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11:直线和平面垂直的判定与性质新课讲解


直线和平面垂直的判定与性质
一、复习引入: 1 直线和平面的位置关系
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2.异面直线
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3 线面平行的判定定理:
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4 线面平行的性质定理:
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5 面面平行的判定定理:
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6 面面平行的性质定理:

二、讲解新课: 1 定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面
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互相垂直 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足
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a _

直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α

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画法:直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直 说明:①“任何”表示所有

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(提问:若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直与平面吗?如不是,直线与平面的位置关系如何?) ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足 ③ a⊥ ? 等价于对任意的直线 m ? ? ,都有 a⊥ m
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2 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面 即
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若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ?
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3.直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 符号语言:若 a⊥α,b⊥α 则 b∥a. 已知:a⊥α,b⊥α。求证:b∥a. 证明 1:假定 b 不平行于 a,设 b∩α=O,b′是经过点 O 与直线 a 平行的直线, ∵a∥b′,a⊥α,∴b′⊥α
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即经过同一点 O 的两直线 b、b′都与 α 垂直,这是不可能的,因此 b//a
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4 求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 已知:a∥b,a⊥ ? 求证:b⊥α
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证明:设 m 是 ? 内的任意一条直线

a m

b ?

a ?? ? ? ? a ? m? ? ? m ? ?? b ? m? a // b ? ??b ?? m ? ??
重要结论及证明 5.过一点和已知平面垂直的直线只有一条 已知:平面 ? 和一点 P
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B
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A ? P
?

?
P

?
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A

B

a

求证:过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条

证明:不论 P 在平面 ? 内或外,设直线 PA ? ? ,垂足为 A (或 P )
1

若另一直线 PB ? ? ,设 PA, PB 确定的平面为 ? ,且 ? ? ? ? a ∴ PA ? a, PB ? a 又∵ PA, PB 在平面 ? 内,与平面几何中的定理矛盾 所以过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条
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6 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知: P ?α 求证:过点 P 有且只有一个平面β ∥α

证明:过平面α 外一点 P 作直线 l ? α ,再过点 P 作平面β ,使 l ? β ,则α ∥β . 因为过点 P 且与α 平行的平面必与α 的垂线 l 也垂直,而过点 P 与 l 垂直的平面是唯一的,所以过点 P 且与α 平行 的平面只有一个. 三、讲解范例: 知识点:直线和平面垂直的判定 例 1、 如图 SA⊥面 ABC, ∠ABC=90° , AE⊥SB, 且 SB∩AE=E, AF⊥SC, 且 AF∩SC=F, 求证: (1) BC⊥面 SAB; (2) AE⊥面 SBC;(3) SC⊥EF. S F E A B 参考答案 证明:(1) (3) 由(2)有
BC ? AB? ? BC ? SA ? AE ? SC ? ? AF ? SC?

C

? BC⊥面 SAB (2) 由(1)有 ? SC⊥面 AEF ? SC⊥EF

BC ? AE? ? AE ? SB ?

? AE⊥面 SBC

例 2:如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 中点. (1) 求证:MN⊥CD; (2) 若 ? PDA=45° ,求证:MN⊥面 PCD. B

P A M C N D

2

证明:(1) 连 AC 取中点 O,连 NO、MO,并且 MO 交 CD 于 R ∵N 为 PC 中点 ∴NO 为△PAC 的中位线 NO∥PA 而 PA⊥平面 ABCD ∴NO⊥平面 ABCD∴MN 在平面 ABCD 的射影为 MO,又 ABCD 是矩形 M 为 AB 中点,O 为 AC 中点 ∴MO⊥CD ∴CD⊥MN 又 O 为 MR 的中点,且 NO⊥MR

(2) 连 NR,则∠NRM=45° =∠PDA

∴△MNR 为等腰三角形 且∠NRM=∠NMR=45° ∴∠MNR=90° ∴MN⊥NR 又 MN⊥CD ∴MN⊥平面 PCD

例 3: 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 ABC1 D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ;
D1 A1 E B1 C1

D F A B

C

证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B

? ? B1C ? BD1 ? B1C ? 平面ABC1 D1 ? B1C ? BC1 ? (Ⅱ) ?? ? ? EF ? B1C ?? EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?
例 4:已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC , 求证: BC ? AD
A

B1C ? AB

B E C

D

证明:取 BC 中点 E ,连结 AE , DE ,∵ AB ? AC , DB ? DC ,∴ AE ? BC, DE ? BC , ∴ BC ? 平面 AED ,又∵ AD ? 平面 AED ,∴ BC ? AD .
3

知识点:线面垂直的性质 例 5:如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC—A1B1C1 中,AC=AA1=2AB = 2, ?BAC =90 ,点 D 是侧棱 CC1 延
0

长线上一点,EF 是平面 ABD 与平面 A1B1C1 的交线. 求证:EF⊥A1C

四、课堂练习: 1.选择题 如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是( (A) l ?? (B) l ⊥? (C) l ∥? (D) l ??或 l ∥? 参考答案:D 2.填空题 (1)过直线外一点作直线的垂线有 (2)过平面外一点作该平面的垂线有 条;垂面有 条;垂面有 个;平行线有 个;平行线有 条;平行平面有 个. 个. )

条;平行平面有

答案: (1)无数,一,一,无数; (2)一,无数,无数,一 3.能否作一条直线同时垂直于两条相交直线?能否作一条直线同时垂直于两个相交平面?为什么? 答案: (能,而且有无数条)
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(不能)
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4 拿一张矩形的纸对折后略为展开,竖立在桌面上,说明折痕为什么和桌面垂直 答案:因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.

