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3。1.1数系的扩充与复数的概念


3.1.1 《数系的扩充与复数的概念》教案
韩多瑞 2014.3.17

教学目标: (一)知识与能力: 1.了解引进复数的必要性以及数系的扩充过程; 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 (二)过程与方法: 1.在教学过程中,让学生在问题情境中了解数系的扩充过程以及引入复数的必要性,体验数 学的发现和创造过程; 2.在教学过程中,充分展示每一个数学问题的关键,给学生讲清所面临的问题是什么和怎样 解决问题,激发学生的好奇心,培养学生的兴趣。 (三)情感、态度、价值观: 1.通过数系的扩充过程,是学生感受人类认识问题,发展科学的艰辛历程,从而感受数学的 人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美; 2.通过本节学习,让学生认识到任何事物都是不断发展变化的辩证唯物主义观点。 教学重点、难点: 重点是对引入复数必要性的认识,理解复数的基本概念;难点是复数及其相关概念的理解。 教学过程: 一.创设问题情境,引入新课:

(x ? 1)( 2 x ? 1)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 1.问题 1 请在下列给定的数集的范围内解方程:
2 2

(1)在整数集(Z)内; (2)在有理数集(Q)内; (3)在实数集(R)内。 2.问题 2 上述方程在整数集(Z)内的解 x ? ?1 实际就是方程 x ? 1 ? 0 在整数集(Z)内的 解,那么: (1)方程 2x ?1 ? 0 在整数集(Z)内有解吗?若将数集从整数集扩充到有理数集 (Q) ,此时这个方程有解吗? (2)方程 x ? 2 ? 0 在有理数集(Q)内有解吗?若将数集从有理数集扩充到实数
2

集(R) ,此时这个方程有解吗? (3)方程 x ? 1 ? 0 在实数集(R)内有解吗?为什么?
2

类比数系从整数系到有理数系,再从有理数系到实数系的扩充,使的方程 2x ?1 ? 0 、

x 2 ? 2 ? 0 有解的过程,指出“能否像上面一样,我们也将实数系进行扩充,让象 x 2 ? 1 ? 0
这一类方程有解?如果能, 那么如何扩充?扩充后的数系又是什么数系?它怎样表示?它与 实数系是什么关系?本节课就来探讨这一问题。 二.新课讲解: (一)复数引入的必要性以及数系的扩充过程: 1.回忆数系从自然数系到整数系,从整数系到有理数系,从有理数系到实数系的扩充过程, 让学生明白数系的扩充都是与实际需求密切相关的; 而且扩充后原来的运算法则和运算律任 然都是成立的、适用的。

2.现在我们在解象 x ? 1 ? 0 这一类方程时遇到了什么问题?其关键是什么?
2

3.如何将实数系进行扩充?针对我们遇到的问题,我们引入一个新数: i ,使 i 式方程

x 2 ? 1 ? 0 的根,即使 i ? i ? i 2 ? ?1 ,然后把它添加到实数系中去,这样就出现了一个新数
系,它可以使得 x ? 1 ? 0 这一类方程有解。
2

并规定: (1) i ? i ? i ? ?1 ;
2

(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的 运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 4. 根据规定,我们把: (1)实数 a 与 i 相加,记作 a+i; (2)实数 a 与 i 相乘,记作 ai; (3)实数 a 与实数 b 和 i 的积相加记作 a+bi. 那么看看下列实数与虚数单位 i 经过了哪些运算?

2 ? i,

2i , (2 ? 3)i , 2 ? 3i ,

2? 3 ,

2 3。

这些运算的结果,按上面的记法都可以写成怎样的形式的数? 这样的数可以组成怎样的一个集合? (二)复数的定义及其表示: 1. 将实数系扩充成新数系后,它不仅含有象 a 这样的实数,还含有数 i ,含有形如

a + b i ( a ? R, b ? R )这样的数,注意到当 b =0 时,它就是实数 a ,当 a =0 且 b =1 时,
它就是数 i ,因此扩充后的新数系应该是这样的一个集合,可表示为 C= ?a ? bi | a, b ? R 2.我们把集合 C= ?a ? bi | a, b ? R

