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2012年唐山二模文科数学试题及答案


1 河北省唐山市 2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考 试 数学(文)试题 说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道 大题, 道小题, 150 分, 24 共 其中 1. ~(21)小题为必做 题, (22)~(24)小题为选做题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上 的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题 时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 标号涂黑.如 需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再 选涂其他答案, 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一 并交回, 参考公式: 样本数据 n x x x , , , 2 1 ? 的标准 差; x x x x x x x n s n 其中 ], ) ( ) ( ) [( 1 2 2 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? 为样本平均数; 柱体体积公式: 为底面面 积 其中 S Sh V , ? 、 为高; 锥体体积公式: h S Sh V , , h 3 1 为底面面积 其中 ? 为高; 球的表面积、 体积公式: , 3 4 , 4 3 2 R V R S ? ? ? ? 其中 R 为球的半径。 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要 求. 1. 已知 1 z i ? =2+i, 则复数 z 的共轭复数为 A. 3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 2.己知集合 A={l,2,3),集合 B=(2,3,4),则 A ( ) N C B = A.{l} B.f0,1} C.{1,2,3} D.(2,3,4) 3.己知命题 p:“a>b”是“2 a >2 b ”的充要条 件; x ? ∈R, q: lx+l l≤x, A. ? q 为真命题 B. 则 ?p p? q 为真命题 C. ? q 为真命题 D. ?q 为假命题 4. p p? 已

知? 是第三象限的角,且 tan? =2,则 sin(? + 4 ? ) = A. 10 10 ? B. 10 10 C. 3 10 10 ? D. 3 10 10 5.设 变量 x、y 满足 1, 0, 2 2 0, x y x y x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 2 A. 3 2 B.2 C.4 D.6 6.把函数 y=sin(2x- 6 ? )的图象向左 平移 6 ? 个单位后, 所得函数图象的一条对称轴为 A. x=0 B.x= 2 ? C.x= 6 ? D.x=— 12 ? 7.执行如图所示的 算法, 若输出的结果 y≥2, 则输入的 x 满足 A. x≥4 B. x≤-l C.-1≤x≤4 D.x≤一 l 或 x≥4 8.已知某几何体的三视图如 图所示,则其体积为 A.2 B.l C. 4 3 D. 5 3 9.曲线 y= 1 1 x x ? ? 在点(0,一 1)处的切线与两坐标轴围成 的封闭图形的面积为 A. B. 1 2 C. 4 3 D. 1 8 10. 1 - 奇 函数 f(x)、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方 程 f(g(x))=0、g(f(x)) =0 的实根个数分别为 a、b, 则 a+b= A.3 B.7 C.10 D.14 11.直线 l 与双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b ? ? ? ? 交于 A、B 两点,M 是线段 AB 的中 点, 3 若 l 与 OM (O 是原点)的斜率的 乘积等于 1,则此双曲线的离心率为 A.2 B. 2 C.3 D. 3 12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁 丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球 的表面与 8 根铁丝都有 接触点,则皮球的半径为 A.l0 3 cm B.10 cm C.10 2 cm D.30cm 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共

20 分 13.函数 y= 1 10 2 x ? 的定义域为 。 14.向圆(x 一 2) 2 +(y— 2 3 =4 内随机掷一点,则该点落在 x 轴下 方的概率为 。 15. 过抛物线 y 2 =2px (p>0) 的焦点 F 作 直线交抛物线于 A、B 两点,若|AF| =2|B|=6,则 p= 。 16.在△ABC 中,( 3 ) , AB AC CB ? ? 则角 A 的最大 值为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{ } n a 满足: 2 1 2 1 2 3 (3 1), * 8 n n n n N a a a ? ? ? ? ? ? . (I)求数列{ } n a 的通项公式; (II)设 3 log n n a b n ? ,求 1 2 2 3 1 1 1 1 . n n b b b b b b ? ? ? ? 18.(本小题满分 12 分) 某篮球队甲、 乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶 图如下: (I)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差 的大小: (II)从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随 机抽取 2 场进行失误分析, 求抽到恰 好有 1 场得分不足 10 分的概率.19.本小题满分 12 分)如图, ( 在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB‖ CD,AB= 2AD 4 =2CD =2.E 是 PB 的中点. (I)求证: 平面 EAC⊥平面 PBC; ( II) PC= 2 , 若 求三棱锥 C-ABE 高 的大小. 20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 长为 2 1 ? 的线段的两端点 C、D 分别在 x 轴、y 轴上 滑动, 2 CP PD ? .记点 P 的轨迹为曲线 E. (I)求曲

