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2013届致远中学高三第十七周综合模拟试题


2013 届致远中学高三第十七周综合模拟试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 Q ? ?x | 2 x ? 5 x ? 0 , x ? N ? ,且 P ? Q ,则满足条件的集合 P 的个数是
2

A.3
?

B.4
? ?

C.7
? ? ? ?

D.8
? ?
?

2、已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( x ,1), u ? 2 a ? b , v ? a ? 2 b , 若 u ∥ v ,则实数 x 为(



A. ?

11 2

B.

7 2

或-2

C. 1

D.

1 2

3. 运行如右图所示的程序框图,则输出 s 的值为 (A) -2 (B) 3 (C) 4 (D) 8

4.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记 为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的 数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b| ≤ 1, 则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个 游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 1 A. 3 5 B. 9 2 C. 3 7 D. 9

5. 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两名同学至少 有 一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序 的种数为 (A) 720 6.将函数 y (B) 600 (C) 520
π 4

(D) 360 个单位,得到函数 y
? f ( x ) ? sin x

? cos 2 x

的图象向右平移

的图象,则 )

f (x)



表达式可以是 A.
f ( x ) ? ?2 cos x

( B.
f (x) ? 2 2 (sin 2 x ? c o s 2 x )

C.

f (x) ?

2 2

s in 2 x

D.

f ( x ) ? 2 c os x

7、已知函数 y
'

? f (x)

是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? ( ?∞ , 0 ) 时不等式
?3
0 .3

f ( x ) ? xf ( x ) < 0

成立, 若 a

? (3

0 .3

) ,b ? 2? (2)

,c

? lg

1 9

? (lg

1 9

)



则 a , b , c 的大小关系是( A. a
?b ?c

) C. c
> a >b

B. c

>b > a

D

a > c >b

x2 2 x2 2 8.已知椭圆m+y =1(m>1)和双曲线 n -y =1(n>0)有相同的焦点 F1、F2,P 是它 们的一个交点,则ΔF1PF2 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随 m,n 变化而变化

9. 已知函数

f (x)

是定义在 R

?2 , 0 ? x ? 2, ? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? 1 ? f ( x ? 2 ), x ? 2, ?2

| x ? 1| ? 1

则函数 g ( x )

= xf ( x ) ? 1 在 [ ? 6 , ? ? ) 上的所有零点之和为 (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 10.电子跳蚤游戏盘是如图 D11-3 所示的△ABC,AB=6,AC=7,BC =8.如果跳蚤开始是在 BC 边的 P0 处,BP0=2,跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1(第 1 次落点)处,且 CP1=CP0;第二步从 P1 跳到 AB 边的 P2(第 2 次落点)处,且 AP2=AP1;第三步从 P2 跳到 BC 边的 P3(第 3 次落点)处, 且 BP3=BP2,…,跳蚤按上述规则一直跳下去,第 n 次落点为 Pn(n 为正 整数),则点 P2011 与 P2014 间的距离为( A ) A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知甲:x≠1 且 y≠2;乙:x+y≠3,则甲是乙的_______条件. 既不也不 12. ?
1 0

?

1 ? ? x ? 1? ? x
2

2

? d x 的值是
?
6 ) ? m 在 x ? [0,

.
?
2
f (x)

13. 已知 f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ? 【1,2) 14.已知

] 上有两个不同的零点,则 m 的取值范围为

f (x)

是定义在 R 上连续的偶函数,

的图象向右平移一个单位长度又得到一个 1 ( ? 为常数) ,则称数列 { a n }
?1

奇函数,且

f ( 2 ) ? ? 1 .则 f (8) ? f (9 ) ? f (1 0 ) ? ? ? f ( 2 0 1 2 ) ?

15.在数列 { a n } 中,如果对任意的 n ? N * ,都有

an?2 a n ?1

?

a n ?1 an

? ?

为比等差数列, ? 称为比公差.现给出以下命题:①若数列 { F n } 满足 F1
Fn ? Fn ?1 ? Fn ? 2 ( n ? 3 ) ,则该数列不是比等差数列;②若数列 { a n }

, F2

?1



满足 a n

? ( n ? 1) ? 2

n ?1

,则

数列 { a n } 是比等差数列,且比公差 ?

? 2

;③等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定

是比等差数列;④若 { a n } 是等差数列, { b n } 是等比数列,则数列 { a n b n } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是_________________. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. )

16、 (本小题满分 13 分) 已知 m (1)求函数 y (2)将函数 y
1 3

??