?。

? 中的数,即形如 a + b i ( a ? R, b ? R )的数叫做

复数,其中 i 叫做虚数单位。全体复数所成的集合 C 叫做复数集。 3.复数常用字母 Z 表示,即 Z= a + b i ( a ? R, b ? R ) ,这一表示形式叫做复数的代数 形式,对于复数 Z= a + b i ( a ? R, b ? R ) ,如不作特别说明,都有 a ? R, b ? R ,特别的,

a 与 b 分别叫做复数 Z 的实部与虚部。
4.练一练:说出下列复数的实部和虚部

2 1 , -2+ i , 2 ? i , ? 3i , i 2 3 (a, b, c, d ? R) ,规定: 5.在复数集 C= ?a ? bi | a, b ? R ? 中任取两个数 a + b i , c ? di 0,
a + b i = c ? di ? a ? c且b ? d 。一般来说,两个复数只能说相等或不相等,而不能
比较大小。当两个复数都是实数时,则可以比较大小,否则,不能比较大小。 6.复数集 C 和实数集 R 之间的关系: 对于复数 Z= a + b i( a ? R, b ? R ) , 当且仅当 b =0 时, 它是实数 a ; 当且仅当 a = b =0 时,它是实数 0;当 b ? 0 时,叫做虚数;当 a=0 且 b ? 0 时,叫做纯虚数。

C ? 实数集 R 是复数集 C 的真子集,即R ? 。

复数 Z= a + b i ( (a, b, c, d ? R) 可分类如下:

?实数(b ? 0) ? 复数 Z= a + b i ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?
复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之 间的关系如图所示:
虚数集 复数集C 纯虚数集
实数集R

7..练一练指出下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数:

2 2 ? 7, 0.618, i,0, i, i 2 ,5i ? 8,3 ? 9 2i, i(1 ? 3 ), 2 ? 2i. 7
(三)例题讲解: 1.例 1 实数 m 取什么值时,复数 Z ? m ? 1 ? (m ? 1)i (1)实数? (2)虚数? 是

(3)纯虚数? 时,Z 为纯虚数;当 m= 时,

m2 ? m ? 2 变式:复数 Z ? ? (m 2 ? 1)i ,当 m= m ?1
Z 为 0.

2.例 2 已知 ( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y) 其中 x, y ? R ,求 x, y 。

( x 2 ? y 2 ? x) ? yi ? 2 ? 4i ,求 x, y 。 变式:若 x,y 为实数,且
三.练习: 1.a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的 ( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 非必要非充分条件 2.以 3i-2 的虚部为实部,以 3i2+3i 的实部为虚部的复数是 ( ) A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 。 4.复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为 。 5.(2009 年广东卷)下列 n 的取值中,使 i ? 1 (i 是虚数单位)的是(
n



A、n=2 B、n=3 C、n=4 D、n=5 6.(2005 年湖南卷)复数 Z=i+i2+i3+i4 的值是( ) A、-1 B、0 C、1 D、i x 2 ? y 2 ? yi ? 4 ? 2i, 求 x, y 。 7..若 x,y 为实数,且 8..若 (2 x ? 3x ? 2) ? ( x ? 5 x ? 6)i ? 0 ,求 x 的值.
2 2

四.小结: 1.虚数单位 i 的引入: i ? ?1 ;
2

2.复数的有关概念: (1)复数的代数形式:Z= a + b i ( a ? R, b ? R ) ; (2)复数的实部 、虚部; (3)复数与虚数、纯虚数、实数的关系; (4)复数相等 a + b i = c ? di ? a ? c且b ? d 。 五.作业: 1.课本:P-55:1,2,3; 2.完成测评卷第一节。 六.板书设计: 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 一.数系的扩充: 1. N ? ?Z ? ? Q 2. R ? 3.引入:i, 规定: (1) i ? ?1 ;
2

5. z = a +
实部

b i ( a ? R, b ? R )
虚部

?

?

?

?

R

6. 复数的相等: a+bi=c+di ? a=c 且 b=d 7.复数的分类:
?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?

复数 Z= a + b

i

(2)加法及乘法运算满足交换律、结合 律和乘法对加法的分配率。 a+i, bi a+bi 4.形如 a + b i ( a ? R, b ? R )叫做复数, 复数集 C= ?a ? bi | a, b ? R

?


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