5 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,这条直线垂直于这个平面吗?为什么?
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答案:不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6 过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个?为什么?
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答案: 是.假若有两个平面 ? , ? 过点 A 都于 l 垂直, 过这条公共垂线 l 作一个不经过两平面 ? , ? 的交线的平面 ? ,? 与 ? , ? 分别相交于直线 a, b, a ? b ? l ? A 且 l ? a, l ? b , l , a, b ? ? ,从而有 a ? b ,此与 a ? b ? A 矛盾. 7 如果三条直线共点,且两两垂直,问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面
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答案:是 8 求证:一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等
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4

通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面,叫做这条线段的垂直平分面 五:巩固提高

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1. 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,则四面体 P﹣ABC 中共有( A .4 B.3 )个直角三角形. C.2 ) D.1

2.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则( A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直

B. ω 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C. β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,却不一定存在直线与 m 垂直 3.如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方 形折成一个空间图形,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 H,那么,在这个空间图形中必有( )

A.AG⊥△EFH 所在平面 C. HF⊥△AEF 所在平面 4.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列结论错误的是( A.AC∥平面 A1BC1 C. AD1⊥B1C

B. AH⊥△EFH 所在平面 D.HG⊥△AEF 所在平面 ) B. BC1⊥平面 A1B1CD D.异面直线 CD1 与 BC1 所成的角是 45° )

5.四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥矩形 ABCD,则四棱锥的四个侧面中直角三角形的个数为(

A.4

B.3

C.2

D.1

6.如图,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,给出下列结论:①BC⊥面 PAC;②AF⊥面 PCB;③EF⊥PB;④AE⊥面 PBC.其中正 确命题的个数是( A .1 ) B.2 C.3 D.4 )

7.三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面的射影是底面三角形的(

A.内心

B.外心

C.重心
5

D.垂心

8.三棱锥 P﹣ABC 的高为 PH,若 P 到△ ABC 的三边的距离相等,若 H 在△ ABC 内,则 H 为△ ABC 的( A.内心 B.外心 C.旁心 D.旁心或内心
P



9.已知:点 O 是 ?ABC 的垂心, PO ? 平面ABC ,垂足为 O , 求证: PA ? BC .
A

C O B D

证明:∵点 O 是 ?ABC 的垂心,∴ AD ? BC 又∵ PO ? 平面ABC ,垂足为 O , PA ? 平面ABC ? A 所以,由三垂线定理知, PA ? BC . 10.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心 求证:⑴PH?底面 ABC ⑵△ABC 是锐角三角形.
A H B E C P

证明:⑴∵PA?PB PA?PC 且 PB∩PC=P∴PA?侧面 PBC 又∵BC?平面 PBD ∴PA?BC∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH?BC ∵PA∩AH=A ∴BC?截面 PAH 又 PH?平面 PAH ∴BC?PH 同理可证:AB?PH 又 AB?BC=B ∴PH?面 ABC

⑵设 AH 与直线 BC 的交点为 E,连接 PE 由⑴知 PH?底面 ABC ∴AE 为 PE 在平面 ABC 的射影 由三垂线定理:PE?BC ∵PB?PC 即△BPC 是直角三角形,BC 为斜边
6

∴E 在 BC 边上 由于 AE?BC,故 B∠C 都是锐角 同理可证:∠A 也是锐角 提高参考答案 1∴四面体 P﹣ABC 中直角三角形有△PAC,△PAB,△ABC,△PBC.故选 A. 2.解:作两个相交平面,交线为 n,使直线 m⊥α,假设 β 内一定存在直线 a 与 m 平行, ∵直线 m⊥α,而 a∥m ∴直线 a⊥α,而 a?β ∴α⊥β,这与平面 α 与平面 β 相交不一定垂直矛 ∴直线 m⊥直线 n∴β 内必存在直线与 m 垂直 ∴△ABC 为锐角三角形

盾∴β 内不一定存在直线 a 与 m 平行; ∵直线 m⊥α,n?β 故选 C. 3. B 4.故选 D 5.A

6 解:∵PA⊥⊙O 所在的平面,BC?⊙O 所在的平面 ∴BC⊥面 PAC,故①正确 ∴AF⊥面 PCB,故②正确 ∴PB⊥面 AEF

∴PA⊥BC,而 BC⊥AC,AC∩PA=A

又∵AF?面 PAC,∴AF⊥BC,而 AF⊥PC,PC∩BC=C 而 PB?面 PCB ∴AF⊥PB,而 AE⊥PB,AE∩AF=A

而 EF?面 AEF

∴EF⊥PB,故③正确 ∵AF⊥面 PCB,假设 AE⊥面 PBC 故选 C

∴AF∥AE,显然不成立,故④不正确

7 解:三棱锥的三条侧棱两两垂直,则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面, 则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边, 过顶点向底面做垂线,连接底面顶点和垂足,根据三垂线定理得到底面的高线, ∴射影必是底面三角形的垂心,故选 D. 8 解:三棱锥 P﹣ABC 的高为 PH,若 P 到△ ABC 的三边的距离相等,若 H 在△ ABC 内, 如图:做 PE、PF、PG 分别 垂直 AB,AC,BC,则 PE=PF=PG,连接 HE,HF,HG, 由三垂线逆定理可知 HE⊥AB,HF⊥AC,HG⊥BC,并且△ PHE≌△PHF≌△PHG, 所以 HG=HE=HF,所以 H 为三角形的内心.故选 A. 六、小结 :今天这节课,我们学习了直线和平面垂直的定义,这个定义最初用在判定定理的证明上,但用得较多 的则是,如果直线 l 垂直于平面?,那么 l 就垂直于?内的任何一条直线;对于判定定理,判定线、面垂直,实质是 转化成线、线垂直,从中不难发现立体几何问题解决的一般思路
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