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2009年高考文科数学试题及答案-海南卷(同宁夏卷)


2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)
数学(文史类) 一、选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A (A) (C) (2) 复数

?

B?

?3,5?
?3, 7?
3 ? 2i ? 2 ? 3i
(B) ?1

(B) (D)

?3, 6?

?3,9?
(D) ?i ) ,得散点图 1;对变量 u , v 有观测

(A) 1

(C) i

1 0 ,. ? ..2 ,1 (3)对变量 x, y 有观测数据( x1 , y1 ) (i

数据( u1 , v1 ) (i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 关 (4)有四个关于三角函数的命题:

(B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相

(D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

(A) p1 , p4

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

(5)已知圆 C1 :( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的 方程为 (A) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (C) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (B) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (D) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1

? 2 x ? y ? 4, ? (6)设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

(7)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

2 (8)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9

(9) 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1,线段

B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF ?
错误的是 (A) AC ? BE (B) EF // 平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值

1 ,则下列结论中 2

(D) ?AEF的面积与?BEF的面积相等 (10)如果执行右边的程序框图,输入 x ? ?2, h ? 0.5 ,那么输出 的各个数的和等于 (A)3 (B) 3.5 (C) 4 (D)4.5
2

(11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm )

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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

为(A) 48 ? 12 2 (C) 36 ? 12 2

(B) 48 ? 24 2 (D) 36 ? 24 2

( 12 ) 用 min{a,b,c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 。 设
x f ( x) ? mi n , x ? 2, 1? 0x ?2 ?

(x ? 0),则 f ? x ? 的最大值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13 题)~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第(22 题)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 。 (D) 7

(14)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 。

( 15 )等比数列 { an } 的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1 , an?2 ? an?1 ? 6an ,则 { an } 的前 4 项和

S4 =



(16)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ?? ?



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已 知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m , 于 C 处 测 得 水 深 CF ? 110m , 求 ∠DEF 的 余 弦 值 。
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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC ,求三棱锥 P ? ABC 体积。

(19) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人? (Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1: 生产能力分 组 人数 表 2: 生产能力分组 人数 4 8

?100,110?

?110,120?

?120,130?
x

?130,140?
5

?140,150?
3

?110,120?
6

?120,130?
y

?130,140?
36

?140,150?
18

(1) 先确定 x, y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通 过观察直方图直接回答结论)

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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均 数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表) 。 (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个焦 点的距离分别是 7 和 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .
3 2 2 3

(1)设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)若 a ?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H ,

? B=60 ? , F 在 AC 上,且 AE ? AF 。
(1)证明: B, D, H , E 四点共圆;

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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

(2)证明:CE 平分 ? DEF。 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图, O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与 原点的距离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

参考答案 一、选择题 (1)D (7)A 二、填空题 (13) y ? 3x ? 1 三、解答题 (17) 解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. (14) y ? 4 x
2

(2)C (8)C

(3)C (9)D

(4)A (10)B

(5)B (11)A

(6)B (12)C

(15)

15 2

(16)0

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,

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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . . . . . . .6 分
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?
(18)解:

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

. . . . . .12 分

?PAC ? ?PBC ? 90? , (Ⅰ) 因为 ?PAB 是等边三角形,
所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? PC 。 所以 AB ? 平面 PDC , . . . . . .6 分

(Ⅱ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为

Rt ?PBC ? Rt ?PAC , 所以 AE ? PC , AE ? BE .
. . . . . .8 分

由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? .

因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB , 所以三角锥 P ? ABC 的体积

1 8 V ? ? S ? PC ? 3 3

. . . . . . .12 分

(19)解: (Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 (Ⅱ)(ⅰ)由 4 ? 8 ? x ? 5 ? 3 ? 25 ,得 x ? 5 , . . . . . .4 分

6 ? y ? 36 ? 18 ? 75 ,得 y ? 15 。
频率分布直方图如下

. . . . . .8 分
-7-

2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 (ii) x A ?

. . . . . .9 分

4 8 5 5 3 ?105 ? ?115 ? ?125 ? ?135 ? ?145 ? 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ?1 1 5 ? ?1 2 5? ?135 ? ? 145 ? , 133.8 75 75 75 75 25 75 x? ?1 2 3 ? ?1 3 3 . 8 ? 131.1 100 100

A 类工人生产能力的平均数, B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 估计值分别为 123,133.8 和 131.1.

(20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得

?a ? c ? 1 x2 y 2 ? ? 1. 解得 a=4,c=3, 所以椭圆 C 的方程为 ? 16 7 ?a ? c ? 7
(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ???4,4?. 由已知得 而e ?

x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y


3 2 ,故 16( x2 ? y1 ) ? 9( x2 ? y2 ). 4

由点 P 在椭圆 C 上得

y12 ?

112 ? x 72 , 16

代入①式并化简得 9 y ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?
2

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条 3

平行于 x 轴的线段· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 (21)解:
' 2 (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得 f ( x) ? 3x ? 6x ? 9.

令 f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ( x) 的变化情况:
'

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ??)
+

f ( x)

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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

所以, f ( x ) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2 .
由 | f ' ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
1 4 ? a ? 1,由f ' (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] [? ,1] [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
由 f (1) ? ?12a得 ?
'

若 a>1,则 | f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ' ( x) |? 12a 不恒成立.
' 所以使 | f ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].

1 4 4 5

(22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60° , 所以∠BAC+∠BCA=120° . 因 为 AD,CE 是 角 平 分 线 , 所 以

∠HAC+∠HCA=60° , 故∠AHC=120° ,于是∠EHD=∠AHC=120° .

因为∠EBD+∠EHD=180° , 所以 B,D,H,E 四点共圆。 (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为 ?ABC 的平分线,得 ?HBD ? 30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以 ?CED ? ?HBD ? 30° 又 ?AHE ? ?EBD ? 60° ,由已知可得 EF ? AD ,可得 ?CEF ? 30° 所以 CE 平分 ? DEF

x2 y 2 ? ?1 (23)解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 : 64 9
2 2

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆。
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆。
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2009 年高考文科数学试题【新课标全国卷】

(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,M 到 C3 的距离 d ?
从而当 cos ? ? (24)解:

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

(Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30 (Ⅱ)依题意, x 满足

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, 解不等式组,其解集为 [9, 23] ,所以 ? ?0 ? x ? 30

x ?[9, 23]

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