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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《2-6幂函数与函数的图象变换》试题 新人教A版 2


河南省洛阳市第二外国语学校 2013 届高考数学 闯关密练特训 《2-6 幂函数与函数的图象变换》试题 新人教 A 版
1 1 1.(2011·烟台模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过 点(27, ),则 f( )的值为( 3 8 A.1 [答案] B [解析] 1 α 设 f(x)=x ,由条件知 f(27)= , 3 1 - 3 B.2 C.3 D.4 )

1 1 α ∴27 = ,∴α =- , ∴f(x)=x 3 3 1 - 3 1 1 ∴f( )=( ) =2. 8 8



2.(文)(2011·聊城模拟)若方程 f(x)-2=0 在(-∞,0)内有解,则函数 y=f(x)的图 象可以是( )

[答案] D [解析] 由题意知函数 y=f(x)的图象与直线 y=2 在(-∞,0)内有交点,观察所给图象 可知,只有 D 图存在交点. (理)(2011·福州三中模拟)已知函数 f(x)的图象如图,则函数 y=log1 f(x)的图象大致 2 是( )

-1-

[答案] A [解析] 由 f(x)的图象知 f(x)≥1, ∴y=log1 f(x)≤0,故选 A. 2 3.(文)(2011·山东济南调研)下面给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是 ( )

A.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 1 2

1 3

2

1 2

-1

B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y= x 1 2

3

2

-1

C.①y=x ,②y=x ,③y=x 1 3 1 2

2

3

,④y=x

-1

D.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x [答案] B 1 2

2

-1

[解析] y=x 为偶函数,对应②;y=x 1 3

2

定义域 x≥0,对应③;y=x 为奇函数,且图 1 3

-1

象与坐标轴不相交,对应④;y=x 与 y=x 均为奇函数,但 y=x 比 y=x 增长率大,故① 对应 y=x . 1 2
3

3

3

(理)给出以下几个幂函数 fi(x)(i=1,2,3,4),其中 f1(x)=x,f2(x)=x ,f3(x)=x ,
-2-

2

f4(x)= .若 gi(x)=fi(x)+3x(i=1,2,3,4).则能使函数 gi(x)有两个零点的幂函数有( x
A.0 个 C.2 个 [答案] B B. 1 个 D.3 个

1

)

[解析] 函数 gi(x)的零点就是方程 g i(x)=0 的根,亦即方程 fi(x)+3x=0 的根,也就 是函数 fi(x)与 y=-3x 的图象的交点,作出函数 fi(x)(i=1,2,3,4)的图象,可知只有 f2(x) 的图象与 y=-3x 的图象有两个不同的交点,故能使 gi(x)有两个零点的幂函数只有 f2(x), 选 B. π π 4.(文)(2012·宁波期末)函数 y=lncosx(- <x< )的图象是( 2 2 )

[答案] A [解析] 由已知得 0<cosx≤1,∴ln cosx≤0,排除 B、C、D.故选 A. (理)(2012·湖北重点中学联考)已知 a=ln 1 ,则( 2012 )
-3-

1 1 1 1 1 - ,b=ln - ,c=ln - 2010 2010 2011 2011 2012

A.a>b>c C.c>a>b [答案] A [解析] 记 f(x)=lnx-x,则 1 1-x f ′(x)= -1= , x x 当 0<x<1 时,f ′(x )>0, 所以函数 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 1 1 ∵1> > > >0, 2010 2011 2012 ∴a>b>c,选 A. 5.(文)

B.a>c>b D.c>b>a

幂函数 y=x 及直线 y=x, =1, =1 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”: y x 3 ①, ③, ⑤ , ⑦, ②, ④, ⑥, ⑧(如图所示), 那么幂函数 y=x 的图象经过的“区域”是( 2 A.⑧,③ C.⑥,② [答案] C 3 3 [解析] y=x 是增函数,∵ >1,∴其图象向下凸,过点(0,0),(1,1),故经过区域②, 2 2 ⑥. (理) B.⑦,③ D.⑤,① )

-1

-4-

幂函数 y=x (α ≠0),当 α 取不 同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的 曲线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连结 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=x ,y=x 的图象三等分,即有 BM=MN=NA.那么,α β =( A.1 [答案] A B.2 C.3 )
α β

