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江苏省连云港市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

江苏省连云港市 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试 卷(解析版)
一、填空题 1.求值: cos(?

17? )= 4



【答案】 【解析】 试 题

2 2
分 析 : 根 据 诱 导 公 式 化 简 可 得 :

2 ? 17? ? ? 17? ? ? ?? ?? ? . cos? ? ? 4? ? ? c ? ? o ?s? c ? o ? ?s ? ? cos? ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4? ?4? 2
考点三角函数求值.

3, 5, 7 的平均数是 4,则这个样本的方差是 2. 一个样本 a, 【答案】5 【解析】
3, 5, 7 的平均数是 4 可得 试题分析:由样本 a,



a ?3?5? 7 ? 4 ? a ? 1 ;所以样本的方差为 4

?2 ?

?1 ? 4?2 ? ?3 ? 4?2 ? ?5 ? 4?2 ? ?7 ? 4?2
4

?5.

考点:样本数值特征. 3.如图所示是一飞镖游戏板,大圆的直径把一组同心圆分成四等份,假设飞镖击中圆面上 每一个点都是等可能的,则飞镖落在黑色区域的概率是 .

【答案】 【解析】 试题分析:由图形可知:黑色区域所占的面积是整个面积的一半,所以飞镖落在黑色区域 的概率 P ?

1 . 2

考点几何概型. 4.某商场想通过检查发票及销售记录的 2℅快速估计每月的销售总额,现采用系统抽样, 从某本 50 张的发票存根中随机抽取 1 张,如 15 号,然后按顺序往后抽,依次为 15,65, 115?,则第五个号是 . 【答案】215 【解析】 试题分析: 采用系统抽样抽取样本首先是在第一组中随机抽取一张, 然后按照组距 50 抽出

所有样本.所以由此可得第五个号是 215. 考点:系统抽样. 5 .设 a ? sin 17? cos 45? ? cos 17? sin 45? , b ? 2 cos 2 13? ? 1 , c ? 到大的顺序排列为 【答案】 b ? a ? c 【解析】 试 题 分 析 : .

3 ,则 a , b, c 按从小 2





a ? sin 17? cos 45? ? cos 17? sin 45? ? sin 62?



b ? 2 cos2 13? ? 1 ? cos26? ? sin 64? ;

c?

3 ? sin 60? ;所以由正弦函数的单调性可得: b ? a ? c . 2


考点:比较大小. 6.如图的算法伪代码运行后,输出的 S 为

【答案】15 【解析】 试题分析: 开始 第一次循环 第二次循环 第三次循环 第四次循环 第五次循环 s=-1 s=3 s=7 s=11 s=15(输出) i=1 i=3 i=5 i=7 i=9

考点:循环结构.

7. 在一次选拔运动员中, 测得 7 名选手的身高 (单位: cm) 的茎叶图为:



记录的平均身高为 177 cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值 为 . 【答案】8 【解析】

试题分析:由茎叶图可知:7 名选手的身高分别为 170、173、170+x、178、179、180、181, 所以由此可得

170 ? 173 ? 170 ? x ? 178 ? 179 ? 180 ? 181 ? 177 ,所以 x=8. 7
考点:茎叶图. 8.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R(其中 ? ? 0,| ? |? 则

? )的图象的一部分如图所示, 2

? = ?



【答案】1 【解析】 试题分析: 由函数图像可知: 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的周期为 8, 所以 且

2?

?

?8?? ?

?
4



?
4

?1 ? ? ?

?
2

?? ?

?
4

;所以

? ? 1. ?

考点:三角函数图像的应用. 9.从某小学随机抽取 100 名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图(如图) .若要从身高在[120,130) ,[130,140) ,[140,150]三组内的学生中,用分层抽样 的 方 法 选 取 20 人 参 加 一 项 活 动 , 则 从 身 高 在 [120,130 ) 内 的 学 生 中 选 取 的 人 数 应 为 .

【答案】10 【解析】 试题分析:由频率分布直方图可得:10? ?0.005? 0.01? 0.02 ? a ? 0.035? ? 1 ? a ? 0.03;

则[120,130) ,[130,140) ,[140,150]三组人数所占的比例为 3 : 2 : 1 ,则在[120,130 ) 内选 取的人数应为 20 ?

