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巧用数学归纳法证明不等式


巧用数学归纳法证明不等式
数学归纳法是解决与正整数有关的命题的数学方法, 它是通过有限个步骤的推理, 证明 n 取无限个正整数的情形。 第一步是证明 n 取第一个值 n0 时命题成立,这步是“归纳奠基” ,没有这一就失去了命 题递推的基础,如:有位同学这样用数学归纳法证明 2+4+6+…+2n=n2+n+1(n∈N*) 证明: 假 设 当 n=k 时 , 等 式 2+4+6+ … +2k=k2+k+1 成 立 , 当 n=k+1 时 , 2+4+6+ … +2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=( k2+2k+1)+(k+1)+1,所以 n=k+1 时命题也成立,所以对于 n∈ N*命题都成立。这个等式是不成立的,证明过程中没有验证 n=1 是命题的正确性,因此忽 略了递推的基础导致出错。 第二步是在假设 n=k(k≥n0)成立的基础上,证明 n=k+1 时命题也成立,这步是“归纳递 推” ,没有这一步就失去了递推的依据,如:有位同学在研究数学 {(n2-5n+5)2} 时,发现 n=1,2,3,4 时,都有 an=1,由此,他得出 an=1(n∈N*)。其实 a5=25,这个命题也是不成立的, 证明过程是不完全归纳,没有证明第二步,命题的正确性无法传递下去。 可见,数学归纳法中的两个步骤缺一不可。 利用数学归纳法不仅可以证明与正整数有关的等式问题,整除问题,平面几何问题,还 可以解决不等式的证明问题。 例 1 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知对任意的 n∈N*, 点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1) 求 r 的值; (2) 当 b=2 时 , 记 bn=2(log2an+1)(n ∈ N*) 证 明 : 对 任 意 n ∈ N* , 不 等 式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?… ? n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
分析: (2)要证的不等式为

2 ?1 4 ?1 2n ? 1 ? ?…? ? n ? 1 ,第一步容易验证,第二 2 4 2n

步证明证明 n=k+1 时命题也成立时,需要用到假设 n=k 时的命题,如果只是从左边向右边 推导,需要放缩技巧,不容易证明,如果利用分析法寻找不等式成立的充分条件,问题就迎 刃而解了。 解: (2)由(1)及b=2知an=2 所证不等式为
n-1

,因此bn=2n(n∈N )

*

2 ?1 4 ?1 2n ? 1 ? ?…? ? n ?1 . 2 4 2n

3 ,右式= 2 ,左式>右式,所以,n=1时,命题成立. 2 2k ? 1 2 ?1 4 ?1 * ? k ?1 , ? ?…? ②假设n=k(k≥1,k∈N )时结论成立,即 2k 2 4
①当n=1时,左式= 则当 n=k+1 时,

2 ?1 4 ?1 2k ? 1 2k ? 3 2k ? 3 2k ? 3 ? ?…? , ? ? k ?1 ? ? 2 4 2k 2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 k ? 1

要证 n=k+1 时结论成立,只需证

2k ? 3 2 k ?1

? k ?2,

2k ? 3 ? (k ? 1)( k ? 2) , 2 2k ? 3 k ? 1 k ? 2 ? ? ? (k ? 1)( k ? 2) 由基本不等式得 2 2 2
法一:即证 所以

2k ? 3 2 k ?1

? k ? 2 成立,

所以 n=k+1 时,结论成立. 由①②可知,n∈N*,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?…? n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn

法二:即证 2k ? 3 ? 2 (k ? 1)(k ? 2) ,只需证 (2k ? 3) 2 ? 4(k ? 1)(k ? 2) , 即证 4k2+12k+9≥4(k2+3k+2),即证 9≥8,显然成立, 所以

2k ? 3 2 k ?1

? k ? 2 成立,

所以 n=k+1 时,结论成立. 由①②可知,n∈N*,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?…? n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
2 2

例 2 已知数列{an}中,an≥0,a1=0,a n+1+an+1-1=a n.

求证:当 n∈N 时,an<an+1. 分析:第一步容易验证,第二步是在假设 ak<ak+1 的基础上证明 ak+1<ak+2 成立,这 里没有数列{an}的通项公式, 我们可以考虑作差比较法, 将 “ak<ak+1” 传递至 “ak+1<ak+2” . 解:①当 n=1 时,因为 a 2+a2-1=a 1,又因为 a1=0,an≥0,所以 a2 是方程 a 2+a2-1=0 的正根,所以 a1<a2,所以 n=1 时,命题成立.
②假设当 n=k(k∈N )时,0≤ak<ak+1, 则由 a k+1-a k=( a k+2+ak+2-1)-( a k+1+ak+1-1)=( a k+2-a k+1)+ ( ak+2-ak+1)= ( ak+2-ak+1)
2 2 2 2 2 2
*

*

2

2

2

( ak+2+ak+1+1)>0
因为 ak+2+ak+1+1>0,所以 ak+2-ak+1>0,所以 ak+2>ak+1

即当 n=k+1 时命题也成立.
由①②可知,对于任意 n∈N*,都有 an<an+1 成立. 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时命题成立,推导出 n=k+1 时命题也成立, 在利用假设的同时,一些证明不等式的方法如:分析法、综合法、作差比较法、放缩法等方 法要根据需要灵活运用。


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