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广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一下学期期末考试-数学


2013-2014 学年度第二学期高一期末考试数学试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题列出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x x ? 9 , N ? x ? Z ? 3 ? x ? 3 ,则 M ? N ? (

?

?

?

?



A. ?

B.

?? 3?

C.

?? 3,3?

D.

?? 3,?2,0,1,2?
C. T ? ? , A ? 2 D. T ? 2? , A ? 2 )

2.设函数 y ? 2sin 2 x ?1 的最小正周期为 T ,最大值为 A ,则( ) A. T ? ? , A ? 1 B. T ? 2? , A ? 1

3. 在区间 ? 0, 2? 之间随机抽取一个数 x ,则 x 满足 2 x ? 1 ? 0 的概率为( A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

4.2014 年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上,8 个评委为某选手打出的分数如 茎叶图所示,则这些数据的中位数是( ) A. 84 B. 85 C. 86 D. 87.5 5.从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74

? ? 0.56x ? a ? ,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的体重为 根据上表可得回归直线方程 y
( ) A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg

6.已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1,| b |? 3 ,且 (3a ? 2b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为( A. )

7.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值 为( ) B. 16 C. 15 D. 11

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

A. 22

8.设数列 ?an ? 是等比数列,满足 an ? 0, q ? 1 ,且 a3 ? a5 ? 20 ,

a2 ? a6 ? 64 ,则 a6 ? (



1

A. 16

B. 32

C. 42

D. 48

9.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 为( )

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的解析式 4

A. y ? sin( 2 x ? C. y ? 2 sin 2 x

?
4

) ?1

B. y ? 2 cos2 x D. y ? ? cos 2 x

10.将 n2 个正整数 1 、 2 、 3 、…、 n2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各
b 行和各列中的任意两个数 a 、 (a ? b ) 的比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. b
) D.

当 n ? 2 时,数表的所有可能的“特征值”最大值为( A.

3

B.

2

C.

4 3

3 2


二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)请把答案填写在答题卡相应的位置上. 11. 若点 (a, 27) 在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan 12.函数 f ( x) ?

?
a

的值为

1 2x ? 1

的定义域是

.

13.已知函数 y ? f ( x) ? x3 为偶函数,且 f (10) ? 10, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 4 ,则

g (?10) =



? x ? y ? 1, ? 14.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 5 ,则实数 k ? ?x ? y ? 1 ?
C 的对边分别为 a 、 b、 15.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、B 、 c ,且 a ?
求 cos B 的值; (2) 设函数 f ( x) ? sin ? 2x ? B ? ,求 f ?

.

三、解答题(本大题共有 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

3 b , B ? C . (1) 2

?? ? ? 的值. ?6?

2

16. (本小题满分 12 分) 某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取 n 名学生的数 学成绩, 制成下表所示的频率分布表. (1) 求 a , b , n 的值; (2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生,并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈,求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率. 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 频数 频率

?90,100? ?100,110? ?110,120? ?120,130? ?130,140?
合 计

5

0.05

a
30

0.35
0.30

20 10

b
0.10
1.00

n

17. (本小题满分 14 分)如图,某单位准备修建一个面积为 600 平方米的矩形场地(图中 ABCD ) 的围墙,且要求中间用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形, EFDC 为正方形,设 AB ? x 米,已知 围墙(包括 EF )的修建费用均为 800 元每米,设围墙(包括 EF )的修建总费用为 y 元。 (1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,设围墙(包括 EF )的的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值。

A

F

D

B

E 第 17题 图

C

3

18.(本小题满分 14 分)已知 ?an ? 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? 1 ,

?an ? 的部分项 ak

1



ak2 、…、 akn 恰为等比数列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若数列 {kn } 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn . 19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 1 ? a 在区间 ?? 1,1?上有且只有一个零点,求 实数 a 的取值范围。

20.(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立, 记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(1)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式;
* (2) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都有 Tn ? 2 n 1? (n ? N ) ,

3 ; 2

4

2013-2014 学年度第二学期高一期末考试数学试题参考答案
BADCB ABBCD 11. 3 ;12. ( , ??) ;13.2014 ;14. k ? ?1 或 k ?

1 2

1 2

15.解:(1)因为 B ? C ,所以 c ? b ,…………………………2 分

3 2 b a 2 ? c2 ? b2 3 3 ? 4 2 ? 又a ? ,…………………5 分 b ,所以 cos B ? 2ac 4 2 3b
(2)由(1)得 sin B ? 1 ? cos B ?
2

13 , 4

……………7 分 ………………10 分

所以 f ?

? ? ?? ? ?? ? ? ? sin ? ? B ? ? sin 3 cos B ? cos 3 sin B ?6? ?3 ?
?

