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直线与平面垂直的判定及性质讲义


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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: ____________ 副校长/组长签字: 学 员 编 号 : 学 员 姓 名 :张宇轩 课 题 年 级 :高一 签字日期: 课 时 数 :2

辅 导 科 目 : 数学

学 科 教 师 :王华

直线与平面垂直的判定及性质 2014.12.13 19:00-21:00

授课日期及时段 教 学 目 的

1.树立数形结合的思想,要有图像意识 2.牢记判定定理内容

重 难 点

1.灵活运用判定定理进行相关题目的证明 2.做辅助线进行证明

【考纲说明】
1. 判定的定理必须数形结合熟练记忆,并会灵活运用,针对具体的题型选择合适的证明方法 2. 高考题中常以大题考察,一般是证明题的形式,12 分左右,要求必须会做!

【知识梳理】
1.直线与平面垂直的判定: ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若 m α , n α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥α ,则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若 α ∥β ,l⊥β ,则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若 α ⊥β ,a∩β =α ,l β ,l⊥a,则 l⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面, 则它们的交线也垂直于第三个平面, 即若 α ⊥γ ,β ⊥γ , 且 a∩β =α ,则 a⊥γ 2.两平面垂直的判定 ① 定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角 α - a-β =90° α ⊥β . ② 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若 l⊥β ,l α ,则 α ⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若 α ∥β ,α ⊥γ ,则 β ⊥γ .

1

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【经典例题】
1. 已知直线 a , b 和平面 ? ,有以下四个命题: 若 a//? , a//b ,则 b//? ; 若 a//b , b ? ? ,则 a ? ? ; 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 若 a ?? , b

? ? A ,则 a 与 b 异面;

若 a ? b , a ? ? ,则 b//? . D. 3

①若m ? l , ②若m ?? , ③ 若 m//? , 2. 已知直线 l ? 平面? , 有以下几个判断: 则 m//? ; 则 m//l ; 则m ? l ; ④ 若 m//l ,则 m ? ? .上述判断中正确的是(
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ ) D. ①②④

3. 已知两个平面垂直,下列命题

① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是( A.3 B.2 ) C.1 D.0

4. 在正方形 ABCD 中, E , F 分别是 AB 及 BC 的中点, M 是 EF 的中点,沿 DE , DF 及 EF 把 △DAE ,

△DFC , △EBF 折起使 A , B , C 三点重合,重合后的点记作 P ,那么在四面体 P ? DEF 中必有(
A. DP ? 面 PEF B. DM ? 面 PEF C. PM ? 面 DEF ) D. PF ? 面 DEF



5. 直线 a 不垂直于平面 ? ,则 ? 内与 a 垂直的直线有( A. 0 条 B. 1 条 C.无数条

D. ? 内所有直线 )

6. 已知三条直线 m , n , l ,三个平面 ? , ? , ? .下面四个命题中,正确的是(

A.

? ?? ? ? ? ? //? ? ???
m//? ? ? ? m//n n//? ?

B.

m//? ? ??l ? ? l ?m?
m??? ? ? m//n n ?? ?


C.

D.

7. 在空间四边形 ABCD 中,若 AB ? BC , AD ? CD , E 为对角线 AC 的中点,下列判断正确的是( A.平面 ABD ? 平面 BDC B.平面 ABC ? 平面 ABD C.平面 ABC ? 平面 ADC D.平面 ABC ? 平面 BED

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? , ? , ? , ? 是四个不同平面,若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ,则(
B. ? //? 或 ? //? D.这四个平面中至多有一对平面平行 )



A. ? //? 且 ? //? C.这四个平面中可能任意两个都不平行

9. 设 a , b 是异面直线,下列命题正确的是(

A.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a , b 都相交 B.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a , b 垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行

【课堂练习】
1. 设平面 ? ? 平面 ? , 且? A.可能垂直,不可能平行 C.可能垂直,也可能平行

b 不与 l 垂直, ? ?l , 直线 a ? ? , 直线 b ? ? , 且 a 不与 l 垂直, 那么 a 与 b(
B.可能平行,不可能垂直 D.不可能垂直,也不能垂直



2.已知直线 a , b 和平面 ? ,且 a ? b , a ? ? ,则 b 与 ? 的位置关系是___________. 3. ?,? 是两个不同的平面, 给出四个论断: ①m ? n ; ②? ? ? ; m,n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同的直线,