1 ? 10 . 2 ? 6 ? 2


考点:频率分布直方图. 10.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? (0, ) ,则 f ( x) 的单调递减区间是

【答案】 ? 【解析】

?? ? ? , ?3 2? ?
? 6

试题分析:因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ;所以由

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
3

? k? ? x ?

5? ? k? , k ? Z 3

3? ? 2k? , k ? Z 可得 2

所以函数的递减区间为 ? ? k? , ? k? ?, k ? Z . 3 ?3 ? 由因为 x ? (0, ) ,所以函数的递减区间为 ? , ? . 2 ?3 2? 考点:三角函数的性质. 11.函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 2cos x 的最小值为 【答案】 ? 【解析】 试题分析:由题意可得: f ?x? ? 1 ? 2 sin x ? 2 cos x ? 2 cos x ? 2 cos x ?1,
2 2

??

5?

?

?

?? ? ?



3 2

令 t ? cos x ? ?? 1,1? 即 y ? 2t 2 ? 2t ? 1 ? 2? t ?

? ?

1 3 1? 3 ? ? ,所以当 t ? ? 时有最小值,最小值为 ? . 2 2 2? 2

2

考点:换元思想以及二次函数的性质. 12.已知圆 C 关于 y 轴对称,圆心在 x 轴上方,且经过点 A( 3,0) ,被 x 轴分成两段弧长 之比为 1 : 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 x 2 ? ? y ?1? ? 4
2



【解析】 试题分析:设 圆 心 C ?0, a ?, a ? 0 ,则 半 径 为 CA ,根 据 圆 被 x 轴 分 成 两 段 弧 长 之 比 为 1: 2,

可得圆被 x 轴截得的弦对的圆心角为

2? ? 3 ,故 有 tan ? ? 3 ,解 得 a ? 1 ,半 3 3 a
2

径 CP ? 3 ? 1 ? 2 , 故 圆 的 方 程 为 x 2 ? ? y ?1? ? 4 . 考点:圆的标准方程.

( ,?) 13.已知 ? ? ,
【答案】

? 2

1 1 ? ? ? 2 2 ,则 sin(2? ? ) ? 3 sin ? cos ?



1 2
分 析 : 由 题 意 可 得 :

【解析】 试 题

1 1 sin ? ? cos ? ? ?2 2? ? 2 2 ? sin ? ? cos ? ? 2 2 sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? 2 sin 2 2? sin ? cos ? sin ? cos ?


2? ? 1 舍 去 , 所 以 sin 2? ? ? ( ,?)所 以 s i n 因为??

? 2

1 3 , 所 以 cos 2? ? , 2 2

?? ? ? 1 ? sin? 2? ? ? ? sin 2? cos ? sin cos 2? ? . 3? 3 3 2 ?
考点:三角变换及求值. 14.如图,设 ? ? (0, ?) ,且 ? ?

? .当 ?xOy ? ? 时,定义平面坐标系 xOy 为 ? –仿射坐 2

标系,在 ? –仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: e1 , e2 分别为与 x 轴、 y 轴 正向相同的单位向量,若 OP ? xe1 ? ye2 ,则记为 OP ? ( x, y) ,那么在以下的结论中,正确 的序号有 .

①设 a ? (m, n) ,则 a ? m 2 ? n 2 ; ② a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a // b ,则 mt ? ns ? 0 ; ③ a ? (1,2) 、 b ? (2,1) ,若 a与b 的夹角为

? 2? ,则 ? ? ; 3 3

④ a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a ? b ,则 ms ? nt ? 0 . 【答案】② 、 ③ 【解析】

试题分析:对 于 ① , a ? (m, n) , a ? me1 ? ne2 ? 错误;

m2 ? n2 ? 2mncos? ,?? ?

?
2

,? ①

对 于 ② , 由 a // b ? b ? ? a ?s ? ?m, t ? ?n ?mt ? ns ? 0 , 故 ② 正 确 ; 对 于 ③ , a ? ?1,2?, b ? ?2,1? , a与b 的 夹 角 为

, 3 2? 1 1 故 e1 ? e2 ? ? , 即 cos ? ? ? , 则 ? ? ;③ 正 确 3 2 2

4 ? 5e1 ? e2 ? 5 ? 4e1 ? e2 cos

?

?

?

