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2011届高考数学第一轮复习导学案:三角函数的图像与性质

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第五课时 三角函数的图像与性质
【学习目标】 1. 能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像。
2. 了解 y ? Asin(?x ? ?),? ? 0 的实际意义。
3. 了解函数的周期性 4. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】
三角函数的图象变换
【学习难点】
三角函数的图象变换
[自主学习] 1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象.

“五点法”作图实质上是选取函数的一个

,将其四等分,分别找到图象的

点,

点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状.

2.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象.

函 数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图 象

注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ⑵ 余弦函数的对称中心为 ⑶ 正切函数的对称中心为

,对称轴为 ,对称轴为


. .

3.“五点法”作 y=Asin(ω x+? )(ω >0)的图象.

令 x'=ω x+? 转化为 y=sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象.

4.函数 y=Asin(ω x+? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系.

振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐

标都

,(A>1)或

(0<A<1)到原来的

倍(横坐标不变)而得

到的.

周期变换:y=sinω x(ω >0,ω ≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横

坐标

(ω >1)或

(0<ω <1)到原来的

倍(纵坐标不变)而得到

的.由于 y=sinx 周期为 2π ,故 y=sinω x(ω >0)的周期为



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相位变换:y=sin(x+? )(? ≠0)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向

( ? >0)或向

(? <0)平移

个单位而得到的.

由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ω x+? )的图象主要有下列两种方法:

相位

周期

振幅

y=sinx 变换

变换

变换



周期

相位

振幅

y=sinx 变换

变换

变换

说明:前一种方法第一步相位变换是向左(? >0)或向右(? <0)平移 个单位.后一种

方法第二步相位变换是向左(? >0)或向右(? <0)平移 个单位.

[典型例析]

例 1. 已知函数 y=Asin(ω x+? )(A>0,ω >0)

⑴ 若 A=3,ω = 1 ,? =- ? ,作出函数在一个周期内的简图.

2

3

⑵ 若 y 表示一个振动量,其振动频率是 2 ,当 x= ? 时,相位是 ? ,求 ω 和? .

?

24

3

例 2.已知函数 y=3sin ( 1 x ? ? ) 24
(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的;
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(3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

例 3.已知函数 f (x) ?

3 sin?xcox?x ? cos 2 ?x ? 3 2

(? ?R, x?R) 的最小正周

期为 π 且图象关于 x ? ? 对称;
6
(1) 求 f(x)的解析式;

(2) 若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在[0, ? ] 上中有一个交点,求实数 a 的范围.
2

例 4 设关于 x 的方程 cos2x+ 3 sin2x=k+1 在[0, ? ]内有两不同根 α ,β ,求 α
2
+β 的值及 k 的取值范围.
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[当堂检测] ⒈把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的 最小值是________________________
⒉把函数 y ? cosx 的图象上的所有点的坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的 两倍,然后把图象向左平移 ? 个单位,则所得图形表示的函数的解析式为___________
4
3 函数 y ? sin(2x ? 5 ? ) 的图象的一条对称轴为___________________
2 4. 把函数 y ? 2 (cos 3x ? sin 3x) 的图象适当变换就可以得到 y ? sin(?3x) 的图象,这种
2 变换可以是______________________
[学后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________
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