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浦东暑假新高二数学辅导班 最实用的对数函数复习资料(经典+精练)


东南数理化 高中数学教研组

最实用的对数函数复习资料

1.已知函数 f ( x) ? ? A、9

?3 x ( x ? 0) ?log2 x( x ? 0)
B、

,那么 f [ f ( )] 的值为 ( C、 ? 9 D、 ?

1 4



1 9


1 9

2.已知 0<x<y<a<1,则有( A、loga(xy)<0

B、0< loga(xy)<1

C、1< loga(xy)<2

D、loga(xy)>2 )

3.若定义在(-1,0)内的函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) ? 0 ,则 a 的取值范围是 (

1 1 1 B、 (0, ] C、 ( ,?? ) D、 (0,??) 2 2 2 4.若函数 y ? (log1 a) x 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是 ( )
A、 (0, )
2

1 A、 (0, ) 2

B、 ( ,1)

1 2

C、 ( ,?? )

1 2

D、 (1,??) )

5.已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A、 a ? b ? c
?1

B、 c ? a ? b

C、 a ? c ? b
3

D、 b ? c ? a ) D、b<c<a ) D、 log 1 m ? log 1 n
2 2

1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则( 6.若 x ? (e ,,
A、a<b<c B、c<a<b C、b<a<c

7. (2010 北京西城一模)若 0 ? m ? n ,则下列结论正确的是( A、 2 m ? 2 n
x

?1? ?1? B、 ? ? ? ? ? ?2? ?2?

m

n

C、 log2 m ? log2 n

8.若指数函数 y=a 的反函数的图象经过点(2,-1),则 a 等于( 1 A、 2 B、2 C、3 D、10



9. (2011 重庆)设 a ? log 1
3

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log3 , 则a, b, c 的大小关系是( 2 3 3 3
C、 b ? a ? c ) 1/12



A、 a ? b ? c 10.若 log a

B、 c ? b ? a

D、 b ? c ? a

2 ? 1,则 a 的取值范围是( 3

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?2 ? A、 ? ,1 ? ?3 ?

?2 ? B、 ? , ?? ? ?3 ?

? 2? C、 ? 0, ? ? ?1, ?? ? ? 3?

? 2? ?2 ? D、 ? 0, ? ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ?


11. (2012 江门市一模)已知函数 f ( x) ? lg | x | , x ? R 且 x ? 0 ,则 f ( x) 是( A、奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 C、奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

B、偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 D、偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

12. (2010 青岛市二模)已知函数 f ( x) ? a x ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1) 在 [1, 2] 上的最大值与最小值之和为

loga 2 ? 6 ,则 a 的值为(
A、

) C、 2 D、 4

1 2

B、

1 4

x 13. (2010 北京丰台一模)设集合 M ? { y | y ? ( ) , x ? ?0 , ? ? ?} , N ? { y | y ? log2 x , x ? ? 0 , 1?} ,则集

1 2

合 M ? N 是(

) B、 ?0 , ? ? ? . . C、 ? ?? , 1? D、 (?? , 0) ? (0 , 1)

A、 (?? , 0) ? ?1 , ? ? ? 14.若 f (10x)= x, 则 f (5) =

15. (2010 上海市奉贤区 4 月质量调研) 函数 y ? loga ( x ? 1) ? 2 (a ? 0, a ? 1) 的图像恒过一定点是 16. (2010 上海市普陀区二模)函数 y ? 17.已知 log189 = a,18b = 5,求 log3645.

log 1 ? 3 x ? 2 ? 的定义域是
3



18.求证:函数 f (x) = log2

x 在(0, 1)上是增函数. 1? x

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19、已知 100 ? 5 , 10 ? 2 ,
m n

(1)求 2 m ? n 的值;
2 (2)x1,x2,…,x2010 均为正实数,若函数 f (x)=logax(a>0 且 a≠1)且 f (x1x2…x2010)= 2 m ? n ,求 f ( x1 ) 2 2 +f ( x2 )+…+f ( x2010 )的值.

20、已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ,其中 (a ? 0且a ? 1) . (1)求函 数 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)若 f ( ) ? 2 ,求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的集合.

