f ( x ) dx ?
a

?

a

f ( ? y ) d ( ? y ) ? ? ? f ( ? y ) dx ?
a

?

f ( y ) dy

a

? ? ? f ( y ) dy ? ? ? f ( x ) dx
0 0

a

?

a

?a

f ( x ) dx ? ? f ( x ) dx ?
0
1

a

?

a

f ( x ) dx ? 0

0

例 1: 计算 ? ( x ?
?1

1 ? x ) dx
2 2

【解】 ? ( x ?
?1 1

1

1 ? x ) dx = ? 1 dx ? 2 ?
2 2 ?1 ? x

1

1 ?1

x 1 ? x dx =2+0=2
2

例 2: 计算 ? ( x ? x ) e
?1

dx

【解】 ? ( x ? x ) e
?1

1

? x

dx = ? xe
?1

1

? x

dx ?

?

1 ?1

xe

? x

dx

? 0 ? 2 ? xe
0

1

?x

dx ? 2 ? 4 e

?1

?

例 3:计算

? ? 1? e
4 ? 4

sin

2

x
?x

dx

【分析】被积函数即不是奇函数,又不是偶函数,无法利用函数的奇偶性化简。但是积 分区间是关于原点对称的,可考虑使用两个公式的推导方法。
?
x 2 x

【解】 ?

4 ?

e sin 1? e

x

?

?
4

dx ?

?

4 0

e sin 1? e

x

2 x

x

dx ?

?

0 ?

e sin
4

x

2 x

x

?

1? e

dx

令x ? ?y ,
?y

?

0 ?

e sin
4

x

2 x

x

?

1? e

dx ?

??

0

e

sin ( ? y )
2 ?y

?

4

1? e

d (? y ) ?

?

4 0

e

?y

sin

2 ?y

y

1? e

dy

4

?

?

?

4 0

sin

2

y
y

?

1? e

dy ?

?

4 0

sin

2

x
x

1? e

dx

所以
?
x 2 x

?

4 ?

e sin 1? e

x

?

?
4

dx ?

?

4 0

e sin 1? e

x

2 x

x

dx ?

?

0 ?

e sin
4

x

2 x

x

?

?

1? e

dx ?

?

4 0

sin

2

xdx ?

?
8

?1

6. 函数奇偶性与二重积分 设函数 f ( x , y ) 在区域 D 上连续,则 (1)如果 f ( x , y ) 关于 x 是奇函数,并且 D 关于 Y 轴对称,则 ?? f ( x , y ) dxdy ? 0 ;
D

(2)如果 f ( x , y ) 关于 x 是偶函数,并且 D 关于 Y 轴对称,则

??
D

f ( x , y ) dxdy ? 2 ?? f ( x , y ) dxdy ? 2 ?? f ( x , y ) dxdy 。
D左 D右

例 4:设区域 D ? ( x , y ) x ? y ? 1, x ? 0 , 计算二重积分 ??
2 2
D

?

?

1 ? xy 1? x ? y
2 2

dxdy.

【分析】由于积分区域 D 关于 x 轴对称,故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积 分,又积分区域为圆域的一部分,则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【解】 积分区域 D 如右图所示.因为区域 D 关于 x 轴对称, 函数 f ( x , y ) ? 函数 g ( x , y ) ?
1 1? x ? y
2 2

是变量 y 的偶函数, 是变量 y 的奇函数.则
1 1? x ? y
2 2

xy 1? x ? y
2 2

?? 1 ? x
D

1
2

?

? y

2

d x d y ? 2 ??
D1

dxdy ? 2 ? 2 d ?
0

?

1 0

r 1? r
2

dr ?

? ln 2
2

?? 1 ? x
D

xy
2

? y

2

dxdy ? 0 ,



?? 1 ? x
D

1 ? xy
2

? y

2

dxdy ?

?? 1 ? x
D

1
2

? y

2

dxdy ?

?? 1 ? x
D

xy
2

? y

2

dxdy ?

? ln 2
2

.

【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题,就要想到考查被积函数或 其代数和的每一部分是否具有奇偶性,以便简化计算. 例 5 设二元函数
5

? ? f ( x, y ) ? ? ? ?

x , 1 x ? y
2 2

2

x ? y ? 1, , 1 ? x ? y ? 2,

计算二重积分 ?? f ( x , y ) d ? ,其中 D ? { ( x , y ) x ? y ? 2} .
D

【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有

??
D

f ( x , y ) d ? ? 4 ?? f ( x , y ) d ?
D1

其中 D 1 为 D 在第一象限的部分. 设 D
D
11

? {( x , y ) | 0 ? y ? 1 ? x , ? x ? 1} , 0 ? {( x , y ) | 1 ? x ? y ? 2, x ? 0 , y ? 0}

12

??
D1

f ( x, y )d? ?

??
D1

x d? ?
2

?
2

1 0

dx ?

1? x 0

x dx ?
2

?

1 0

x (1 ? x ) dx ?
2

1 12

,

??
D 12

f ( x, y )d? ?
?

??
D 12

1 x
2

?

2

? y
?
2 0

d? ?

?

2 0

d?

?

sin ? ? cos ? 1 sin ? ? cos ?

dr

?

?

2 0

1 sin ? ? cos ?

d? ?

?

cos ? ? sin ? sin
2

? ? cos ?
2

d? ?

2 ln(

2 ? 1) .

因此

??
D

f ( x , y ) d ? ? 4 ?? f ( x , y ) d ? ?
D1

1 3

? 4 2 ln(

2 ? 1) .

7. 函数奇偶性与三重积分 对称性:若 ? 关于 xy(yz 或 zx)面对称,而 f ( x , y , z ) 是 z(x 或 y)的偶(奇)函数, 则 ??? f ( x , y , z ) dV ? 2 ??? f ( x , y , z ) dV ( ??? f ( x , y , z ) dV ? 0 ) 。
? ?1
?

例 6:(1)设 ? : ? 1 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1 ,求 ??? e (2)设 ? : 0 ? z ? 1, x ? y ? 1 ,求 ??? e
2 2

?

y

2

sin x ? 2 dV ;
3 3

?

?

?

z

2

tan x y

?

2

? ? 3 ?dV



【解】(1) ??? e
?

?

y

2

sin x ? 2 dV ?
3

?

?

???
?

e
y 2

y

2

sin x dV ? 2 ??? dV
3 ?

积分区域 ? 关于 yoz 面对称, e 故原式 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 4 (2) ? 关于 xoz 面对称, e 故 ??? e
?
z 2

sin x 为 x 的奇函数,故 ??? e
3
?

y

2

sin x dV ? 0
3

tan x y
?

?

2

3

? 为 y 的奇函数,故 ???
?

e

z

2

tan x y
2

?

2

3

?dV

? 0

?

z

2

tan x y

?

2

3

? ? 3 ?dV

???
?

e

z

2

tan x y

?

2

3

?dV

? 3 ??? dV ? 3 ? ? ? 1 ? 1 ? 3?
?

6


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