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016-金陵中学2014届高三第一次仿真测试 数学 Word版含答案


金陵中学 2014 届高三第一次仿真测试 数学Ⅰ
参考公式:

2014.5

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. (1)样本数据 x1 , x 2 ,…, x n 的方差 s 2 ? 1 ? ( xi ? x ) 2 ,其中 x ? 1 ? xi . n i ?1 n i ?1 (2)函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? 的导函数 f ?( x) ? ? ? cos ?? x ? ? ? ,其中 ?, ? 都是常数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x2 ? 1 的离心率为 2. 若复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? ?3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则 z = ▲ ▲ . . a ?1 b ?2 c ?3 c ?a a ?b b ?c Print a,b
(第 3 题)
n n

3. 在右图的算法中,最后输出的 a,b 的值依次是 ▲ . 4. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差为 ▲ . 5. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x2 ? x ? 2≥0,x ? Z ,则 ?U A ? 举法表示) 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2

?

?



.(用列



.

7. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 ▲ . 设 P 是函数 y ? x ? x ? 1? 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角 ▲ .
2 2

8.

为 ? ,则 ? 的取值范围是

9. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数 y ? log

x , y ? x2 , y ?

1

? ?的
2 2
x

图象上, 且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2, 则点 D 的坐标为
1



.

y 10.观察下列等式:
13 ? 1 ,

13 ? 23 ? 9 ,
13 ? 23 ? 33 ? 3, 6 3 3 3 3 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 1, 00 ……

2 A 1 O
3

B

D

1
(第 9 题)

C

x

猜想: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?
3 3 3



( n ? N ).
*

11.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形 B1 BCC1 的中心 . 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形 中,面积的最大值为 ▲ . ▲ . y B

12.若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小值为 ? ? 2? ? 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆

x ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭 a 2 b2 圆的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D .
2

2

若 cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25



.

F1

O

F2 D

x

14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成 公差为 d(d > 0)的等差数列,后三项依次成公比为 q 的 等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ▲

C . (第 13 题)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2sin A cos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C

16.(本小题满分 14 分) 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD .求证: D1 (1) AA1 ? BD ; A1 (2) BB1 // DD1 . B1 D
2

C1

C B
(第 16 题)

A

17.(本小题满分 14 分) 将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种 植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用 5 时 1 小时.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍 为 2 小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者 5 3 加入 B 组继续种植,求植树活动所持续的时间. 高 考 资 源 网

18.(本小题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , 圆 C2 :
( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 .
0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 (1)若过点 C1 (?1,

y

6 ,求直线 l 的方程; 5

.C

2

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的 坐标;若不经过,请说明理由.
C1

.

O

x

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? sin x . (1)设 P,Q 是函数 f ( x) 图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f ( x)≥ax cos x 在 ?0,π ? 上恒成立. ? 2? 20. (本小题满分 16 分) 设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* , 存在 k ? N* , 使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立, 则称数列{ a n }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2 n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数列.
3

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 . . 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图, AB 是半圆 O 的直径, 延长 AB 到 C, 使 BC ? 3 , CD 切半圆 O 于点 D, DE⊥AB, 垂足为 E.若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长. D

B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)

A

· O

E

B

C

(第 21-A 题)

?0 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx 在矩阵 ? ? 对应的变换下得到的直线过点 ?1 0 ?
P(4, 1) ,求实数 k 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

在极坐标系中,已知圆 ? ? a sin ? ( a ? 0 )与直线 ? cos ? ? ? ? 1相切,求实数 a 的值. ?

?

?

D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 已知正数 a , b , c 满足 abc ? 1 ,求证: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2)≥27 . 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 2an 已知数列{ a n }满足: a1 ? 1 , an?1 ? (n ? N* ) . 2 an ? 1 (1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立.

4

23. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线 在 x 轴上 方的不同两点 A 、B 作抛物线的切线 AC 、BD ,与 x 轴分别交于 C 、D 两点,且 AC 与 BD 交于 点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . y (1)求抛物线的标准方程; A (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , M 求证:直线 AB 过定点. B N C D OF x

(第 23 题)

5

数学Ⅰ参考答案及评分建议
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共 70 分. 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x2 ? 1 的离心率为 答案: 2 2. 若复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? ?3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则 z = ▲ . a ?1 b ?2 c ?3 c ?a a ?b b ?c



.

答案:1 + 2i 3. 在右图的算法中,最后输出的 a,b 的值依次是 ▲ . 答案:2,1 Print a,b 4. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差为 (第 3 题) ▲ . 答案:0.02 5. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x2 ? x ? 2≥0,x ? Z ,则 ?U A ? ▲ (用列举法表示).

?

?