3 5

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【拓展训练】 1.函数 y=logax 在 x ? ?2,??? 上总有|y|>1,则 a 的取值范围是( A、 0 ? a ? )

1 或1 ? a ? 2 2

B、

C、 1 ? a ? 2

1 ? a ? 1 或1 ? a ? 2 2 1 D、 0 ? a ? 或 a ? 2 2
) D、 ? ?1, ?? ? )

2. (2010 山东)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为(
x

?

?

A、 ? 0, ?? ?

B、 ? ?0, ?? ?

C、 ?1, ?? ?

3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,下列四组函数中表示相等函数的是( A、 y ? loga x与y ? (logx a) ?1 C、 y ? 2x与y ? loga a2 x B、 y ? a
loga x

与y ? x

D、 y ? loga x 2与y ? 2 loga x [

4. (2011 高州三中高三上期末)已知 f ( x) ? ? 范围是( A、 (0,1) ) B、 (0, )
2

?(2a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 是 (??,?? ) 上的减函数,那么 a 的取值 ( x ? 1) ?loga x,
1 1 6 2 1 6

1 2

C、 [ , )

D、 [ ,1)

? 5.函数 y ? 2? log 1 ? 2 ?
A、 ?

? x? ? ? 2 log 1 x ? 1 的单调递增区间是( 2 ?
B、 ? ? ? ,



? 2 ? ,?? ? ? ? 2 ?

? ? ?

2? ? 2 ?

C、 ? ,?? ?

?1 ?4

? ?

D、 ? ? ? , ? 4

? ?

1? ?

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东南数理化 高中数学教研组 6.已知定义在 R 上的偶函数在 ?0,??? 上是增函数,且 f ? ? ? 0 ,则满足 f ? log 1 x ? ? 0 的 x 的取值范围 ? ? 3

?1? ? ?

? ?

? ?

8

是(

) B、 ? 0, ? ? ?2,???
2

A、 ?0,???

? ?

1? 2?

C、 ? 0, ? ? ? ,2 ?

? 1? ? 8?

?1 ?2

? ?

D、 ? 0, ?

? ?

1? 2?
f ( g ( ? x ) ) 0} ,

7 .( 2012

重 庆 ) 设 函 数 f ( x) ? )

x? 4 x ? 3 , g (x x ?)

集 | ? 3 合 2M , ?{ x? R

N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为(
A、 (1, ??) B、(0,1)

C、(-1,1)

D、 (??,1) .
8

8. (2012 江苏)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为

9. (2008 山东)已知 f (3x ) ? 4 x log2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (2 ) 的值等于 10.已知 f(logax)= (1)求 f ( x) ; (2)求证: f ( x) 是奇函数; (3)求证: f ( x) 在 R 上为增函数.
a ( x 2 ? 1) x(a 2 ? 1)



,其中 a>0,且 a≠1.

11.已知函数 f ( x) ? lg(a x ? bx ), a ? 1 ? b ? 0 . (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)在函数 f ( x ) 的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a , b 满足什么条件时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上恒取正值.

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东南数理化 高中数学教研组 12.现有两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与 f 2 ( x) ? log a

1 ,其中 a ? 0, a ? 1 . x?a

(1)求函数 F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的表达式与定义域; (2)给出如下定义:“对于在区间 ?m, n ? 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g ( x) ,如果对任意 x ? ?m, n?, 有 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ?m, n ? 上是接近的,否则称 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ?m, n ? 上是 非接近的.” 若 0 ? a ? 1 ,试讨论 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是接近的.

【参考答案】 1、巩固练习答案 1、选 B.由 ? 2、A. 3、选 D.依题意,a>0 且 a≠1,对于 A,D 图,由对数及指数函数图像知,a>1,此时直线 y=x+a 在 y 轴上 的截距大于 1,因此 A 错,D 对,选择 D. 4、选 A.

? x ?1 ? 0
x

?x ? 1 ?? ? x ? 1. ?2 ? 1 ? 0 ? x ? 0

1 1 ? ? logm 2 ? logm 5 ? logm 10 ? 2,?m2 ? 10, 又? m ? 0,? m ? 10. a b

5、 [2,5) .注意定义域. 6、 【解析】 (1) lg 45 ?

