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河南省中原名校2014届高三下学期第二次联考数学(理)试题(解析版)


河南省中原名校 2014 届高三下学期第二次联考数学(理)试题(解 析版)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若 a ? b ? 0, 集合 M ? {x | b ? x ? A. {x | b ? x ? ab}

a?b }, N ? {x | ab ? x ? a},则集合 M ? N 等于( 2
C. {x | ab ? x ?



B. {x | b ? x ? a}

a?b } 2

D.

{x |

a?b ? x ? a} 2

2.已知 z 为纯虚数, A. 2 i 【答案】D 【解析】 B. ? 2i

z ?1 是实数,那么 z ? ( 2?i
C.



1 i 2

1 D. ? i 2

试题分析:由 题意设 z ? bi,(b ? R) ,则

z ? 1 bi ? 1 2 ? b ? (2b ? 1)i ? ? ? R, 所以 2?i 2?i 5

1 1 b ? ? , z ? ? i. 选 D 2 2
考点:复数的运算 3.下列命题正确的个数是( )

① “在三角形 ABC 中, 若 sin A ? sin B ,则 A ? B ” 的逆命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 , 命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件;③“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是 “ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ” ;④若随机变量 x ~ B(n, p) ,则 DX ? np. ⑤回归分析中,回归方程 可以是非线性方程.

A.1

B.2

C.3

D.4

所以③不正确;因为当 x ~ B(n, p) 时, EX ? np, DX ? np(1 ? p) ,所以④不正确;由回归分 析的定义可知回归方程可以不是线性回归方程,故⑤正确.所以共有 3 个正确,选 C. 考点:正弦定理,逆否命题,数学期望与方差 4.一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的 P 位于区间 (10?4 ,10?3 ) 内,则判断框内 应填入的条件是( A. T ? 3 ) B. T ? 4 C. T ? 5 D. T ? 6

5.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(



A. 2 3

B.

5 3 3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

【答案】B 【解析】 试题分析:几何体为一个三棱柱截取一个三棱锥,如图所示,体积为
2? 3 1 3 5 ? 22 ? ? 1 ? ? 22 ? 3. 选 B. 4 3 4 3

考点:三视图

? ? 1 6.函数 y ? f ( x ? ) 为定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 时, f ( x) ? ( ) x ? sin x, 则下列选项 2 2 2
正确的是( ) B. f (2) ? f (1) ? f (3) C. f (2) ? f (3) ? f (1) D.

A. f (3) ? f (1) ? f (2)
f (3) ? f (2) ? f (1)

7.已知双曲线

x2 y 2 以右顶点为圆心, 实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分 ? ?1, a 2 b2

为弧长为 1:2 的两部分,则双曲线的离心率为( A.
3



B.

2 3 3

C.

5

D.

5 2

【答案】B 【解析】 试题分析: 由题意得, 弦所对圆心角为
3b 2? . , 所以圆心到弦即渐近线 bx ? ay ? 0 的距离为 2 3

因此有

| ba | 3b 2 3 ? ,e ? . c 2 3

考点:点到直线距离,双曲线的渐近线 8.若 {bn } 为等差数列,b2 ? 4, b4 ? 8. 数列 {an } 满足 a1 ? 1, bn ? an?1 ? an (n ? N * ), 则 a8 ?( A.56 B.57 C.72 D.73 )

???? 1 ???? ??? ? 9.在三角形 ABC 中, ?A ? 60? , ?A 的平分线交 BC 于 D,AB=4, AD ? AC ? ? AB(? ? R) ,则 4
AD 的长为( A. 1 B.
3

) C. 3 D. 3 3

10.已知函数 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数为 f ( x) ,且 a ? 2b ? 3c ? 0 ,
f (0) f (1) ? 0, 设 x1 , x2 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则 | x1 ? x2 | 的取值范围是(



2 A. [0, ) 3

4 B. [0, ) 9

1 2 C. ( , ) 3 3

1 4 D. ( , ) 9 9

11.已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, PA=PD=AB=2, ?APD ? 120? , 若 点 P,A,B,C,D 都在同一球面上,则此球的表面积等于( A. 8? 【答案】D 【解析】 试题分析: 设三角形 PAD 外接圆圆心为 O1 , , 则半径为 2r1 ? B. 12? C. 16? D. 20? )

AD 2 3 ? ? 4, r1 ? 2, 矩形 ABCD ? sin120 3 2

外接圆圆心为 O2 , 半径为 r2 ?

