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2000-2013年(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)


2013 上海市初中数学竞赛(新知杯)
(2013 年 12 月 8 日 上午 9:00~11:00)

题 得 评 复

号 分 卷 核

一 (1~8)

二 9 10 11 12





一、填空题(每题 10 分) 1.已知 a ?

1 1 ,b ? ,则 a3 ? a ? b3 ? b ? ________ . 2? 7 2? 7

2.已知 l1 // l2 // l3 // l4 , m1 // m2 // m3 // m4 , S ABCD ? 100 , SILKJ ? 20, 则SEFGH ? _______ .

3.已知 ?A ? 90?,AB ? 6, AC ? 8, E、F 在 AB 上且 AE ? 2, BF ? 3 过点 E 作 AC 的平行线交

BC 于 D , FD 的延长线交 AC 的延长线于 G ,则 GF ? __________ .

4.已知凸五边形的边长为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , f ( x) 为二次三项式;当 x ? a1 或者 x ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

1

时, f ( x) ? 5 , 当 x ? a1 ? a2 时, f ( x) ? p, 当 x ? a3 ? a4 ? a5 时, f ( x) ? q ,则 p ? q ? ________ .

5.已知一个三位数是 35 的倍数且各个数位上数字之和为 15,则这个三位数为___________.

6.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ax ? (m ? 1)(m ? 2) ? 0 对于任意的实数 a 都有实数根,则 m 的取 值范围是_________________. 7.已知四边形 ABCD 的面积为 2013, E 为 AD 上一点, ?BCE, ?ABE, ?CDE 的重心分别为

G1 , G2 , G3 ,那么 ?G1G2G3 的面积为________________.

8.直角三角形斜边 AB 上的高 CD ? 3 ,延长 DC 到 P 使得 CP ? 2 ,过 B 作 BF ? AP 交 CD 于 E ,

. 交 AP 于 F ,则 DE ? _________

2

二、解答题(第 9 题、第 10 题 15 分,第 11 题、第 12 题 20 分) 9.已知 ?BAC ? 90 ? ,四边形 ADEF 是正方形且边长为 1,求

1 1 1 ? ? 的最大值. AB BC CA

10.

? xy ? ? ? 11.已知 a 是不为 0 的实数,求解方程组: ? ? xy ? ? ?

x ?a y y 1 ? x a

11.已知: n ? 1, a1 , a2 , a3 ,?, an 为整数且 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 2013,求 n 的 最小值.

12.已知正整数 a、b、c、d 满足 a ? c(d ? 13),b ? c(d ?13), 求所有满足条件的 d 的值.
2 2

3

2012 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
(2012 年 12 月 9 日 上午 9:00~11:00)

题 得 评 复

号 分 卷 核

一 (1~8)

二 9 10 11 12





解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题(每题 10 分,共 80 分)
1. 已知 直线 与 的边 上的高为 ,与边 平行的两条直线 将 的面积三等分,则

之间的距离为_____________。 表示两颗骰子朝上一面的点数之和为 的概率,则 的值为______________。

2. 同时投掷两颗骰子,

3. 在平面直角坐标系 三角形,则点 4. 在矩形 使得 则四边形 5. 使得 6. 平面上一动点

中,已知点

( , ),点

在直线

上,使得

是等腰

的坐标是____________________。 。点 分别在 上, 的面积为 ,

中,

。 是矩形内部的一点, 若四边形 的面积等于_______________。 是素数的整数 共有___________个。 到长为 的线段 所在直线的距离为 ,当

取到最小值时,

_____________。

4

7. 已 知 一 个 梯 形 的 上 底 、 高 、 下 底 恰 好 是 三 个 连 续 的 正 整 数 , 且 这 三 个 数 使 得 多 项 式 ( 是常数)的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数,则这个梯形的面

积为________________。 8. 将所有除以 则 余 和除以 余 的正整数从小到大排成一列,设 ___________。 (这里 表示这数列的前 项的和,

表示不超过实数

的最大整数。 )

二、 解答题(第 9,10 题,每题 15 分,第 11,12 题,每题 20 分,共 70 分)
9. 如图, 知 是正方形 内一点,过点 分别作 ,或者 的垂线,垂足分别为 。 。已

,求证:或者

10. 解方程组



5

11. 给定正实数 ,对任意一个正整数 ,记 最大整数。 (1) 若 (2) 求证: ,求 的取值范围; 。

,这里,

表示不超过实数



12. 证明:在任意

个互不相同的实数中,一定存在两个数

,满足

6

2011 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
题号 得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器
一、 填空题(每题 10 分,共 80 分) 1. 已知关于 x 的两个方程: x ? x ? 3m ? 0??①, x ? x ? m ? 0??②,其中 m ? 0 。若
2 2