1 1 1 90 1 ? [lg 9 ? lg10 ? lg 2] ? [2 lg 3 ? 1 ? lg 2] lg 45 ? lg 2 2 2 2 2

? lg 3 ?
(2) log a [ 4 a ? 3

1 1 ? lg 2 ? 0.4771+0.5 – 0.1505= 0.8266. 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 x ] ? loga a 4 ? loga x 3 ? loga y12 ? ? loga x ? loga y ? ? n ? m. 4 y 4 3 12 4 3 12

2 3 5 (3)由已知得: lg x ? lg a ? lg b ? lg c ? lg

a 2b3 c5

,∴ x ?

a 2b3 c5
y

.

6/12

· · –2

·
0

· 1

2

x

东南数理化 高中数学教研组 7、 【解析】函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}.
( x ? 0) ? ?log2 x 函数解析式可化为 y = ? , ? ?log2 (? x) ( x ? 0)

其图象如图所示(其特征是关于 y 轴对称) . 8、 【解析】 (1)对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,且 3.4<3.8,于是 log23.4<log23.8. (2)对数函数 y=log0.5x 在(0,+∞)上是减函数,且 1.8<2.1,于是 log0.51.8>log0.52.1. (3)当 a>1 时,对数函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,于是 loga5.1<loga5.9; 当 0<a<1 时,对数函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数,于是 loga5.1>loga5.9. (4)因为函数 y=log7x 和函数 y=log6x 都是定义域上的增函数, 所以 log75<log77=1=log66<log67,所以 log75<log67. 9、 【解析】 (1)易知 D 为线段 AB 的中点,因 A(a, log2a ),B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2 a(a ? 4) ) .

(a ? 2) 2 (2)S△ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=…= log2 , a(a ? 4) (a ? 2) 2 其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影,由 S△ABC= log2 >1,得 0< a<2 2 -2. a(a ? 4)
10、 【解析】 (1) a ? ?1 或 a ?

5 5 ; (2) 1 ? a ? . 3 3

依题意 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立
2 ? ?a ? 1 ? 0 5 当 a ? 1 ? 0 时,必须有 ? ,即 a ? ?1 或 a ? 2 2 ? 3 ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0
2

2 当 a ? 1 ? 0 时, a ? ?1 ,当 a ? ?1 时, f ( x) ? 0 满足题意,当 a ? 1 时不合题意

故 a ? ?1 或 a ?

5 ; 3

2 2 依题意,只要 t ? (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1能取到 (0,??) 的任何值,则 f ( x) 的值域为 R ,
2 ? ?a ? 1 ? 0 5 故有 ? ,即 1 ? a ? ; 2 2 ? 3 ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0
2 当 a ? 1 ? 0 时, a ? ?1 ,当 a ? 1 时, t ? 2 x ? 1 符合题意,当 a ? ?1 时,不合题意

故1 ? a ?

5 . 3
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2、课后作业答案 1、选 B.∵ f ( ) ? log 2

1 4

1 ? ?2 4

1 1 ? f [ f ( )] ? f (?2) ? 3 ? 2 ? 4 9

2、选 D.∵0<x<y<a<1 ∴ loga x ? loga a ? 1, loga y ? loga a ? 1 ,∴ loga ( xy) ? loga x ? loga y ? 2 . 3、 选 A. 当 x? (-1, 0) 时,x ? 1 ? (0,1) , 而函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) ? 0 , 故 0 ? 2a ? 1 , 即0 ? a ? 4、选 A.∵ y ? (log1 a) x 在 R 上为增函数, ∴ log 1 a ? 1,
2
2

1 . 2

?0 ? a ?
1.3

1 . 2

5、选 C.由于 a ? log2 0.3 ? log2 1 ? 0 , b ? 2 0.1 ? 2 0 ? 1, c ? 0.2 6、选 C.由 e
?1

? (0,1) .

? x ? 1得 ? 1 ? ln x ? 0 ,从而 b ? 2 ln x ? ln x ? a , c ? ln 3 x ? ln x ? a .

