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2018届高三理科数学二轮复习讲义:模块二+专题二+第二讲 三角恒等变换与解三角形+Word版含解析_图文

专题二 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形 高考导航 利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式 是考查的重点. 2.利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算,三角形形状的 判定以及有关范围的计算,常与三角恒等变换综合考查. ?π ? 3 1.(2016· 全国卷Ⅱ)若 cos?4-α?=5,则 sin2α=( ? ? ) 7 1 1 7 A.25 B.5 C.-5 D.-25 ?π ? 3 [解析] 解法一:∵cos?4-α?=5, ? ? ?π ? ?π ? ∴sin2α=cos?2-2α?=cos2?4-α? ? ? ? ? ?π ? ?3? 7 =2cos2?4-α?-1=2×?5?2-1=-25.故选 D. ? ? ? ? ?π ? 2 3 3 2 解法二:∵cos?4-α?= 2 (cosα+sinα)=5,∴cosα+sinα= 5 , ? ? 18 7 ∴1+sin2α=25,∴sin2α=-25.故选 D. [答案] D 2.(2017· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c. 若△ ABC 为锐角三角形,且满足 sinB(1 + 2cosC) = 2sinAcosC + cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A [解析] 解法一:因为 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC, 所以 sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C), 所以 sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB, 即 cosC(2sinB-sinA)=0, 所以 cosC=0 或 2sinB=sinA, 即 C=90° 或 2b=a, 又△ABC 为锐角三角形,所以 0° <C<90° ,故 2b=a.故选 A. 解法二:由正弦定理和余弦定理得 ? a2+b2-c2 b2+c2-a2 a2+b2-c2? ? ? b 1+ =2a× 2ab +c× 2bc , ab ? ? ? a2+b2-c2? ?=a2+3b2-c2, 所以 2b ?1+ ab ? ? 2 2b 即 a (a2+b2-c2)=a2+b2-c2, ?2b ? 即(a2+b2-c2)? a -1?=0, ? ? 所以 a2+b2=c2 或 2b=a, 又△ABC 为锐角三角形,所以 a2+b2>c2,故 2b=a,故选 A. [答案] A 3.(2017· 浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则△BDC 的面积是________,cos ∠BDC=________. 42+22-42 1 [解析] 由余弦定理得 cos∠ABC= = , 2×4×2 4 1 15 ∴cos∠CBD=-4,sin∠CBD= 4 , 1 1 15 15 ∴S△BDC=2BD· BC· sin∠CBD=2×2×2× 4 = 2 . 1 又 cos∠ABC=cos2∠BDC=2cos2∠BDC-1=4, π 0<∠BDC<2, 10 ∴cos∠BDC= 4 . [答案] 15 2 10 4 4.(2017· 全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, a2 c.已知△ABC 的面积为3sinA. (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长. 1 a2 1 a [解] (1)由题设得2acsinB=3sinA,即2csinB=3sinA. 1 sinA 由正弦定理得2sinCsinB=3sinA. 2 故 sinBsinC=3. 1 1 (2)由题设及(1)得 cosBcosC-sinBsinC=-2, 即 cos(B+C)=-2. 2π π 所以 B+C= 3 ,故 A=3. 1 a2 由题设得2bcsinA=3sinA,即 bc=8. 由余弦定理得 b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9, 得 b+c= 33. 故△ABC 的周长为 3+ 33. 考点一 三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sinαcosβ± cosαsinβ. (2)cos(α± β)=cosαcosβ?sinαsinβ. tanα± tanβ (3)tan(α± β)= . 1?tanαtanβ 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sinαcosα. (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tanα (3)tan2α= . 1-tan2α 3.辅助角公式 b? ? asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)?其中tanφ=a?. ? ? [对点训练] ?π ? 1 ? ?π ?? 1. (2017· 贵阳监测 )已知 sin ?6-α? =3,则 cos ?2?3+α?? 的值是 ? ? ? ? ?? ( ) 7 1 1 7 A.9 B.3 C.-3 D.-9 [解析] ?π ? 1 ?π ? ? ?π ?? ∵ sin ?6-α? = 3 , ∴ cos ?3-2α? = cos ?2?6-α?? = 1 - ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?π ? 7 ? ?π ?? ?2π ? ? ?π ?? 2sin2 ?6-α? =9 ,∴ cos ?2?3+α?? = cos ? 3 +2α? = cos ?π-?3-2α?? =- ? ? ?π ? 7 cos?3-2α?=-9. ? ? [答案] D tan?α+β+γ? 2. (2017· 福建省福州市高三综合质量检测)已知 m= , tan?α-β+γ? 若 sin2(α+γ)=3sin2β,则 m=( 1 3 3 A.2 B.4 C.2 D.2 [解析]

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