答案:{0,1} 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? ▲ . 2 答案:0 7. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 ▲ . 答案: 2 9 8. 设 P 是函数 y ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点, 且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是 ▲ . y π π ? 答案: , ? ?3 2 B 2 A 9. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数

?

y ? log

2 2

x , y ? x2 , y ?

1

? ? 的图象上,且矩形
2 2
x

1 O D 1
(第 9 题)

的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 点 D 的坐标为 ▲ . 答案: 1 ,1 2 4 10.观察下列等式:

C

x

? ?

13 ? 1 ,

13 ? 23 ? 9 ,
13 ? 23 ? 33 ? 3, 6 3 3 3 3 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 1, 00 ……

猜想: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? ? ? n3 ?
? n(n ? 1) ? 答案: ? ? 2 ? ?
2



( n ? N* ).

11.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形 B1 BCC1 的中心. 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形
6

中,面积的最大值为 答案:12



. ▲ . y B

12.若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小值为 ? ? 2? ? 答案: 1 ? 2 π 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆

x2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭圆 a 2 b2 的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D . 若
cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25

2

F1

O

F2 D

x



. C
(第 13 题)

答案: 12 25

14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ . 答案:

,8 ?5 3 7?

二、解答题 15.本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知 识,考查运算求解能力.满分 14 分. 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2sin A cos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C 解: (1)由正弦定理,得 sin A ? a . sin B b 从而 2sin A cos C ? sin B 可化为 2a cos C ? b .……………………………3 分
2 2 2 由余弦定理,得 2a ? a ? b ? c ? b . 2ab

整理得 a ? c ,即 a ? 1 . …………………………………………………………7 c 分 (2)在斜三角形 ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin(2 A ? B) ? 3sin B 可化为 sin ? ?? ? ? A ? C ?? ? ? 3sin ? ?? ? ? A ? C ?? ?, 即 ? sin ? A ? C ? ? 3sin ? A ? C ? .…………………………………………10 分 故 ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3(sin A cos C ? cos A sin C ) . 整理,得 4sin A cos C ? ?2 cos A sin C , …………………………………12 分 因为△ABC 是斜三角形,所以 sinAcosAcosC ? 0 ,
7

所以 tan A ? ? 1 .…………………………………………………………14 分 tan C 2 16.本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能 力.满分 14 分. 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD .求证: D1 (1) AA1 ? BD ; (2) BB1 // DD1 . 证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1M , 因为 A1 D ? A1B , AD ? AB , A 所以 BD ? AM , BD ? A1M .…………………3 分 又 AM 而 AA1 ? 平面 A1 AM , 所以 AA1 ? BD .………………………………7 分 (2)因为 AA1 // CC1 ,
AA1 ? 平面 D1DCC1 , CC1 ? 平面 D1DCC1 ,

A1 B1 D

C1

M B
(第 16 题)

C

A1M ? M , AM 、A1M ? 平面 A1 AM ,所以 BD ? 平面 A1 AM .

所以 AA1 // 平面 D1DCC1 .………………………9 分 又 AA1 ? 平面 A1 ADD1 ,平面 A1 ADD1 所以 AA1 // DD1 .同理得 AA1 // BB1 , 所以 BB1 // DD1 .……………………………………14 分 17.本题主要考查函数的概念、最值等基础知识,考查数学建模、数学阅读、运算求解及解 决实际问题的能力.满分 14 分. 将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗, B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用 5 时 1 小时.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍 为 2 小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者 5 3 加入 B 组继续种植,求植树活动所持续的时间. 解: (1)设 A 组人数为 x ,且 0 ? x ? 52 , x ? N* , 则 A 组活动所需时间 f ( x) ? 平面 D1 DCC1 ? DD1 ………11 分

150 ? 2 5 ? 60 ;…………………2 分 x x

200 ? 1 2 ? 100 .…………………4 分 B 组活动所需时间 g ( x) ? 52 ? x 52 ? x
令 f ( x) ? g ( x) ,即 60 ? 100 ,解得 x ? 39 . 2 x 52 ? x
8

所以两组同时开始的植树活动所需时间
? 60 , x≤19,x ? N*, ?x F ( x) ? ? ? 100 ,x≥20,x ? N* . ? 52 ? x

……………………………………6 分

而 F (19) ? 60 , F (20) ? 25 , 故 F (19) ? F (20) . 19 8
32 时,使植树活动持续时间最短.……8 分 所以当 A、B 两组人数分别为 20,

150 ? 2 ? 20 ?1 5 (2)A 组所需时间为 1+ ,……………10 分 ? 3 6 (小时) 20 ? 6 7 200 ? 2 ? 32 ? 1 3 B 组所需时间为 1 ? , ……………12 分 ? 3 2 (小时) 32 ? 6 3
所以植树活动所持续的时间为 3 6 小时. …………………………14 分 7 18.本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础 y 知识,考 l1 查运算求解、分析探究及推理论证的能力.满分 16 分. l2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, C2 已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 .
0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 (1)若过点 C1 (?1,
C