? ?? ? ? ( 2 sin x , 2 co s x ), n ? ( 3 co s x , co s x ), ? ( x ) ? m ? n ? 1

? f (x) ? f (x)

的最小正周期和单调递增区间; 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来
?
12

的 ,把所得到的图象再向右平移 数y
? g (x)

单位,得到函数 y

? g (x)

的图象,求函

在区间[0,

?
12

]上的最大值.

17、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,首项 a 1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ? 都有 na n ? 1 ? 2 S n 。 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
4 a n ?1 a n a n?2
2 2

,且数列 ?b n ? 的前 n 项之和为 T n ,求证: T n ?

5 4



Bn=1/n2 -- 1/(n+1)2

18.一盒中装有分别标记着 1,2,3,4 的 4 个小球,每次从袋中取出一只球,设每只小球 被取出的可能性相同. (1)若每次取出的球不放回盒中,现连续取三次球,求恰好第三次取出的球的标号为最大 ... 数字的球的概率; (2)若每次取出的球放回盒中,然后再取出一只球,现连续取三次球,这三次取出的球中 ... 标号最大数字为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. (1)1/3 (2) 55/16

19.已知 F1,F2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 , ( a ? b ? 0 ) 的左、右 焦点,已知点 N ( ?

a

2

,0 )

c

满足

????? ???? ? ????? F1 F 2 ? 2 N F1 , 且 |F1 F 2 | ? 2 , 设 A , B

??? ? ??? ? N A ? ? N B 的两点。 上半椭圆上满足

(1)求此椭圆的方程; (2)若 ? ?
1 3
x
2

,求直线 AB 的斜率。

? y

2

?1

19.解:(1)椭圆的 方程是 2
1

……………………………………………5 分

(2)解得 k= 2 ………………………………………………………..12 分

20、 (本题 13 分)某仓库为了保持库存内的湿度和温度,四周墙上均装有如下图所示的自动 通风设施。该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2m,BC=0.5m。上部 CmD 是个半圆,

固定点 E 为 CD 的中点, △EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗 (阴影部分不通风) , MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行 的伸缩横杆 (MN 和 AB、 不重合) DC 。 (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 1m 时,求此时三角通风窗 EMN 的通风面积; (2)设 MN 和 AB 之间的距离为 Xm, 试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米)表示 成关于 X 的函数 S ? f ( x ) ; m M E D M A C N B A B D E C m N

(3)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通 风面积最大?并求出这 个最大面积。

21.已知函数 (Ⅰ)当 a
? ?

f ( x ) ? a x ? ln ( x ? 1) .
2

1 4

时,求函数

f (x)

的单调区间; 图象上的点都在 ?
? x ? 0, ?y ? x ? 0
n n

(Ⅱ)当 x ? [0, ? ? ) 时,函数 y 求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)求证: (1 ? 是自然对数的底数) . 22.解析: (Ⅰ)
f (x)

? f (x)

所表示的平面区域内,

2 2?3

)(1 ?

4 3?5

)(1 ?

8 5?9

) ? ? ? [1 ? (2

2
n ?1

? 1)( 2 ? 1)

]? e

(其中 n ? N * ,e

的单调递增区间为 ( ? 1,1) ,单调递减区间为 (1, ? ? ) . ····4 分 ···· ···

(Ⅱ)综上所述,实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 0 ] . (Ⅲ)据(Ⅱ)知当 a 间 ( ? 1, ? ? ) 上恒成立) 又
(2 2
n ?1 n n

? 0

时, ln ( x ? 1) ?

x

在 [0, ? ? ) 上恒成立(或另证 ln ( x ? 1) ?

x

在区

? 1)( 2 ? 1) 2 2?3 2 2?3 )(1 ?

? 2( 2 4 3?5

1
n ?1

?1

? 8

1 2 ?1
n

)


2 (2
n ?1 n n

∵ ln { (1 ?
? ln (1 ?

)(1 ?

5?9

) ? ? ? [1 ? 8 5?9

? 1)( 2 ? 1)
n ?1

]} 2
n n

) ? ln (1 ?

4 3?5

) ? ln (1 ?

) ? ? ? ln [1 ? (2

? 1)( 2 ? 1)

]

?

2 2?3

?

4 3?5

?

8 5?9

?? ? (2

2
n ?1

n n

? 1)( 2 ? 1)

? 2[(
? 2[(

1 2
1 2

?
?

1 3

)?(
1

1 3

?

1 5

)?(

1 5

?

1 9

)?? ? ( 2

1
n ?1

?1

?

1 2 ?1
n

)]

2 ?1
n

)] ? 1


8 5?9 2 (2
n ?1 n n


(1 ?

2 2?3

)(1 ?

4 3?5


]? e

)(1 ?

) ? ? ? [1 ?

? 1)( 2 ? 1)


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