AC ? 2, 球心为 O, 半径为 r , 则有 r 2 ? 22 ? 1 ? 5, S ? 4? r 2 ? 20? . 2



考点:球,球的表面积 12.将数字 1,2,3,4 填入右侧表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如图所示,则不同 的填表方式共有( 1 4 2 3 3 1 )种. 4 2

2 3

1 4

4 2

3 1

A.432 【答案】B 【解析】

B.576

C.720

D.864

试题分析:因为每行、每列的数字互不相同,所以每填一个数字,就会去 掉一行一列,因 此按全排列:4?× 3?× 2?× 1=576 考点:全排列

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
? y?x ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? ay ? 4 ,若 z ? 3x ? y 的最大值为 16, 则 a ? ________ . ? y ?1 ?
【答案】0 【解析】 试题分析:

14.已知 a ? 数字作答)

?

?

0

1 . (用 | sin x ? cos x |dx, 则 x 3 (ax ? ) 7 的展开式中的常数项是 __________ x

【答案】168 【解析】 试题分析:因为

a ? ? | sin x ? cos x |dx ? ? 4 (cos x ? sin x)dx ? ?? (sin x ? cos x)dx ? (sin x ? cos x) |04 ?(? cos x ? sin x) |? ? ?
0 0 4 4

?

?

?

?

所以 x ( ax ?
3

1 7 5 2 ) 的展开式中的常数项是 C7 a ? 21? 8 ? 168. x

考点:学科网定积分,二项式定理 15.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1, A, C 分别是椭圆的上、下顶点,B 是左顶点,F 为左焦点,直线 4 3

_. AB 与 FC 相交于点 D,则 ? BDF 的余弦值是 __________

16.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 存在零点,且对任意 m, n ? R 都满足

f [mf (m) ? f (n)] ? f 2 (m) ? n. 若关于 x 的方程 | f [ f ( x)] ? 3 |? 1 ? loga x(a ? 0, a ? 1)

恰有三个不同的根,则实数 a 的取值范围是 __________ _.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值 x 时的取值集合; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? 值. 【答案】 (Ⅰ)

1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小 2

? 3 ? 3 ? , ? x x ? k? ? , k ? Z ? (Ⅱ) 6 4 ? 2 ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 研究三角函数性质, 首先将其化为基本三角函数形式, 即 y ? A sin(? x ? ? ) ? B . 利用两角和与差余弦公式、二倍角公式、配角公式,化简得

? 3 ? 1 1 3 1 f ( x ) ? sin x ? cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos2 x 2 2 2 2 ? 2 ?

18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于 90 分的有参赛 资格,90 分以下(不包括 90 分)的被淘汰.若有 500 人参加测试,学生成绩的频率分布直 方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数; (Ⅱ)根据频率直方图,估算这 500 名学生测试的平均成绩; (Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛, 在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会, 累计答对 3 题或 答错 3 题即终止,答对 3 题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同, 并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为

1 , 求甲在初赛中答题个数 ? 的分布 9

列及数学期望 E? . .

【答案】(Ⅰ) 125 ,(Ⅱ) 78.48 ,(Ⅲ)

?