7、选 D.由指数函数与对数函数的单调性知 D 正确. 8、选 A.运用原函数与反函数图象关于 y=x 对称,则函数 y=ax 过点(-1,2),故选 A. 9、选 B. 10、选 C. 11、选 B. 12、选 C.函数 f ( x) ? a x ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1) 在 [1, 2] 上具有单调性,因此 a+a2+loga2= loga 2 ? 6 ,解 得 a=2,选择 C. 13、选 C. M ? ? 0 , 1? , N ? ? ?? , 0? ,因此 M ? N ? ? ?? , 1? . 14、lg5.由题意 10x= 5,故 x= lg5,即 f(5)= lg5. 15、 (2,2) .当 x=2 时,函数 y ? loga ( x ? 1) ? 2 (a ? 0, a ? 1) 值为 2,所以其图像恒过定点(2,2) . 16、 ( ,1] . log 1 (3x ? 2) ? 0 , 0 ? 3x ? 2 ? 1 ,解得 x∈ ( ,1] .
3

2 3

2 3

17、 【解析】方法一:∵log189 = a,18b = 5,∴log185 = b, 于是 log36 45 ?
log18 45 log18 (9 ? 5) log18 9 ? log18 5 ? = = 1 ? log18 2 log18 36 log18 (18? 2)

a?b 1 ? log18 18 9

?

a?b . 2?a

方法二:∵log189 = a,18b = 5,∴lg9 = alg18,lg5 = blg8, ∴ log36 45 ?
a lg18 ? b lg18 a ? b lg 45 lg(9 ? 5) lg 9 ? lg 5 ? = . ? ? 2 lg 36 2 lg18 ? lg 9 2 lg18 ? a lg18 2 ? a 18 lg 9

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东南数理化 高中数学教研组 18、 【解析】设 0<x1<x2<1, 则 f (x2) – f (x1) = log 2 ∵0<x1<x2<1,∴

x2 x x (1 ? x1 ) x 1 ? x1 . = log2 2 ? ? log 2 1 ? log 2 2 x1 1 ? x 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x2 ) x1

x 1 ? x1 1 ? x1 x2 >1, >1. 则 log2 2 ? >0, x1 1 ? x 2 1 ? x2 x1

∴f (x2)>f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数. 19、 【解析】 (1)方法一: 100 ? 10
m 2m

? 5 , ?102m ? 10n ? 102m?n ? 10 , ? 2m ? n ? 1 .

方法二:?100m ? 5,? 2m ? lg 5 , ?10n ? 2,? n ? lg 2 , ? 2m ? n ? lg 5 ? lg 2 ? lg10 ? 1 . (2)由(1)可知 f(x1x2…x2010)=f(x1)+f(x2)+…+f(2010)=1,
2 2 2 ∴f( x1 )+f( x2 )+…+f( x2010 )=2[f(x1)+f(x2)+…+f(x2010)] =2× 1=2.

20、 【解析】

(3)由 f ( ) ? log a

3 5

8 2 ? log a ? log a 4 ? 2 ,得 a ? 2 . 5 5

∴ f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) , 由 f ( x) ? 0 得 log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) ? 0 , ∴ log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) 得 1 ? x ? 1 ? x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 . ∴使 f ( x) ? 0 成立的 x 的集合是 {x | 0 ? x ? 1} .

3、拓展训练答案 1、选 B.∵函数 y=logax 在 x ? ?2,??? 上总有|y|>1. ① 当 0< a <1 时 ,函数 y=logax 在 x ? ?2,??? 上总有 y< -1,即 log a 2 ? ?1? a ? ② 当 a ? 1 时,函数 y=logax 在 x ? ?2,??? 上总有 y>1,即 loga 2 ? 1? a ? 2 .

1 . 2

9/12

东南数理化 高中数学教研组 由 ①②可得 2、选 A. 3、选 C.定义域均为 R , loga a 2 x ? 2 x . 4、选 C. 5、选 A. 6、选 B.
2 7、选 D.由 f ( g ( x)) ? 0 得 g ( x) ? 4 g ( x) ? 3 ? 0 则 g ( x) ? 1 或 g ( x) ? 3 即 3x ? 2 ? 1 或 3x ? 2 ? 3 ,
x x 所以 x ? 1 或 x ? log 3 5 ;由 g ( x) ? 2 得 3 ? 2 ? 2 即 3 ? 4 所以 x ? log 3 4 故 M ? N ? (??,1) .

1 ? a ? 1或1 ? a ? 2 . 2

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? 0< x ? 6 . 1 8、 0, 6 ? .由 ? ? 1 ? ? 2 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? 2 ?x ? 6 = 6 ?

?