? , 根 据 夹 角 公 式 得 3

e ? n2 e ? s1e ? t2e ? ms ? 对于④,a? b ? m1
所以正确的是②、③. 考点:命题真假的判断及应用和向量坐标运算.

?

??

?

n t ??

mt ? ? cn o s?

?

ms ?∴ ④ nt 错误;

二、解答题 15.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个,这些球除颜色外都相 同. (1)求搅匀后从中任意摸出 1 个球,恰好是红球的概率; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,求至少有一次摸出的球是红球的概率. 【答案】 (1)

1 4

(2)

7 16

【解析】 试题分析: (1)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本 事件数,然后利用古典概型的概率计算公式计算; (2)当基本事件总数较少时,用列举法把 所有的基本事件一一列举出,要做到不重不漏,有时可借助列表,树状图列举,当基本事件 总数较多时,注意去分排列与组合; (3)注意判断是古典概型还是几何概型,基本事件前者 是有限的,后者是无限的,两者都是等可能性. 试题解析: (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共 有 4 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结

1

果只有 1 种,所以 P(A)= 4 . (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个 球,所有可能出现的结果有: (红,红) 、 (红,黄) 、 (红,蓝) 、 (红,白) 、 (黄,红) 、 (黄, 黄) 、 (黄,蓝) 、 (黄,白) 、 (蓝,红) 、 (蓝,黄) 、 (蓝,蓝) 、 (蓝,白) 、 (白,红) 、 (白, 黄) 、 (白,蓝) 、 (白,白) ,共有 16 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“至 少有一次是红球”(记为事件 B)的结果只有 7 种,所以 P(B)= 考点:利用古典概型求随机事件的概率.

7 . 16

b, c 在同一平面内,且 a ? (?1, 2) . 16.已知 a,
(1)若 c ? (m ? 1,3m) ,且 c // a ,求 m 的值;

(2)若 | a ? b |? 3 ,且 (a ? 2b) ? (2a ? b) ,求向量 a ? b 与 b 的夹角. 【答案】 (1) m ? 【解析】 试题分析: ( 1 )当向量 a 与 b 是坐标形式给出时,若由向量平行解决问题则只需证明 (2)若应用垂直,则只需证明 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ; (2)当 a, b 是非坐 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; 标形式时,要把 a, b 用已知的不共线的向量作为基底表示且不共线的向量要知道其模与夹 角,从而进行求解; (3)利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问 题常用的方法与技巧. 试题解析: (1)由 c // a ,得: 2(m ? 1) ? 3m ? 0 ,则 m ? 因为 a ? (?1, 2) ,所以 | a |? 5 由 a ? 2b ? 2a ? b ,得: a ? 2b ? 2a ? b ? 0

2 3? ; (2) ; 5 4

2 5

?

? ?

?

?

??

?

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 , 10 ? 3a ? b ? 2b ? 0
由 | a ? b |? 3 ,得 a ? 2a ? b ? b ? 9 ,即 ?2a ? b ? b ? 4 , 解之得, a ? b ? 2 , b ? 8 . 设 a ? b 与 b 的夹角为 ? .
2

2

2

2

2

2

2

( a ? b) ? b a ? b ? b 2?8 2 3? ? ? ?? 则 cos ? ? , 又 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? . 4 2 | a ? b || b | 3 ? 2 2 3 ? 2 2

2

a ? b 与 b 的夹角为

3? . 4

考点: (1)平面向量共线; (2)平面向量垂直. 17.设函数 f ( x) ? 2sin ? x sin(? x ? ) ? k (? ? 0 , k 为常数 ) .

? 3

? ,求 ? 的取值范围; 2 1 ? ? 3 (2) 若 f ( x ) 的最小正周期为 ? , 且当 x ? [ ? , ] 时, f ( x ) 的最大值是 , 又 f (? ) ? , 2 6 6 5 ? 求 f ( ? ? ) 的值. 2
(1)若 f ( x ) 的图象中相邻两对称轴之间的距离不小于 【答案】 (1) 0 ? ? ? 1 ; ( 2)

3? 4 3 3?4 3 或 10 10

【解析】 试题分析: (1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简,得到 y ? A sin ??x ? ? ? 的形式,利 用公式

T?

2?

?