线 E 的方程; ( II)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相 交于 A、B 两点, , OM OA OB ? ? 当点 M 在曲线 E 上 时, 求四边形 OAMB 的面积. 21. (本小题满分 12 分) 已 知 2 2 1 ( ) ln , 0 2 f x x a x a ? ? ? . (I)求函数 f(x) 的最小值; ( II)当 x> 2a,证明: ( ) (2 ) 3 . 2 2 f x f a a x a ? ? ? 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任 选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 5 分.作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图,在△ABC 中,BC 边上的点 D 满足 BD=2DC,以 BD 为 直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A, 过点 B 作 BE⊥CA 于点 E,BE 交圆 D 于点 F. (I)求∠ABC 的度数: ( II)求 证:BD=4EF. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系 与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极 轴为 z 轴的正半轴,两种坐标系的长度单 位相同,己知圆 C1 的极坐标方程为 p=4(cos? +sin? ,P 是 C1 上一动 点,点 Q 在射线 OP 上 且满足 OQ= 1 2 OP,点 Q 的轨迹 为 C2。 (I)求曲线 C2 的极坐标方程,并化为直角坐标方 程; ( II)已知直线 l 的参数方程为 2 cos , sin x t y t ? ? ? ? ? ? ? ? (t 为参数, 0≤? <? ) l 与曲线 C2 , 有且只有一个公共点, 求? 的值. 24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a>0). (I)

当 a=l 时,解不等式 f(x)≤4; ( II)若 f(x)≥4 恒成 立,求实数 a 的取值范围 6 唐山市 2011—2012 学年度高 三年级第二次模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题: A 卷:AABCB CDDCC BB B 卷:CADAB BACBC DB 二、填空 题: (13) 2, (lg +∞) (14) 1 6 - 3 4? (15) (16) 4 ? 6 三、解答题: (17)解: (Ⅰ) 1 a1 = 3 8 (3 2 - 1)=3,?6?71 分 当 n≥2 时,n an =( 1 a1 + 2 a2 + ?6?7+ n an )-( 1 a1 + 2 a2 +?6?7+ n-1 an-1 ) = 3 8 (3 2n -1)- 3 8 (3 2n-2 -1)=3 2n-1 , ?6?75 分 当 n=1, n an =3 2n-1 也成立, 所以 an = n 3 2n-1. ?6?76 分 (Ⅱ)bn=log3 an n =-(2n -1), ?6?77 分 ∵ 1 bnbn+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ), ∴ 1 b1b2 + 1 b2b3 + ?6?7+ 1 bnbn+1 = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+ ?6?7+( 1 2n-1 - 1 2n+1 )] ?6?710 分 = 1 2 (1 - 1 2n+1 )= n 2n+1 . ?6?712 分 (18)解: (Ⅰ) x - 甲= 1 8 (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, x 乙= 1 8 (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, s 2 甲 = 1 8 [(-8) 2 +(-6) 2 +(-4) 2 +(-2) 2 +(-2) 2 +1 2 +8 2 +13 2 ]=44.75, s 2 乙= 1 8 [(-8) 2 +(- 7) 2 +(-5) 2 +0 2 +2 2 +4 2 +6 2 +8 2 ]= 32.25. 甲、 乙两名队员的得分均值相等; 甲的方差较大 (乙

的方差较小). ?6?74 分 (Ⅱ)题设所述的 6 个场次乙 得分为: 7,8,10,15,17,19. ?6?77 分 从中随机 抽取 2 场,这 2 场比赛的得分如下: (7,8),(7,10),(7, 15),(7,17),(7,19), (8,10),(8,15),(8,17),(8, 19), (10,15),(10,17),(10,19), (15,17),(15, 19), (17,19), 共 15 种可能, ?6?79 分 其中恰好有 1 场得分在 10 分以下的情形是: (7,10),(7,15),(7, 17),(7,19), 7 (8,10),(8,15),(8,17),(8,19), 共 8 种可能, 所求概率 P= 8 15 . ?6?712 分 (19)解: (Ⅰ) ∵PC⊥平面 ABCD, AC?平面 ABCD, ∴AC⊥PC, ∵AB =2,AD=CD=2,∴AC=BC= 2, ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 , ∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C, ∴AC⊥平面 PBC, ∵AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. ?6?75 分 (Ⅱ)由 PC= 2,知△PBC 为等腰直角三角形,则 S△BCE= 1 2 S△PBC= 1 2 , 由(Ⅰ),AC 为三棱锥 A—BCE 高. ?6?77 分 Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB,PA=PB =AB=2,则 S△ABE= 1 2 S△PAB= 3 2 , 设三棱锥 C—ABE 的高为 h,则 1 3 S△ABE·h= 1 3 S△BCE·AC, 1 3 × 3 2 h= 1 3 × 1 2 × 2, h= 6 3 , 故三棱锥 C—ABE 的 高等于 6 3 . ?6?712 分 (20)解: (Ⅰ)设 C (m, 0),D (0,n),P (x,y). 由 CP → = 2 PD → ,得(x-m, y)= 2(-x,n-y), ∴ ?? ? ? ? x-m=- 2x, y=