α

D.无 法确定

?1 2? ?2 1? [解析] 由条件知,M? , ?、N? , ?, ?3 3? ?3 3?
1 ?2?α 2 ?1?β ?1?α β ??1?β ?α ?2?α 1 ∴ =? ? , =? ? ,∴? ? =?? ? ? =? ? = ,∴α β =1.故选 A. 3 ?3? 3 ?3? ?3? ??3? ? ?3? 3 6.(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的 图象如下图所示,则函数 g(x)=a +b 的图象是(
x

)

-5-

[答案] A [解析] ∵f(x)=(x-a)(x-b)的两个零点为 a 和 b 且 a>b,由图象知 0<a<1,b<-1, ∴g(x)=a +b 单调减,且 g(0)=1+b<0,故选 A. (理)(2011·新课标全国文)已知函数 y =f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x) =x , 那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有( A.10 个 C.8 个 [答案] A [解析] 由 y=f(x)与 y=|lgx|图象(如图)可知,选 A. B.9 个 D.1 个 )
2

x

? 1 1? 7.若幂函数 f(x)的图象经过点 A? , ?,则它在 A 点处的切线方程为________. ?16 4?
[答案] 16x-8y+1=0 [解析] 设 f(x)=x ,∵f(x)的图象过点 A, 1 ? 1 ?α 1 ∴? ? = ,∴α = .∴f(x)=x , 2 ?16? 4 1 ?1? ∴f ′(x)= ,∴f ′? ?=2, ?16? 2 x 1? 1 ? 故 切线方程为 y- =2×?x- ?, 16? 4 ? 即 16x-8y+1=0. 8.(文)(2011·淮北模拟)已知函数 f(x)=x ,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围
-1 α

1 2

-6-

是________. [答案] (-∞,-1)∪(3,5) [解析]
? ?a+1<0, 由题意,得? ?10-2a>0, ?

?a+1>0, ? 或?10-2a>0, ?a+1>10-2a, ?
∴a<-1 或 3<a<5. (理)若函数 f(x)=

?a+1<0, ? 或?10-2a<0, ?a+1>10-2a, ?

d (a、 、 , ∈R), b c d 其图象如图所示, a: : : =________. 则 b c d ax2+bx+c

[答案]

1:(-6):5:(-8)

[解析] 由图象知,x≠1 且 x≠5, 故 ax +bx+c=0 的两根为 1,5.
2

b ?-a=6, ? ∴? c ?a=5, ?

∴?

?b=-6a, ? ? ?c=5a,

又 f(3)=2,∴d=18a+6b+2c=-8a. 故 a:b:c:d=1:(-6):5:(-8). 9.若 f(x)=

ax+1 在区间(-∞,1)上是减函数,则 a 的取值范围是________. x-1

[答案] (-1,+∞) [解析] f(x )=

ax+1 a? x-1? +a+1 a+1 = =a+ . x-1 x-1 x-1

∵f(x)在(-∞,1)上为减函数, ∴a+1>0,∴a>-1.
-7-

10.如图所示,函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

[解析] 得?
?k+b=1, ? ? ?b=2,

如图,设左侧射线对应的解析式为: y=kx+b(x≤1),将点(1,1),(0,2)代入 解得?
?k=-1, ? ? ?b=2,

所以左侧射线对应的函数解析式是 y=-x+2(x≤1);同
2

理, x≥3 时,函数解析式为: y = x -2(x≥3);再设抛物线段的解析式为 y = a(x -2) + 2(1≤x≤3,a<0),将( 1,1)代入得,a+2=1,∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-x +4x-2( 1≤x≤3). ? x<1? , ?-x+2 ? 2 综上知,函数解析式为 y=?-x +4x-2 ? 1≤x<3? , ?x-2 ? x≥3? . ? 能力拓展提升 11.(文)(2011·山东济宁一模)函数 f(x)=2
|log x| 2 2

的图象大致是(

)

[答案] C [解析] f(x)=2
|log x| 2

?2 2 ,x≥1 =? |log x| ?2- 2 ,0<x<1

|log x|



?x,x≥1, ? ∴f(x)=?1 ?x,0<x<1. ?
1 x-2 3 (理)(2011·威海模 拟)设函数 y=x 与 y=( ) 的图象的交点为(x0,y0), x0 所在的区 则 2 间是( )
-8-

A.(0,1) [答案] C

B.(2,3)