3
1 3

4
10 27

5
8 27

P
E? = 27
【解析】 107

(Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为 P ( A) ,则 (1 ? P ( A)) ?
2

2 1 ,∴ P ( A) =3. 9

学生甲答题个数 ? 的可能值为 3,4,5,

10 ? 2? ?1? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2 ?? 1 ? 则 P(? ? 3) = ? ? ? ? ? ? , P(? ? 4) = C3 ? ?? ? ? C3 ? ?? ? ? , ? 3? ? 3? 3 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ? 27
8 2? 1 ? ? 2 ? P(? ? 5) = C4 ? ? ? ? ? . 所以 ? 的分布列为 27 ? 3? ? 3?
2 2

3

3

3

3

?

3
1 3

4
10 27

5
8 27

P
1 10

E? =3×3+27×4+27×5= 27 .??????????..??????.. (12 分)
考点:频率分布直方图, 分布列及数学期望

8

107

19.如图,在直角梯形 ABCP 中, AP // BC , AP ? AB , AB ? BC ?

1 AP ? 2 ,D 是 AP 的中 2

点,E,G 分别为 PC,CB 的中点,将三角形 PCD 沿 CD 折起,使得 PD 垂直平面 ABCD.(Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:AP // 平面 EFG;(Ⅱ)当二面角 G-EF-D 的大小为 PBC 所成角的余弦值.

? 时,求 FG 与平面 4

【答案】 (Ⅰ)详见解析, (Ⅱ) 【解析】

33 . 6

试题分析: (Ⅰ)证明线面平行, 关键找线线平行.因为本题条件涉及中点较多,宜从中位 线性质出发寻找.如取 AD 中点 M, 则有 AP / / FM . 又 EF / / AB / / MG, 所以平面 EFG =平面

EFGM .本题也可从证面面平行出发,推出线面平行.(Ⅱ)已知二面角平面角,求线面角,

宜利用空间向量解决.先建立空间直角坐标系,设出各点的坐标,

G (1, 2,0) , C(0,2,0) , P(0,0, 2) , E (0,1,1) ,设 F (0,0, a) ,利用二面角 G-EF-D 的大小为

? 4

求出 a ? 1 ,再利用空间向量数量积求线面角. 利用空间向量求角,关键是正确表示平面的 法向量,明确向量夹角与二面角或线面角之间关系.

20.如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,开口向右,过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为 2,过 C 上一点 A 作两条互相垂直的直线交抛物线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若直线 PQ 过定点

(Ⅱ)对于第(Ⅰ)问的点 A,三角形 APQ 能否为等腰直角三 T (3,? 2 ) ,求点 A 的坐标; 角形?若能,试确定三角形 APD 的个数;若不能,说明理由.

【答案】 (Ⅰ) 1, 2 ,(Ⅱ)一个 【解析】

?

?

则所求抛物线的方程为 y 2 ? 2 x .??????????????????(2 分) 设直线 PQ 的方程为 x ? my ? n ,点 P 、 Q 的坐标分别为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) . 由?

? x ? my ? n ? y ? 2x
2

,消 x 得 y 2 ? 2my ? 2n ? 0 .由 ? ? 0 ,得 m2 ? 2n ? 0 ,

??? ? ???? y1 ? y2 ? 2m , y1 ? y2 ? ?2n .∵ AP ? AQ ,∴ AP ? AQ ? 0 .

设 A 点坐标为 ?

? a2 ? ? a 2 ?? a2 ? , a ? ,则有 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ( y1 ? a )( y2 ? a ) ? 0 . 2 ?? 2? ? 2 ? ?

? x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 ,?( y1 ? a)( y2 ? a) ?( y1 ? a)( y2 ? a) ? 4? ? 0 , 2 2

∴ ( y1 ? a)( y2 ? a) ? 0 或 ( y1 ? a)( y2 ? a) ? 4 ? 0 . ∴ 2n ? a 2 ? 2ma 或 2n ? a 2 ? 2ma ? 4 , ∵ ? ? 0 恒成立. ∴ 2n ? a 2 ? 2ma ? 4 . 又直线 PQ 过定点 T (3, ? 2) ,即 n ? 3 ? 2m ,代入上式得

6 ? 2 2m ? a2 ? 2ma ? 4, a2 ? 2 ? 2m(a ? 2) ? 0, 注意到上式对任意 m 都成立,
故有 a ?