2(n-y), 得 ? ? ? ? ?m=( 2+1)x, n= 2+1 2 y, ?6?72 分 由| CD → |= 2+1,得 m 2 +n 2 =( 2+1) 2 , ∴( 2+1) 2 x 2 + ( 2+1) 2 2 y 2 =( 2+1) 2 , 整 理, 得曲线 E 的方程为 x 2 + y 2 2 =1.?6?75 分(Ⅱ) 设 A (x1,y1),B (x2,y2),由 OM → =OA → +OB → , 知点 M 坐标为(x1+x2,y1+y2). 设直线 l 的方程为 y= kx+1,代入曲线 E 方程,得 (k 2 +2)x 2 +2kx-1=0, 则 x1+x2=- 2k k 2 +2 ,x1x2=- 1 k 2 +2 , ?6?77 分 y1+y2=k(x1+x2)+2= 4 k 2 +2 ,D A C E P B 8 由点 M 在曲线 E 上,知(x1+x2) 2 + (y1+y2) 2 2 =1, 即 4k 2 (k 2 +2) 2+ 8 (k 2 +2) 2=1,解得 k 2 = 2. ?6?79 分 这时|AB|= 1+k 2 |x1-x2|= 3[(x1+x2) 2 -4x1x2]= 3 2 2 , 原点到直线 l 的距离 d= 1 1+k 2 = 3 3 , 平行四边形 OAMB 的面积 S=|AB|·d= 6 2 . ?6?712 分 (21)解: (Ⅰ)f ?(x)=x- a 2 x = (x+a)(x-a) x . ?6?71 分 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0, f (x)单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调 递增. 当 x=a 时,f (x)取得极小值也是最小值 f (a)= 1 2 a 2 -a 2 ln a. ?6?75 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),f (x)在(2a, +∞)单调递增, 则所证不等式等价于 f (x)-f (2a)- 3 2 a(x-2a)>0. ?6?77 分 设 g (x)=f (x)-f (2a)- 3 2 a(x-2a), 则当 x>2a 时, g ?(x)=f ?(x)- 3 2 a=x

- a 2 x - 3 2 a= (2x+a)(x-2a) 2x >0, ?6?79 分 所以 g (x)在[2a,+∞)上单调递增, 当 x>2a 时,g (x)> g (2a)=0,即 f (x)-f (2a)- 3 2 a(x-2a)>0, 故 f (x) -f (2a) x-2a > 3 2 a. ?6?712 分 (22)解: (Ⅰ) 连结 OA、 AD. ∵AC 是圆 O 的切线, OA=OB, ∴OA⊥AC, ∠OAB=∠OBA=∠DAC, ?6?72 分 又 AD 是 Rt△OAC 斜边上的中线, ∴AD=OD=DC=OA, ∴△AOD 是等边 三角形,∴∠AOD=60?, 故∠ABC= 1 2 ∠AOD= 30?. ?6?75 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 在 Rt△AEB 中, ∠EAB=∠ADB=60?, ∴EA= 1 2 AB= 1 2 × 3 2 BD= 3 4 BD, EB= 3 2 AB= 3 2 × 3 2 BD= 3 4 BD, ?6?77 分 由切割线定理, EA 2 =EF× EB, ∴ 3 16 BD 2 =EF× 得 3 4 BD, C A B E D O F 9 ∴BD=4EF. ?6?710 分 (23) 解: (Ⅰ)设点 P、Q 的极坐标分别为(ρ 0,θ )、(ρ ,θ ), 则 ρ = 1 2 ρ 0= 1 2 ·4(cos θ +sin θ )=2(cos θ +sin θ ), 点 Q 轨迹 C2 的极坐标方程为 ρ =2(cos θ +sin θ ), ?6?73 分 两边同乘以 ρ , ρ 2 =2(ρ cos θ +ρ sin θ ), 得 C2 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 =2x+2y,即(x-1) 2 + (y-1) 2 =2. ?6?75 分 (Ⅱ)将 l 的代入曲线 C2 的 直角坐标方程,得 (tcos φ +1) 2 +(tsin φ -1) 2 =2, 即 t 2 +2(cos φ -sin φ )t=0, ?6?77 分 t1=0,t2= sin φ -cos φ ,由直线 l 与曲线 C2 有且只有一个公共点,

得 sin φ -cos φ =0, 因为 0≤φ <?,所以 φ = ? 4 . ?6?710 分 (24)解: (Ⅰ)f (x)=|x|+2|x-1| = ? ? ? ? ? 2-3x,x<0, 2-x, 0≤x≤1, 3x-2, x>1. ?6?72 分 当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- 2 3 ≤x <0; 当 0≤x≤1 时, 1≤2-x≤2; 当 x>1 时, 3x-2≤4, 由 得 1<x≤2. 综上,不等式 f (x)≤4 的解集为[- 2 3 , 2]. ?6?75 分 (Ⅱ)f (x)=|x|+2|x-a|= ? ? ? ? ? 2a-3x, x<0, 2a-x, 0≤x≤a, 3x-2a, x>a. ?6?77 分 可见, (x)在(-∞, f a]单调递减, 在(a, +∞)单调递增. 当 x=a 时,f (x)取最小值 a. 所以,a 取值范围为[4,+ ∞). ?6?710 分


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