计算周期,进而求出 ? 的取值范围; ( 2 )求三角函数的最小正周期一般化成

y ? A sin??x ? ? ? , y ? A cos??x ? ? ? , y ? A tan??x ? ? ? 形式,利用周期公式即可.求
解较复杂三角函数的最值时,首先化成 y ? A sin ??x ? ? ? 形式,在求最大值或最小值; (3) 三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函 数值,然后根据角的范围求出相应角三角函数值,代入展开即可,注意角的范围.
1 3 cos ? x) ? k ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? k 试题解析: (1) f ( x) ? 2sin ? x( sin ? x ? 2 2

=

3 1 ? cos 2?x sin 2?x ? ?k 2 2

= sin( 2?x ?

?

6 T ? 由题意知 ? ,得 ? 的取值范围为 0 ? ? ? 1 2 2
(2)若 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,得 ? =1

)?k ?

1 2

f ( x) = sin( 2 x ?

?
6

)?k ?

1 ? ? ?? ,有 f ( x ) 在区间 ?? , ? 上为增函数,所以 f ( x ) 的最大值为 2 ? 6 6?

? 1 1 f ( ) ? 1 ? k ? ,则 k ? ? , 6 2 2 ? 3 ? 4 所以 f (? ) = sin( 2? ? ) ? ,所以 cos( 2? ? ) ? ? 6 5 6 5 ? ? ? ? f ( ? ? ) ? sin( 2? ? ) ? sin( 2? ? ? ) 2 6 6 3
=

1 ? 3 ? 3? 4 3 3?4 3 sin( 2? ? ) + 或 cos(2? ? ) = 2 6 2 6 10 10

考点: (1)三角函数周期的应用; (2)三角函数的化简和求值. 18.如图,两块直角三角板拼在一起,已知 ?ABC ? 45 , ?BCD ? 60 .

(1)若记 AB ? a , AC ? b ,试用 a , b 表示向量 AD 、 CD ; (2)若 AB ? 2 ,求 AE ? CD . 【答案】 (1) AD ? a ? 3b , CD ? a ? ( 3 ?1)b ; (2) 【解析】 试题分析: (1)首先明确那组向量是基底向量,然后根据向量的运算法则把向量 AD 、 CD 表示成基底的形式即为 AD ? a ? 3b , CD ? a ? ( 3 ?1)b ; ( 2 ) 求两个向量的数量 积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.主体应用时可根 据已知条件的特征选择,同时要注意数量积的运算律. 试题解析: (1) CB ? a ? b , BD ? 3b , 则 AD ? a? 3 b ,

3 3 ?1 . 2

CD ? a ? ( 3 ?1)b
(2)由题知

AE 3 ?1 AC AE 3 ,所以 , ? ? ? AD 2 BD ED 3 3 ?1 AD 2 3 ?1 3 ?1 3 3 ?1 . (a ? 3b)(a ? ( 3 ? 1)b) ? (4 ? 3) ? 2 2 2

所以 AE ?

AE ? CD ?

考点:向量的表示及数量积运算. 19.如图, C , D 是两个小区的所在地, C , D 到一条公路 AB 的垂直距离 CA ? 1 km , DB ? 2 km, AB 两端之间的距离为 4km.某公交公司将在 AB 之间找一点 N ,在 N 处建造 一个公交站台.

(1)设 AN ? x ,试写出用 x 表示 ?CND 正切的函数关系式,并给出 x 的范围; (2)能否找到一点 N ,使点 N 到 C,D 两小区的距离之和( NC ? ND )最小.若能,请 说明理由,并求出 x 的值;若不能,也请说明理由. 【答案】 (1)tan ?CND ?

4? x ( 0 ? x ? 4, 且 x ? 2? 2 , x2 ? ? 2 x ? 4x ? 2
2

) (2)x ?

1 4

【解析】 试题分析:解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并

引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后利用函数性质求解; (2)在求所列函数的最 值时,可用几何法作出辅助线; (3)若用基本不等式,则应将“和式”转化为“积式”和将 “积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数的大小或证明不等式,解决问题的关 键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 试题解析: (1)由题知,令 ?CNA ? ? , ?BND ? ? , 则 tan ?CNA ?