C.(1,2)

D.(3,4)

?1?x-2 3 [解析] 设 f(x)=x -? ? ,则 f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以 x0 在区间(1 ,2)内. ?2?
12.(文)(2011·成都一诊)若 x∈(e A.a<b<c C.b<a<c [答案] C [解析] 由 x∈(e 因此有 b<a<c,选 C. (理)(2011·青岛模拟)现向 一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中 能表示在注入过程中容器的液面高度 h 随时间 t 的函数关系的是( )
-1, -1,

1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则( B.c<a<b D.b<c<a

3

)

1)得-1<lnx<0,a-b =-lnx>0,a>b,a-c=lnx(1-ln x)<0,a<c,

2

[答案] C [解析] 根据球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增

加的速度又越来越快. 13.(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线 x=2 及 x=4 与函数 y=log2x 图象的交点 分别为 A,B,与函数 y=lgx 图象的交点分别为 C,D,则直线 AB 与 CD( A.相交,且交点在坐标原点 B.相交,且交点在第Ⅰ象限 C.相交,且交点在第Ⅱ象限 D.相交,且交点在第Ⅳ象限 [答案] A 1 lg2 [解析] 易求得两直线方程分别为 AB:y= x、CD:y= x,则其交点为坐标原点.如 2 2 图所示. )

-9-

(理)(2011·山东淄博一模)设动直线 x=m 与函 数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别交于 点 M,N,则|MN|的最小值为( 1 A. (1+ln3) 3 1 C. (1-ln3) 3 [答案] A 1 3 2 [解析] 设 u(x)=x -lnx,则 u′(x)=3x - . ) 1 B. ln3 3 D.ln3-1

3

x

令 u′(x)=0,得 x=

3 1 . 3

当 0<x<

3 1 时,u′(x)<0,u(x)单调递减; 3

当 x>

3 1 时,u′(x)>0,u(x)单调递增. 3 3 1 时,u(x )取到最小值, 3

所以,当 x=

此极小值即为 u(x)在(0,+∞)上的最小值. 1 1 1 1 ∴|MN|=| - ln |= (1+ln3). 3 3 3 3 14.(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数 a,b 满足等式 log2a= log3b,给出下列五个关 系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能的关系式是________. [答案] ②④⑤
- 10 -

[解析] 由已知 log2a=log3b,在同一坐标系中作出函数 y=log2x,y=log3x 的图象,当 纵坐标相等时,可以得到相应横坐标的大小关系,从而得出②④⑤可能成立. 2 7 m 15.(文)已知函数 f(x)= -x ,且 f(4)=- . x 2 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 2 7 m [解析] (1)∵f(4)=- ,∴ -4 =- . 2 4 2 ∴m=1. 2 (2)f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减,

x

证明如下: 任取 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2) 2 2 2 =( -x1)-( -x2)=(x2-x1)( +1).

x1

x2

x1x2

∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,

2

x1x2

+1>0.

∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 2 即 f(x)= -x 在(0,+∞)上单调递减.

x

2e ? 1? (理)(2011·山东烟台调研)设函数 f(x)=p?x- ?-2lnx, g(x)= .(p 是实数,e 是自

?

x?

x

然对数的底数) (1)当 p=2e 时,求 f(x)+g(x)的单调区间; (2)若直线 l 与函数 f(x),g(x)图象都相切,且与函数 f( x)的图象相切于点(1,0),求 p 的值. [解析] (1)当 p=2e 时, 2e ? 1? f(x)+g(x)=2e?x- ?-2lnx+ =2ex-2lnx, x? x ? 2 则(f(x)+g(x))′=2e- .

x

1 故当 x> 时,f(x)+g(x)是增函数;

e e

1 当 0<x< 时,f(x)+g(x)是减函数. 1 综上,f(x)+g(x)的单调增区间为[ ,+∞),

e

- 11 -

f(x)+g(x)的单调减区间为(0, ]. e p 2 (2)∵f ′(x)=p+ 2- ,∴f ′(1)=2(p-1). x x
设直线 l:y=2(p-1)(x-1),