3 3 1 13 3 ? 13 . ………………………………12 分 ? ? ? ? 2 4 2 4 8 5 a 20 ?b, 16.解:(1)依题意,得 ? 0.05, ? 0.35, n n n 解得, n ? 100 , a ? 35 , b ? 0.2 . ……………3 分
(2)因为第三、四、五组共有 60 名学生,用分层抽样方法抽取 6 名学生, 则第三、四、五组分别抽取

30 20 10 ? 6 ? 3 名, ? 6 ? 2 名, ? 6 ? 1 名. …………6 分 60 60 60

第三组的 3 名学生记为 a1 , a2 , a3 ,第四组的 2 名学生记为 b1 , b2 ,第五组的 1 名学生记为 c1 , 则从 6 名学生中随机抽取 2 名,共有 15 种不同取法,具体如下: ?a1, a2? , ?a1 , a3 ? , ?a1 , b1 ? ,

?a1 , b2 ? , ?a1 , c1? , ?a2 , a3? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , c1? , ?a3 , b1? , ?a3 , b2 ? , ?a3 , c1? , ?b1 , b2 ? , ?b1 , c1? , ?b2 , c1? .
……………8 分

其中第三组的 3 名学生 a1 , a2 , a 3 没有一名学生被抽取的情况共有 3 种,具体如下: ?b1 , b2 ? ,

?b1 , c1? , ?b2 , c1? .
故第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率为 1 ? 17. 解: (1)设 AD ? t 米,则由题意得 xt ? 600 ,且 t ? x 故t ?

……………10 分

3 ? 0.8 . 15

……………12 分

……………………2 分

600 ? x ,可得 0 ? x ? 10 6 ……………………4 分 x

(说明:若缺少“ 0 ? x ? 10 6 ”扣 2 分)

5

600 400 ) ? 2400( x ? ) ,……………………6 分 x x 400 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y ? 2400( x ? ) (0 ? x ? 10 6) .……………………7 分 x
则 y ? 800(3x ? 2t ) ? 800(3x ? 2 ? (2) y ? 2400( x ? 当且仅当 x ?

400 400 ) ≥ 2400 ? 2 x ? ? 96000 , ………………10 分 x x

400 ,即 x ? 20 时等号成立. ………………12 分 x 故当 x 为 20 米时, y 最小. y 的最小值为 96000 元.………………14 分
18. 解: (1) ?an ? 为公差不为 d (d ? 0) , 由已知得 a1 , a2 , a5 成等比数列, ∴

(1 ? d ) 2 ? 1? (1 ? 4d ) ,又 d ? 0 ………………1 分
……………………………2 分 ……………………………5 分

得d ? 2

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1 . (2)由(1)可知 an ? 2n ? 1 ∴ 而等比数列 {akn } 的公比 q ? ∴ akn ? 2k n ? 1 = 3 ∴ kn ?
n ?1

akn ? 2kn ? 1

…………7 分

a2 a1 ? d ? ? 3 ,? akn ? a1 ? 3n?1 ? 3n?1 a1 a1

……………9 分



3n ?1 ? 1 3n ?1 ? 1 1 n ?1 1 ? ?3 ? 即 kn ? 2 2 2 2
1 2
0

……………11 分

∴ Sn ? ( ? 3 ?

1 1 ?3 ? 2

1 1 1 1(1 ? 3n ) n ? ? 3n ?1 ) ? ? n ? ? ? 2 2 2 1? 3 2

3 n ? 2n ? 1 ? 4

……………………………14 分

19.解:(1)当 (2)当

时,

,其零点为

;……………2 分 时,满足条件,

时,二次函数只有一个零点且在

6

即: (3)当

无解;……………5 分

,二次函数有两个零点,一个在[-1,1]时,满足条件,

即:



;……………8 分(4)当

-1 是零点时, 当 1 是零点时, 综上所述:

,此时 ,此时

,零点是:



,不合题意,……………10 分

,零点是 1,0,不合题意;…………12 分

是满足题意。……………14 分

20.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又

1 4

……………1 分

an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ? ? ……………3 分 an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列,……………4 分 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? ……………6 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (2)由 bn ? 4 ?

5 得 (?4) n ?1
2n

……………7 分

c n ? b2 n ? b2 n ?1 ?

5 5 ? 2 n ?1 4 ?1 4 ?1

?

25? 16n 25? 16n 25? 16n 25 ? ? ? n ……………10 分 n n n 2 n n 2 (16 ? 1)(16 ? 4) (16 ) ? 3 ? 16 ? 4 (16 ) 16
4 3 13 4 ,? c2 当 ? n ? 1 时, c1 ? , T1 ? ,……………11 分 3 3 3 2

又 b1 ? 3, b2 ?

7

Tn ?
当 n ? 2 时,

4 1 1 ? 25 ? ( 2 ? 3 ? 3 16 16

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 1 4 16 ? n ) ? ? 25 ? 16 1 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16

∴对任意正整数 n 都有 Tn ?

3 。……………14 分 2

8


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