③n ? ? ; ④m ? ? .以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题
__________. 4. 设 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, P 为平面 AC 外一点且有 PA ? PC , PB ? PD ,则 PO 与平面

ABCD 的关系是_____________.
5. 设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在底面 ABC 内射影 O (在 △ ABC 内部,即过 P 作 PO ? 底面 ABC ,交于 O ) , 且到三个侧面的距离相等,则 O 是 △ ABC 的______心. 6.如图所示, AB 是圆 O 的直径, C 是异于 A , B 两点的圆周 上的任意一点, PA 垂直于圆 O 所在的平面,则 △PAB , △PAC ,

P

△ ABC , △PBC 中,直角三角形的个数是_________.

A

O

B

C

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【课后练习】
1.已知平面 ? , ? , ? 满足 ? ? ? , ? ? ? , ?

? ? l ,求证: l ? ? .

2. 如图,已知平面 ? , ? ,直线 a 满足 ? ? ? , a ? ? , a ? ? ,试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系并证明.

?
b

a

?

3. 如图所示, ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB , SC , SD 于 E , F , G. S 求证: AE ? SB,AG ? SD .

F
G

D
A

E

C

B

4

中国教育培训领军品牌 4. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 底面 ABCD , AE ? PD , EF //CD , AM ? EF . 求证: MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线.

P

E A
M

F

D

B

C

5. 如图,直角 △ ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证: SD ? 平面 ABC ; (2)若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

S

A

D

C

B
6. 如图所示,平面 ? ? 平面 ? , ?

? ? l ,在 l 上取线段 AB ? 4 , AC , BD 分别在平面 ? 和平面 ? 内,且

AC ? AB , DB ? AB , AC ? 3 , BD ? 12 ,求 CD 长.

?
C

B

A

l

?

D

5

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答 案 一 选择题 BBBAC;DDBDB 二 填空题 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 三

b // ?或b ? ?
(2) (3) (4) ? (1)或(1) (3) (4) ? (2) 垂直 内心 4 解答题

16 解:在平面 ? 内做两条相交直线分别垂直于平面 ? , ? 与平面 ? 的交线,再利用面面垂直的性质定理证直线

l ? 平面? .
17 解: 在 ? 内作垂直于 ? 与 ? 交线的直线 b , 因为 ? ? ? , 所以 b ? ? . 因为 a ? ? , 所以 a//b . 又因为 a ? ? , 所以 a//? .即直线 a 与平面 ? 平行. 18 答案:证明:∵ SA ? 平面 ABCD ,∴ SA ? BC .又 AB ? BC ,∴ BC ? 平面SAB . ∵ AE ? 平面SAB ,∴ BC ? AE ,∵ SC ? 平面AEFG ,∴ SC ? AE,AE ? 平面SBC ,∴ AE ? SB .同理

AG ? SD .
∵ PA ? 底面, ∴ PA ? AB . ∴ AB ? 面 PAD . ∴ BA ? AE . M / / C D/ / E F 19 答案: 证明: 已知 AB ? AD , 又A 且 AM ? EF .∴ AEFM 是矩形,∴ AM ? MF .
又∵ AE ? PD , AE ? CD ,∴ AE ? 平面 PCD .又 MF //AE ,∴ MF ? 平面 PCD . ∴ MF ? PC .∴ MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线. 20 答案:证明: (1)∵ SA ? SC , D 为 AC 的中点,∴ SD ? AC . 连结 BD .在 Rt△ ABC 中,则 AD ? DC ? BD .∴△ ADS ≌△BDS ,∴ SD ? BD . 又 AC BD ? D ,∴ SD ? 面 ABC . (2)∵ BA ? BC , D 为 AC 的中点,∴ BD ? AC . 又由(1)知 SD ? 面 ABC , ∴ SD ? BD .于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线.∴ BD ? 面 SAC . ,

∵ BD ? AB , ∵ AC ? AB , ∴ BD ? ? ,BD ? BC . ∴△CBD ∴ AC ? ? ,AC ? BD . 21 答案: 解: 连结 BC .
是 直 角 三 角 形 . 在 Rt△BAC 中 , BC ?

△C B D 中 , AC 2 ? AB2 ? 32 ? 42 ? 5 , 在 R t

CD ? 52 ?122 ? 13 .∴ CD 长为 13 .

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