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3.1.5空间向量运算的坐标表示_图文

3.1.5空间向量运算的 坐标表示

一.复习回顾

1.空间向量的基本定理:
若是{a, b, c} 空间的一个基底, p 是空间任意一向量,存在 唯一的实数组使. p

? xa ? yb ? zc

2.平面向量的坐标表示及运算律:
(1)若 p ? xi ? y j (i, j分别是x, y轴上同方向的两个单位向量) 则p 的坐标为( x, y)

(2)若a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 )

则 a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 ), a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 ) ? a ? (?a1, ?a2 )(? ? R), a ? b ? a1b1 ? a2b2 a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 (? ? R), a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0
(3)若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )则AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )

2.空间直角坐标系中的坐标: 如图给定空间直角坐标系和向量 a ,
设 i , j , k为坐标向量,则存在唯一的 有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) , 使 a ? a1 i ? a2 j ? a3 k , 有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 叫作向量 a 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标, 记作 a ? (a1 , a2 , a3 ) . 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对 空间任一点 A,存在唯一的有序实数 组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? y j ? zk , 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量OA 在 空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标, 记作 A( x, y, z ), 叫横坐标, 叫 纵坐标, 叫竖坐标.

z

x

y

新课

一、向量的直角坐标运算

设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则 a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;
a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ;
a // b ? a ? ? b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ;

a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

二、距离与夹角
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

| a | ? a ? a ? a ? a2 ? a3
2 2 1 2

2

| b | ? b ? b ? b ? b2 ? b3
2 2 1 2

2

注意:此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

AB ? ?| AB |?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) AB AB ? 2 1 2 1 2 1

d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b ? ; cos ? a , b ?? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32
注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?

三、应用举例 例1.已知 a ? (2, ?3,5), b ? ( ?3,1, ?4)

求a ? b, a ? b,| a |,8a, a ? b
解:

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9)
| a |? 22 ? (?3) 2 ? 52 ? 38

8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40)

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? 2 ? (?3) ? (?3) ?1? 5? (?4) ? ?29
课堂练习:97页练习1

三、应用举例
例2 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ,求:
M

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; A 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则
1 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB) ? ? (3 , 3 ,1) ? 1, 0 , 5 ? ? ? ?? ? 2 , , 3 ? , ? 2 2 ? 2 ? O

B

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )的中点坐 标为( x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 2 2 2

d A, B ? (1 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 .

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满

足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例1

' ' ' ' 已知ABC D? A B C D 是棱长为2的立方体 ' E、F分别是BB 和DC的中点,建立如图 所示的空间直角坐标系,试写出图中各点 z 的坐标。
D’ A’ F A B’ E
·

C’

D B

C

y

x

变式:在直三棱柱ABO-A’B’O’中,∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点,如图 建立直角坐标系,则 DO的坐标是 ______;
z

O’ A’ O
A D

A' B的坐标是 _____.
B’

B

y

x

例3

B1 E1 ? 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

z

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

D1 A1

F1

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . 4 ? ? D y C O 1 ? ? 3 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ? A B 15 x ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 15 17 17 ? cos ? BE , DF ?? BE1 DF1 ? 16 ? . | BE1 |? , | DF1 |? . 1 1 | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

E , F 分别是 BB1 , D1 B1 例 3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 , 1) 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

例4. 在正方体ABCD ? A 中E, F分别是BB1 , CD的中点, 1B 1C1D 1

求证D1F ? 平面ADE

证明:不妨设已知正方体的棱长为1个单 位长度,设 DA ? i, DC ? j, DD1 ? k 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直 角坐标系 D ? xyz 则

D(0,0,0), A(1,0,0), D1 (0,0,1) 1 1 F (0, , 0), E (1,1, ) 2 2 1 AD ? (0,0,0) ? (1,0,0) ? (?1,0,0), D1F ? (0, , ?1) 2 1 AD ? D1 F ? (?1, 0, 0) ? (0, , ?1) ? 0 ? D1F ? AD 2 1 1 1 1 1 又 AE ? (0,1, ) AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? ? ? 0 2 2 2 2 2 ? D1F ? AE 又 AD AE ? A ? D1F ? 平面ADE

小结

一、向量的直角坐标运算
a ?b ? ;

设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则

a ?b ?

;

?a ?
a?b ?
a // b ?

;

;
;

a ?b?

;

二、距离与夹角
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

| a | ? a ? a ? a ? a2 ? a3
2 2 1 2

2

| b | ? b ? b ? b ? b2 ? b3
2 2 1 2

2

注意:此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 、

,则

AB ? ?| AB |? AB AB ?

2.两个向量夹角公式

注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?


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