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高二数学下学期理科期末考试题


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高二下学期理科数学试题
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前考生务必用黑色笔将姓名、准考证号填写在答题纸规定的 位置上,并将准考证号及科目用铅笔涂在答题纸指定位置上。 2. 解答题请答题纸各题规定的答题区域内作答、 不能在区域外作答! 3.用黑笔答填空题、简答题。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一.选择题(本大题共个 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是最符合题意的。 ) 10i 1.已知 i 是虚数单位,则复数 = ( ) 1 ? 2i A.-4+ 2i B.4- 2i C.2- 4i D.2+4i , 2) ,则回归直线方 2.已知回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 a ? 3 且样本点中心为 (1 程为( ) A. y ? x ? 3 B. y ? ?2 x ? 3 C. y ? ? x ? 3 D. y ? x ? 3

?x 1 ? 3.在 ? ? 3 ? 的展开式中,常数项是( x? ?2

8



A. ? 28 B. ?7 C.7 D.28 4.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (C)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 (D)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 5.设随机变量 X 的分布列如下表,且 EX ? 1.6 ,则 a ? b ? ( ) X 0 1 2 3 a b 0.1 0.1 P A.0.2 B.0.1 C. ?0.2 D. ?0.4 6.安排一张有 5 个独唱节目和 3 个合唱节目的节目单,要求合唱节目不连排而
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且不排在第一个节目,那么不同的节目单有( ) A.7200 种 B.1440 种 C.1200 种 D.2880 种 0.8) ,则 D(2 X ? 1) 等于( 7.设 X ~ B(10, ) A.1.6 B.3.2 C.6.4 D.12.8 8.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则 a 的值为 ( ) 7 5 A. B. C.5 D.3 3 3 1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中, 9.用数学归纳法证明不等式“ n ?1 n ? 2 2n 24 由 n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等式的左边( ) 1 1 1 ? A. 增加了一项 B. 增加了两项 2k ? 1 2(k ? 1) 2(k ? 1) 1 1 1 ? C. 增加了两项 ,又减少了 ; k ?1 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 D. 增加了一项 ,又减少了一项 ; k ?1 2(k ? 1) 1 10.已知 F 是抛物线 y=4x2 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的 轨迹方程是( ) 1 1 A.x2=2y-1 B.x2=2y-16 C.x2=y-2 D.x2=2y-2 11.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a、b、c 三向量共面, 62 63 64 65 则实数 λ 等于( ) A. 7 B. 7 C. 7 D. 7 x2 y2 12.斜率为 2 的直线过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点,与双曲线的两个交 点分别在左、右两支上,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.e> 2 B。1<e< 3 C.1<e< 5 D.e> 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。请将正确答案写在答 题纸指定位置上。 ) 13. 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若 从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于________. 14.由曲线 y ? x2 与 x ? y 2 所围成的曲边形的面积为________________ 15.在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动
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攻击(各发射一枚导弹) ,三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8,若 至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁,求目标被摧毁的概率 16..若 xi ? 0(i ? 1,2,3,?, n) ,观察下列不等式: 1 1 1 1 1 ( x1 ? x2 )( ? ) ? 4 , ( x1 ? x2 ? x3 )( ? ? )?9 , ? , 请 你 猜 测 x1 x2 x1 x2 x3 1 1 1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( ? ? ? ? ) 满足的不等式 x1 x2 xn 三.解答题(本大题共 6 个小题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 17. (本题满分 10 分)已知 a,b>0,求证:a(b +c )+b(c +a )≥4abc 18. (本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 5 (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 9 9.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; 下面的临界值表供参考: 2 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005[ 0.001 p( K ? k ) 0.15
k
2 2 2 2

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本题满分 12 分)在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张,可获价值为 50 元的奖品;有二等奖券 3 张,每张可获价值为 10 元的奖品;其余 6 张没有奖。某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的概率分布列和期望。 20. (本题 满分 1 2 分) 如图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, A=60°,C=90°,CD=2,把△ABD 沿 BD 折起(如图二) ,使二面角 A-BD-C 的
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3 ,对于图二,完成以下各小题: 3 (1)求 A,C 两点间的距离; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
余弦值等于

