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2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程疑难规律方法

数学 1 圆的两种方程的区别与联系 圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;而二元二次方程 x2+y2+Dx D E? 1 2 2 +Ey+F=0,当 D2+E2-4F>0 时,表示圆心为? ?- 2 ,- 2 ?,半径为 r=2 D +E -4F的 圆,叫做圆的一般方程. 二者的相同点表现在:(1)二者的实质相同,可以互相转化;标准方程展开后就是一般方程, 而一般方程经过配方后就转化为了标准方程.掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮 助的. (2)不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a、b、r 或 D、E、F)的值需要确定,因 此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于 a、b、r(或 D、E、F)的三个方程组成的 方程组,解之得到待定系数的值. 标准方程与一般方程的差别主要表现在以下两点: 1.二者确定圆的条件不同 例 1 圆心 P 在直线 y=x 上,且与直线 x+2y-1=0 相切的圆,截 y 轴所得的弦长|AB|=2, 求此圆的方程. 解 ∵圆心 P 在直线 y=x 上, ∴可设 P 的坐标为(k,k), 设圆的方程为(x-k)2+(y-k)2=r2(r>0). 作 PQ⊥AB 于 Q,连接 AP,在 Rt△APQ 中,|AQ|=1, |AP|=r,|PQ|=|k|,∴r= 1+k2. 又 r= |k+2k-1| |k+2k-1| = k2+1, 2 2 ,∴ 1 +2 12+22 1 整理得 2k2-3k-2=0,解得 k=2 或 k=- . 2 当 k=2 时,圆的半径为 r= k2+1= 5, 数学 故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5. 1 5 当 k=- 时,圆的半径为 r= k2+1= , 2 2 1 1 5 x+ ?2+?y+ ?2= . 故圆的方程为? ? 2? ? 2? 4 1?2 ? 1?2 5 因此所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5 或? ?x+2? +?y+2? =4. 例 2 已知△ABC 各顶点的坐标分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程. 分析 可利用待定系数法,设出圆的一般方程,根据所列条件求得系数,进而得到方程. 解 设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, -D+5E+F+26=0, ? ? 将 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5)代入,可得?-2D-2E+F+8=0, ? ?5D+5E+F+50=0, 解得 D=-4,E=-2,F=-20, ∴其外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0. 评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径,因此在题目条件中涉及到圆心坐标时,多选用 标准方程;而已知条件和圆心或半径都无直接关系时,一般采用圆的一般方程,再用待定系 数法求出常数 D,E,F.需要指出的是,应用待定系数法,要尽可能少设变量,从而简化计 算.另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程,通常情况下利用一般式更简单. 2.二者的应用方面不同 例 3 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y= 3 x(x≥0)相切,求这个圆的方程. 3 分析 利用“半径为 1 的圆与 y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标,这 是本题方程求解的一个突破口. 解 由题意知,圆心的横坐标及半径为 1,纵坐标大于 0,设圆心纵坐标为 b(b>0),则圆的 方程为(x-1)2+(y-b)2=1(b>0), ? 3-b? ?3 ? 3 ∵圆与射线 y= x(x≥0)相切,∴ =1, 3 ? 3?2+1 ?3? 解得 b= 3,∴圆的方程为(x-1)2+(y- 3)2=1. 评注 圆的标准方程明显带有几何的影子,圆心和半径一目了然,因此结合初中平面几何中 的垂径定理可以使问题的求解简化;而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构,更适合 方程理论的运用. 2 圆弦长的求法 数学 1.利用两点间的距离公式 若直线与圆相交的两个交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 例 1 求过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长. 解 设直线与圆相交时的两个交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线的方程为 y = 3x. ?x1=0, ?y= 3x, ? ?x2= 3, 解方程组? 2 2 得? 或? ? ?x +y -4y=0, ?y1=0 ?y2=3. ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= ?0- 3?2+?0-3?2=2 3. 评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标,再由两点间的距离公式求 解.这是一种最基本的方法,当方程组比较容易解时常用此法. 2.利用勾股定理 若弦心距为 d,圆的半径为 r,则弦长|AB|=2 r2-d2. 例 2 求直线 x+2y=0 被圆 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长|AB|. 解 把圆 x2+y2-6x-2y-15=0 化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=25, 所以其圆心坐标为(3,1),半径为 r=5. 因为圆心(3,1)到直线 x+2y=0 的距离为 d= 3.利用弦长公式 若直线 l 的斜率为 k, 与圆相交时的两个交点分别为 A(x1, y1), B(x2, y2), 则弦长|AB|= 1+k2 |x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. 例 3 求直线 2x-y-2=0 被圆(x-3)2+y2=9 所截得的弦长|AB|. ? ?2x-y-2=0, 解 设直线与圆相交时的两个交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).由? 消去 y 2 2 ??x-3? +y =9, ? |3+2×1| = 5,所以弦长|AB|=2 r2-d2=4 5. 12+22 整理得 5x2-14x+4=0

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