2 ,从而 A 点坐标为 1, 2 .????????????????(8 分)

?

?

2 21.已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图像上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为

1 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2. (Ⅰ)求 a , b 的值;(Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e ] 内有两个不 e
等实根,求 m 的取值范围;(Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? R), 如果 g ( x) 的图像与 x 轴交于

A( x1 ,0), B( x2 ,0)(x1 ? x2 ) 两点, AB 的中点为 C ( xo ,0) ,求证: g ?( x0 ) ? 0.
【答案】(Ⅰ) a=2,b=1. (Ⅱ) 1 ? m≤ 【解析】
1 ? 2 (Ⅲ)详见解析. e2

2 2 (Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x ,设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m ,

则 h? ? x ? ?

2 2(1 ? x2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去). ? 2x ? x x

1 当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是增函数;当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是减函数. e

1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 e

? 1 ? h ( e ) ≤ 0, ? ? 1 ? h (1) ? 0, 解得 1 ? m≤ 2 ? 2 .???????????????..???(8 分) e ? h (e) ≤ 0. ? ? ?

22.如图,在锐角三角形 ABC 中,D 为 C 在 AB 上的射影,E 为 D 在 BC 上的射影,F 为 DE 上 一点,且满足 值.

EF AD ? . (Ⅰ)证明:CF ? AE; (Ⅱ)若 AD=2,CD=3.DB=4,求 tan ?BAE 的 FD DB

【答案】(Ⅰ)详见解析,(Ⅱ) 【解析】

24 . 43

试题分析:(Ⅰ) 设 CF 与 AE 交于点 G ,由条件

EF AD ? ,就可找相似三角形. FD DB

?

CD DB EF AD ED AB CD AB ? ? ? ? ? ,又 ,所以 ,从而有 FD DB FD DB FD BE DE BE

△ CDF ∽△ ABE ,即 ?DCG ? ?DAG , ?AGC ? ?ADC ? 90? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?BAE ? ?DCF ? ?DCB ? ?BCF ,已知 tan ?DCB ?

4 EF AD ? ,又由条件 得 FD DB 3 4 4 12 9 EF AD ? , EF ? ,而 CE ? ,所以 tan ?ECF ? ,从而 ,所以 DE ? ED AB 5 5 5 9 4 4 ? 24 tan ?DCF ? 3 9 ? . 16 43 1? 27

试题解析: C

A

D

G a F m e

E B

23.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相

t ? x? , ? ? 2 同单位长度.已知曲线 C : ? ? a(a ? 0), 过点 p(0,2) 的直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
(t 为参数). (Ⅰ)求曲线 C 与直线 l 的普通方程;(Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 到曲线 C ? ,若直线 l 与曲线 C ? 相切,求实数 a 的值. 【答案】(Ⅰ) x 2 ? y 2 ? a 2 , y ? 3x ? 2 (Ⅱ) a ?

? x? ? 2 x 得 ? y ? y ?

2 13 13

【答案】(Ⅰ) ? x | x ? 0或x ? 【解析】

? ?

10 ? ? ,(Ⅱ) ?a | a ? 10或a ? ?6? 3?

试题分析:(Ⅰ)解含绝对值不等式问题,关键是去绝对值.一般利用绝对值定义分段讨论,

??3 x ? 5, x ? 1 ? x ?1 ? 1? x ? 2 ? x ? 2 ? 因为 f ( x ) ? ? ? x ? 3,1 ? x ? 2 ,所以 ? 或? 或? 解得 ??3x ? 5 ? 5 ?? x ? 3 ? 5 ?3x ? 5 ? 5 ?3 x ? 5, x ? 2 ?

10 ? ? ? x | x ? 0或x ? ? 3? ?


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