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线面垂直、面面垂直的性质定理


2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质

温故知新 直线与平面垂直定义: 如果直线 l 与平面 ? 内 的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 互相垂直。 直线与平面垂直判定定理: 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直,则该 直线与此平面垂直.

线面垂直则线线垂直.

线线垂直则线面垂直.

(1)长方体ABCD ? A' B 'C ' D '中, 棱AA' , BB ' , CC , DD 所在直线与平面ABCD的位置关
' '

系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'

C'
B'

A'
D A

C B

(2)如图, a ? ? , b ? ? , 那么直线a, b一定 平行吗?
a b

α

线面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言: a

? ? , b ? ? ? a / /b
线线平行

简述: 线面垂直

1.已知:a⊥α,b⊥α 求证:a//b ’ 记直线b b b 证明:假设 a与b不平行. a
α o

反证法

和α的交点为o,则可过o作 b’∥a ∵a⊥α, ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α,这是不可能的, ∴a∥b.

温故知新
面面垂直的判定方法: 1、定义法: 找二面角的平面角 2、判定定理: 要证两平面垂直,只要在其中一个平面 内找到另一个平面的一条垂线。

说明该平面角是直角。

(线面垂直?面面垂直)

知识探究:

思考1:如果平面α 与平面β 互相垂直, 直线l在平面α 内,那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α l β β β

平行

相交

线在面内

知识探究:

思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?
α

β

平面与平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a

符号语言:

l
α A

作用: 面面垂直?线面垂直

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? ? a ?? a?? ? ? a?l ?

何时用:已知面面垂直时. 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.

推论:两个平面垂直,过其中一个平面 内一点作另一个平面的垂线,这条垂线在 这个平面内.
α P α

A

l
A

β

l
P

β

? ? ? , P ? ? , PA ? ?

PA ? ?

(3)过一点有多少条直线与已知平面 垂直? 只有一条.
P

β
a

解:无论P在α内或α外,设PA⊥α.

α

A B

A

B
P

β
a

α

若另有直线 PB⊥α, 记PA、 PB确定的平面为β,且α∩β= a, 则,在平面β内过点P有两条直 线同垂直于直线a,这是不可能 的。

∴过点P与α垂直的直线只有一条。

例1:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明:∵ AB是⊙O的直径, P C是圆周上不同于A,B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, A BC?平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC ?平面PBC ,∴平面PBC⊥平面PAC

B

例2:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB B

C

例3 ? ? ? , a ? ? , a ? ? , 判断a与? 位置关系
证明:设

? ?? ?l
b

α

a // ?
a

在α内作直线b⊥l
β ? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? ?b?? ? b ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? ? ?

l

线面垂直 性质

b?l

? ?

面面垂直性质

b ? ? ? ? a // ? ? a ???

已知平面α,β,直线a,且 α⊥β,α∩β=AB,a//α,a⊥AB,试判 断直线a与平面β的位置关系.
α b B γ a β

解:过直线a作平面γ,与平面α相 交,设交线为b, ∵a∥α ∴a // b(线面平行的性质) ∴b⊥AB ∵a⊥AB,

A

∵α⊥β,α∩β=AB,

b ??

辅助线(面): ∴b⊥β(面面垂直的性质) ∴a⊥β.

课堂小结

从已知想性质,从求证想判定 1、证题原则: 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行

注意辅助线的作用

空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直

作业: 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面, 另一条直角边AC与桌面所在的平面 ? 垂直,a是 ?内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与 a垂直? 课本p73 A组2,5 B组4 课时作业

复习第二章知识点


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