1

?y=2? p-1? ? x-1? ? 由? 2e ?y= x ?
即(p-1)x -(p-1)x-e=0. 当 p=1 时,方程无解;
2

得(p-1)(x-1)= ,

e x

当 p≠1 时,∵l 与 g(x)图象相切, ∴Δ =(p-1) -4(p-1)(-e)=0,得 p=1-4e. 综上,p=1-4e. 16. 某机床厂 2007 年年初用 98 万元购进一台数控机床, 并立即投入生产使用, 第一年 的 维修保养费用为 12 万元,从第二年开始,每年所需维修保养费用比上一年增加 4 万元,该机 床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值); (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:①当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 问用哪种方案处理较为合理?请说明你的理由. [解析] (1)y=50x-[12x+ =-2x +40x-98.(x∈N ) (2)解不等式-2x +40x-98>0 得, 10- 51<x<10+ 51. ∵x∈N ,∴3≤x≤17. 故从第三年起该机床开始盈利. 98? y 98 98 ? (3)①∵ =-2x+40- =40-?2x+ ?≤40-2 2×98=12,当且仅当 2x= ,即 x=
* 2 2 * 2

x? x-1?
2

×4]-98

x

x

?

x?

x

7 时,等号成立. ∴到 2014 年,年平均盈利额达到最大值,机床厂可获利 12×7+30=114 万元. ② y=-2x +40x-98=-2(x-10) +102, 当 x=10 时,ymax=102. 故到 2017 年,盈利额达到最大值,机床厂可获利 102+12=114 万元.
2 2

- 12 -

因为两种方案机床厂获利总额相同,而方案①所用时间较短,故方案①比较合理.

1.若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象分别如图,则 f(x)·g(x)的图象可能是(

)

[答案] C [解析] 由 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可知 f(x)·g(x)为奇函数,x∈(-3,0)时,

f( x)>0,g(x)>0,所以 f(x)g(x)>0,故选 C.
2. 如图所示是某一容器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度 h 随时间 t 变 化的图象可能是( )

- 13 -

[答案] B [解析] 由三视图可知,该几何体为倒立的圆锥,故随时间 t 的增加,容器中水面的高 度增加的越来越缓慢,即曲线切线的斜率在逐渐变小,故选 B. 3. (2011·天津文, 8)对实数 a 和 b, 定义运算“?”: ?b=? a
2

?a,a-b≤1, ? ? ?b,a-b>1,

设函数 f(x)

=(x -2)?(x-1),x∈R,若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取 值范围是( ) B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2]∪(1,2] [答案] B [解析]
? ?x -2 由题意得,f(x)=? ? ?x-1
2

-1≤x≤2

x<-1或x>2

由 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 即方程 f(x)=c 有两个不等的根, 即函数 y=f(x)与 y=c 的图象有两个交点. 由图象知:

∴-2<c≤-1 或 1<c≤ 2.

- 14 -

4. (2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算: ?b=? a -x),那么函数 y=f(x+1)的大致图象是( )

? ?a? ? ?b?

a≥b? , a<b? ,

已知函数 f(x)=2 ?(3

x

[答案] B [解析] 如图.在同一坐标系内分别作出 y=2 与 y=3-x 的图象,据已知函数 f(x)的定 义知,相同 x 对应的上方图象即为函数 f(x)的图象(如实线部分所示),然后将其图象左平移 1 个单位即得函数 y=f(x+1)的图象,故选 B.
x

?-2x,? -1≤x≤0? 5.(2012·安徽合肥模拟)已知 f(x)=? ? x,? 0<x≤1?
误的是( )

,则下列函数的图象错

- 15 -

[答案] D [解析] 先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个长度单位即可得到 y=f(x-1)的图象,因此 A 正确;作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴 的对 称图形即可得到 y=f(-x)的图象,因此 B 正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的 图象与 y=f(x)的图象重合,C 正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数 ,当 0<x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这部分图象不是一条线段,因此选项 D 不正确.综上所述, 选 D. 6.(2011·福建质量检查)设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a],都有 y ∈[a,a ],满足方程 logax+logay=c,这 时 a 的取值的集合为____ ____. [答案] {2} [解析] 依题意得 y= , 当 x∈[a,2a]时,y= ∈
2

ac x

ac x

?1ac-1≥a ? 1 c-1 c-1 2 [ a ,a ]? [a,a ],因此有?2 2 ?ac-1≤a2 ?
即 2a≤a
c-1
2 2



≤a ,又常数 c 是唯一的,因此 a =2a,

又 a>1,所以 a=2.

- 16 -


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