9、2008.? f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ? 4log2 3x ? 233, ? f ( x) ? 4log2 x ? 233,

? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) ?
=1864+144=2008 10、 【解析】利用换元法,可令 t=logax,求出 f(x) ,从而求出 f(x).证明奇函数及增函数可运用定义. (1)解:设 t=logax,则 t∈R,∴x=at(x>0) ,则 f(t)=
a(a 2t ? 1) a (a ? 1)


t

2

=

a a ?1
2

(at-a t) .


(2)证明:∵f(-x)=

a a ?1
2

(a x-ax)=-


a a ?1
2

(ax-a x)=-f(x) ,∴f(x)为奇函数.

(3)证明:设 x1、x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)= ) ] a ?1 a - - = 2 [(a x 2 -a x1 )+a x1 a x 2 (a x 2 -a x1 ) ] a ?1 a - - = 2 (a x 2 -a x1 ) (1+a x1 a x 2 ) . a ?1
2

a

[(a x 2 -a



x2

)-(a x1 -a

- x1

若 0<a<1,则 a2-1<0,a x1 >a x 2 ,∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在 R 上为增函数; 若 a>1,则 a2-1>0,a x1 <a x 2 ,∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在 R 上为增函数. 综上,a>0,且 a≠1 时,y=f(x)是增函数. 10/12

东南数理化 高中数学教研组 11、 【解析】 (1) 由a ?b ? 0得 ?
x x

?a? ?a? ?a? 由于 ? ? ? 1 所以 x ? 0 , 即 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . ? ?1? ? ? , ?b? ?b? ?b?

x

0

(2)任取 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? lg(a x1 ? bx 1), f ( x2 ) ? lg(a x 2? bx )2

(a x1 ? b x1 ) ? (a x2 ? bx2 ) ? (a x1 ? a x2 ) ? (bx2 ? b x1 ) ? a ? 1 ? b ? 0,? y ? a x 在 R 上为增函数, y ? b x 在 R 上为减函数, ? a x1 ? a x2 ? 0, b x2 ? b x1 ? 0 ?(a x1 ? bx1 ) ? (a x2 ? bx2 ) ?即 0 (a x1 ? bx1 ) ? (a x2 ? b x2 )
又? y ? lg x 在 (0, ??) 上为增函数, ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

所以任取 x1 ? x2 则必有 y1 ? y2 , 故函数 f ? x ? 的图象 L 不存在不同的两点使过两点的直线平行于 x 轴. (3)因为 f ? x ? 是增函数,所以当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? ? f ?1? , 这样只需 f ?1? ? lg ? a ? b? ? 0 , 即当 a ? b ? 1 时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上恒取正值. 12、 【解析】 (1) F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? loga ( x ? 3a) ? log a

1 ? loga ( x ? 3a)(x ? a) . x?a

? x ? 3a ? 0 ? x ? 3a ? 由? 1 得? ,又 a ? 0, a ? 1 ,? F ( x) 的定义域为 ?x | x ? 3a?. ?0 ?x ? a ? ?x ? a
(2) f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的 ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 1, 即 loga ( x ? 3a)(x ? a) ? 1 ,? ?1 ? loga ( x ? 3a)(x ? a) ? 1 ,

? log a

1 ? log a ( x ? 3a)( x ? a ) ? log a a , a 1 , a

? 0 ? a ? 1 ,? a ? ( x ? 3a )( x ? a ) ?
2 2 因此 a ? ( x ? 2a ) ? a ?

1 对于任意 x ? ?a ? 2, a ? 3?恒成立. a

令 h( x) ? ( x ? 2a) 2 ? a 2 , x ? ?a ? 2, a ? 3?, 开口向上且对称轴 x ? 2a 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 的左边.

?a ? h( x) min ? ? ?1 ? h( x) max ? ?a

?a ? h(a ? 2) ? ? ?1 ? h(a ? 3) ? ?a

4 ? ?a ? 4 ? 4a ? ?a ? , ? ?1 ?? 5 ? 9 ? 6a 2 ? ? ?a ?6a ? 9a ? 1 ? 0
11/12

东南数理化 高中数学教研组 又 0 ? a ? 1 ,? 0 ? a ? 故当 0 ? a ?

9 ? 57 , 12

9 ? 57 时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的; 12



9 ? 57 ? a ? 1 时, f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是非接近的. 12

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