C1

O



x

6 ,求直线 l 的方程; 5

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的 坐标;若不经过,请说明理由. 解: (1)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 因为直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1, 5
4) 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 所以圆心 C2 (3,

(第 18 题)

4k ? 4
2

? 4 .…………3 分 k ?1 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .……………………6 分
y ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 , (2)①证明:设圆心 C ( x,

即 ( x ? 1)2 ? y2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 .
9

化简得 x ? y ? 3 ? 0 , 即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动.…………………10 分 3 ? m) , ②圆 C 过定点,设 C (m, 则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 于是动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 整理,得 x2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 ………………………14 分
? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 3 x ? y ? 6 y ? 2 ? 0 , ? ? y ?2? 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? 2 ? 2

所以定点的坐标为 1 ? 3 2, 2 ? 3 2 , 1 ? 3 2, 2 ? 3 2 …………16 分 2 2 2 2 19.本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运算数形结合、分类讨论 的思想方 法进行探究、分析与解决问题的能力.满分 16 分. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x . (1)设 P,Q 是函数 f ( x) 图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f ( x)≥ax cos x 在 ?0,π ? 上恒成立. ? 2? 解: (1)由题意,得 f ?( x) ? 1 ? cos x≥0 . 所以函数 f ( x) ? x ? sin x 在 R 上单调递增.
y2 ) ,则有 y1 ) , Q( x2, 设 P( x1,

?

? ?

?

y1 ? y2 ? 0 ,即 kPQ ? 0 . ……………6 分 x1 ? x2

(2)当 a≤0 时, f ( x) ? x ? sin x≥0≥ax cos x 恒成立.………………8 分 当 a ? 0 时,令 g ( x) ? f ( x) ? ax cos x ? x ? sin x ? ax cos x , g' ( x) ? 1 ? cos x ? a(cos x ? x sin x)
? 1 ? (1 ? a) cos x ? ax sin x .

①当 1 ? a≥0 ,即 0 ? a≤1 时, g' ( x) ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 g ( x)≥g (0) ? 0 ? sin 0 ? a ? 0 ? cos0 ? 0 ,符合题意. …………10 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,令 h( x) ? g' ( x) ? 1 ? (1 ? a)cos x ? ax sin x , 于是 h' ( x) ? (2a ? 1)sin x ? ax cos x . 因为 a ? 1 ,所以 2a ? 1 ? 0 ,从而 h' ( x)≥0 . 所以 h( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 h(0)≤h( x)≤h π ,即 2 ? a≤h( x)≤ π a ? 1 , 2 2

??

10

亦即 2 ? a≤g' ( x)≤ π a ? 1 .……………………………………12 分 2 (i)当 2 ? a≥0 ,即 1 ? a≤2 时, g' ( x)≥0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数.于是 g ( x)≥g (0) ? 0 ,符合题意.…14 ? 2? 分 (ii)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,存在 x0 ? 0,π ,使得 2
x0 ) 时,有 g' ( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在 (0,x0 ) 上为单调减函数, 当 x ? (0,

? ?

从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围为 a≤2 .……………………16 分 20.本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及 推理论证的能力.满分 16 分. 设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* , 存在 k ? N* , 使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立, 则称数列{ a n }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2 n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数列.

解: (1)由题意,得 a 2 , a 4 , a 6 , a8 ,…成等比数列,且公比 q ? 所以 a2n ? a2 qn?1 ? 1 2

? ?
a8 a2

1 3

?1, 2

??

n?4

. ……………………………4 分

(2)证明:由{ a n }是“ J 4 型”数列,得
a1 , a 5 , a 9 , a13 , a17 , a21 ,…成等比数列,设公比为 t . ……………6 分

由{ a n }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a 4 , a 7 , a10 , a13 ,…成等比数列,设公比为 ? 1 ; a 2 , a 5 , a8 , a11 , a14 ,…成等比数列,设公比为 ? 2 ; a 3 , a 6 , a 9 , a12 , a15 ,…成等比数列,设公比为 ?3 ;



a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ?24 ? t 3 , 21 ? ?34 ? t 3 . a1 a5 a9
4

所以 ?1 ? ?2 ? ?3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ,且 t ? ? 3 . ……………12 分

11

于是 a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3 k ?2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1 ? a1

? ??
3 3

(3k ?1) ?1



k ?1 3

? ??