1 2 , tan ?BND ? , x 4? x

所以 tan?CND ? tan( ? ? ? ? ? ) ? ? tan( ? ? ?) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

=

4? x ( 0 ? x ? 4,且 x ? 2 ? 2, x ? 2 ? 2 ) x ? 4x ? 2
2

(2)过点 C 作直线 AB 的对称点 M,连结 DM,交 AB 于点 N,则点 N 即为所求的点. 在 AB 上任取一不同于点 N 的点 P,边结 CP,DP, 则 PC ? PD ? PM ? PD ? DM ,所以在点 N 处 NC ? ND 的值最小.

如图设 AN= x ,此时 ?CND ? ?CNA ,

1 4? x = , x ? 4x ? 2 x 1 所以 x ? . 4

2

考点:函数定义、性质的应用. 20.如图,在直角坐标系 xOy 中,圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴负半轴交于点 A ,过点 A 的直
2 2

线 AM , AN 分别与圆 O 交于 M , N 两点.

(1)若 k AM ? 2 , k AN ? ?

1 ,求△ AMN 的面积; 2

(2)过点 P(3 3, ?5) 作圆 O 的两条切线,切点分别为 E,F,求 PE ? PF ; (3)若 k AM ? kAN ? ?2 ,求证:直线 MN 过定点. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析:( 1 ) 直 线 AM 的 方 程 为 y ? 2 x ? 4 , 直 线 AN 的 方 程 为 y ? ? 中 位 线 定 理 知 , AN ?

16 528 ; (2) ; (3)见解析 5 13

1 x ?1 , 由 2

8 5 , 由 此 能 求 出 ?AMN 的 面 积 . ( 2 ) 由 已 知 条 件 推 导 5

出 cos?OPE ?

11 4 3 2 3 2 , cos ?FPE ? 2 cos ?OPE ? 1 ? ,由此能求出 ? 13 2 13 13
2 ?x ? 2? , k

P F? P . E ( 3) 设 直 线 AM 的 方 程 y ? k ?x ? 2? , 则 直 线 AN 的 方 程 为 y ? ?
联立方程 ?

? y ? k ? x ? 2?

,得 M ? 2 2 ? 1? k 2 , 1? k 2 ? ?同 理 M ? ? 4? k2 , 4? k2 ? ? ,由 此 能 证 x ? y ? 4 ? ? ? ? ?

? 2 ? 2k 2

4k ?

? 2k 2 ? 8 ? 8k ?

明 直 线 MN 过 定 点 ? ?

? 2 ? ,0 ? . ? 3 ?
1 x ?1 2

试题解析: (1)由题知,得直线 AM 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,直线 AN 的方程为 y ? ? 所以,圆心到直线 AM 的距离 d ?

4 5

,所以, AM ? 2 4 ?

16 4 5 ? ,由中位线定理 5 5

知, AN=

1 4 5 8 5 16 8 5 , 由题知 k AM ? k AN ? ?1,所以 AN ⊥ AM , S ? ? = . ? 2 5 5 5 5

(2) | PE |= (3 3)2 ? (?5)2 ? 4 ? 4 3 , PO ? (3 3)2 ? (?5)2 ? 2 13 , 所以 cos ?OPE ?
4 3 2 13 ? 2 3 13

.

所以 cos ?FPE ? 2cos 2 ?OPE ? 1 ? 2(

2 3 13

)2 ? 1 ?

11 , 13

所以 PE ? PF ? | PE || PF | cos ?EPF ? (4 3)2 ?

11 528 ? 13 13

(3)由题知直线 AM 和直线 AN 的斜率都存在,且都不为 0,不妨设直线 AM 的的方程

? y ? k ( x ? 2) 2 y ? k ( x ? 2) ,则直线 AN 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,所以, 联立方程 ? 2 , 所以, 2 k ?x ? y ? 4

( x ? 2)[(1 ? k ) x ? 2k ? 2] ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ?
2 2

2 ? 2k 2 , 1? k 2

所以 M (

2 ? 2k 2 4k , ), 1? k 2 1? k 2
2 3

同理, N (

2k 2 ? 8 ? 8k , ), 4? k2 4? k2

因为 x 轴上存在一点 D (? , 0) ,

所以, k DM

? 4k 2 ? 4k ?k ?k ? 2 = ,同理 k DN ? 2 , ? 1? k 2 2 4k ? 8 k ? 2 k ?2 2 ? 2k ?6 1? k 2
2 3

所以, k DN = k DM ,所以,直线 MN 过定点 (? , 0) . 考点:直线与圆锥曲线的综合问题.


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