21. (本小题满分 12 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离 等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 22. (本题满分 12 分) 设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2, (1)求 a,b 的值 (2)证明:f(x)≤2x-2. 高二年级理科数学试题答案
1---12 ACCBC ACACA DD 3 13. 5

1 14. 3

15.0.954

16. ( x1 ? x2 ? ? ? xn )(

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 (n ? 2) x1 x2 xn
喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

18.解:(1) 列联表补充如下:-----------------------------------------------------4 分

男生 女生 合计 (2)∵ K ?
2

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 ------------------- -----9 分 30 ? 20 ? 25 ? 25
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∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.----- -------------------------------------12 分 19. 解: (1).P=1 ?
2 2 C6 15 2 ? 1 ? ? 即该顾客中奖的概率为 ………….4 分 2 3 C10 45 3

(2).X 的所有可能值为:0,10,20,50,60(元)
1 1 C32 C3 C6 2 C32 1 1 1 且 P(X=0)= ? = , P(X=10)= ? ,P(X=20)= 2 ? , 2 2 C10 15 3 C10 5 C10 15 1 1 1 1 C1 C6 2 C1 C3 1 P(X=50)= ? ,P(X=60)= ? …………9 分 2 2 C10 15 C10 15

故 X 的分布列为: X 0 10 20 P

50

60

1 15 1 2 1 2 1 ? 16 …..12 分 从而期望 E(X)= 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? 3 5 15 15 15 20. (本题满分 12 分)(1)|AC|=2--------4 分

1 3

2 5

1 15

2 15

(2)设点 O 是 BD 的中点,则 AO= 6 ,OC= 2 ,又因为 AC=2,则∠ACO=900, 又因为∠BDC=900,∴AC⊥平面 BCD,-------------------6 分

分别以 CB、CD、CA 为 x 轴、y 轴、z 轴,求向量 AC 的方向向量是(0、0、2) 、 求平面 ABD 的法向量是(1、1、1) ,----9 分

3
解的 AC 与平面 ABD 所成角的正弦为

3 -------12 分

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) ,且可知左焦点为 a 2 b2 ?c=2 ?c=2 F(-2,0) ,从而有 ? ,解得 ? , ' ?2a=|AF|+|AF |=3+5=8 ?a=4
21. (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为
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x y ? ? 1 。--------------4 分 16 12 ? 3 y= x+t ? 3 ? 2 t 由 ? 2 ( 2 ) 假 设 存 在 符 合 题 意 的 直 线 l , 其 方 程 为 y = x +, 得 2 2 ? x + y =1 ? ? 16 12 2 2 2 3x +3tx+t -12=0 , 由 直 线 l 与 椭 圆 有 公 共 点 得 ? ? (3t) -4 ? 3(t 2 -12) ? 0 , ∴
又 a =b +c ,所以 b ? 12 ,故椭圆 C 的方程为
2 2 2 2

2

2

?4 3 ? t ? 4 3 , -----8 分
| t| =4 ,从而 t= ? 2 13 , 9 ?1 4 由于 ?2 13 ? [ ? 4 3,4 3] ,所以符合题意的直线 l 不存在。---------------12 分
另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 4 可得:
? ? ?f?1?=0, ?1+a=0, b 22.解(1)f′(x)=1+2ax+ .由已知条件得? 即? ------2 分 x ?f′?1?=2. ?1+2a+b=2. ? ? 解得 a=-1,b=3.--------------------4 分 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f(x)=x-x2+3lnx.设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+ ?x-1??2x+3? 3 3lnx,则 g′(x)=-1-2x+ =- ------------------------------------------6 分 x x .当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)单调增加,在(1,+∞) 单调减少-----8 分 所以 g(x)最大值是 g(1)=0--------------------------------------------------------------------10 分 故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2. ---------12 分

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