3k ?1



所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

,故{ a n }为等比数列.………………………16 分

数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议
21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 本小题主要考查圆的几何性质等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 如图, AB 是半圆 O 的直径, 延长 AB 到 C, 使 BC ? 3 , CD 切半圆 O 于点 D, DE⊥AB, 垂足 为 E.若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长. 解:连接 AD、DO、DB. 由 AE∶EB ? 3∶1,得 DO ∶ OE ? 2∶1. 又 DE⊥AB,所以 ?DOE ? 60 . 故△ ODB 为正三角形.……………………………5 分 于是 ?DAC ? 30 ? ?BDC . 而 ?ABD ? 60 ,故 ?C ? 30 ? ?BDC . 所以 DB ? BC ? 3 . 在△ OBD 中, DE ? 3 DB ? 3 .…………………………………10 分 2 2 B.选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分.
?0 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx 在矩阵 ? ? 对应的变换下得到的直线过点 ?1 0 ?
P(4, 1) ,

D

A

· O

E

B

C

(第 21-A 题)

求实数 k 的值.
? x ? ? x? ? ? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? x? ? y, ? ? ? ,即 ? 解:设变换 T: ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ……………5 分 ? ? ? ? y ? ? y ?? ? y ? ? ?1 0 ? ? y ? ? x ? ? y? ? x.

代入直线 y ? kx ,得 x? ? ky ? . 1) 代入上式,得 k ? 4.…………………………10 分 将点 P(4, C.选修 4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分.
12

在极坐标系中,已知圆 ? ? a sin ? ( a ? 0 )与直线 ? cos ? ? ? ? 1相切,求实数 a 的值. ? 解:将圆 ? ? a sin ? 化成普通方程为 x2 ? y 2 ? ay ,整理,得 x2 ? y ? a 2

?

?

将直线 ? cos ? ? ? ? 1化成普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ……………………6 分 ?
?a ? 2 2 ? a .解得 a ? 4 ? 2 2 .…………………………… 10 分 由题意,得 2 2

?

?

? ? ? a4 .
2 2

D.选修 4—5:不等式选讲 本小题主要考查均值不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 已知正数 a , b , c 满足 abc ? 1 ,求证: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2)≥27 . 证明: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2) ? (a ? 1 ? 1)(b ? 1 ? 1)(c ? 1 ? 1)
≥3 ? 3 a ? 3 ? 3 b ? 3 ? 3 c ? 27 ? 3 abc
? 27 (当且仅当 a ? b ? c ? 1 时等号成立). …………………………10 分

…………………………………………4分

22. 【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识,考查运算求解、分析探究及推理论证 的能力.满分 10 分. 2an 已知数列{ a n }满足: a1 ? 1 , an?1 ? (n ? N* ) . 2 an ? 1 (1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立.
a ? 4 . …………………………………2 分 (1)解:由题意,得 a2 ? 2 , 3 3 5

(2)证明:①当 n ? 1 时,由(1) ,知 0 ? a1 ? a2 ,不等式成立.………………4 分 ②设当 n ? k (k ? N* ) 时, 0 ? ak ? ak ?1 成立,………………………6 分 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设,知 ak ?1 ? 0 . 而
ak ? 2 ? ak ?1 ? 2a ? a ? 1? ? 2ak ? ak ?1 ? 1? 2ak ?1 2ak 2(ak ?1 ? ak ) ? ? k ?1 k ? ?0, ak ?1 ? 1 ak ? 1 (ak ?1 ? 1)(ak ? 1) (ak ?1 ? 1)(ak ? 1)

所以 0 ? ak ?1 ? ak ? 2 , 即当 n ? k ? 1 时,不等式成立.
13

由①②,得不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 成立.………………10 分 23. 【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识,考查运算求 解、推理论证的能力.满分 10 分. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线在 x 轴 上方的不同两点 A 、B 作抛物线的切线 AC 、BD , 与 x 轴分别交于 C 、D 两点, 且 AC 与 BD y 交于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . A (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; M (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , B N 求证:直线 AB 过定点. C D OF 解: (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由题意,得

x

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x .…………………3 分 (第 23 题)
y2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . y1 ) , B( x2, (2)设 A( x1,

由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) ,
0) . 且 C 点坐标为 (? x1,



同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,②
0) . 且 D 点坐标为 (? x2,

由①②消去 y ,得 xM ? 又直线 AD 的方程为 y ? 直线 BC 的方程为 y ?

x1 y2 ? x2 y1 .………………………………5 分 y1 ? y2 y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2

y2 ( x ? x1 ) . ④ x1 ? x2 x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2

由③④消去 y ,得 xN ?

所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴. …………………………………7 分
1 ?x1) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . y0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0y1 ? 2( (3)由题意,设 M (1,

14

y1 ), B( x2, y2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) . 所以 A( x1,

所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) .
0) .………………………………………10 分 故直线 AB 过定点 (?1,

15


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