(2011 年 12 月 4 日 上午 9:00~11:00) 二 一 (1~8) 9 10 11 12

总分

方程①中有一个根是方程②的某个根的 3 倍,则实数 m 的值是___________。 2. 已知梯形 ABCD 中, AB // CD , ?ABC ? 90? , BD ? AD , BC ? 5 , BD ? 13 ,则梯形

ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 6 张卡片中任意抽取 3 张,则抽出卡片的编号都大于等 于 2 的概率为______________。 4. 将 8 个数 ? 7 , ? 5 , ? 3 , ? 2 , 2 , 4 , 6 , 13 排列为 a , b , c , d , e , f , g , h , 使得 ?a ? b ? c ? d ? ? ?e ? f ? g ? h? 的值最小,则这个最小值为____________。
2 2

5.

已知正方形 ABCD 的边长为 4 ,E ,F 分别是边 AB ,BC 上的点, 使得 AE ? 3 ,BF ? 2 , 线段 AF 与 DE 相交于点 G ,则四边形 DGFC 的面积为_____________。

6.

在等腰直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , P 是 ? ABC 内一点,使得 PA ? 11 , PB ? 7 ,

PC ? 6 ,则边 AC 的长为______________。
7. 有 10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) ,规定获胜得 2 分,平局得 1 分,负 得 0 分。比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同,且第 2 名的得分是最后五名选手的得分 和的 8.

4 ,则第 2 名选手的得分是_________。 5

已知 a ,b ,c ,d 都是质数(质数即素数,允许 a ,b ,c ,d 有相同的情况) ,且 abcd 是 35 个连续正整数的和,则 a ? b ? c ? d 的最小值为_________。

7

二、 解答题(第 9 , 10 题,每题 15 分,第 11 , 12 题,每题 20 分,共 70 分) 9. 如图,矩形 ABCD 的对角线交点为 O ,已知 ?DAC ? 60? ,角 DAC 的平分线与边 DC 交于 点 S ,直线 OS 与 AD 相交于点 L ,直线 BL 与 AC 相交于点 M。求证: SM // LC 。 解
L

D

S M O

C

A

B

10. 对 于 正 整 数 n , 记 n! ? 1 ? 2 ? ?? n 。 求 所 有 的 正 整 数 组 ?a, b, c, d , e, f ? , 使 得

a! ? b!? c!? d !? e!? f ! ,且 a ? b ? c ? d ? e ? f 。


2 2 11.(1)证明:存在整数 x , y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2022; 2 2 (2)问:是否存在整数 x , y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2011 ? 证明你的结论。



8

12.对每一个大于 1 的整数 n , 设它的所有不同的质因数为 p1 ,p2 ,...,pk , 对于每个 pi ?1 ? i ? k ? , 存在正整数 ai ,使得 pi i ? n ? pi
a a i ?1



记 p?n? ? p1

a1

a a ? p2 2 ? ? ? pk k 例如, p?100? ? 26 ? 5 2 ? 89 。

(1)试找出一个正整数 n ,使得 p?n? ? n ; (2)证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p?n? ? 1.1n 。 解

9

2010 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分) 1. 已知 x ?

1 1 1 ? 3 ,则 x10 ? x 5 ? 5 ? 10 ? _________。 x x x
2 2

2. 满足方程 ?x ? 3? ? y 2 ? ?x ? y ? ? 3 的所有实数对 ?x,y ? 为__________。

?C ? 90 ,BC ? 6,CA ? 3 , 3. 已知直角三角形 ABC 中, CD 为 ?C 的角平分线, 则_________。
?

4. 若前 2011 个正整数的乘积 1 ? 2 ? ? ? 2011 能被 2010 整除, 则正整数 k
k

y

的最大值为________。 5. 如图, 平面直角坐标系内, 正三角形 ABC 的顶点 B, C 的坐标分别为 (1, 0) , (3,0) ,过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB,AC 交于点 M,N, 若 OM=MN,则点 M 的坐标为_________。

A M N C x

O

B

6. 如图,矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,使得 AE=2, BF=5, DG=3, AH=3, 点 O 在线段 HF 上, 使得四边形 AEOH 的面积为 9, 则四边形 OFCG 的面积是_________。

0 且关于 x 的一元二次方程 7. 整 数 p,q 满 足 p ? q ? 2 0 1 ,

A E

H

D

67x 2 ? px ? q ? 0 的两个根均为正整数,则 p ? ________。

O

G C

8. 已知实数 a,b,c 满足 a ? b ? c,a ? b ? c ? 0 且 a ? 0 。设 x1,x2 是 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 个 实 数 根 , 则 平 面 直 线 坐 标 系 内 两 点
2

B

F

A

A?x1,x2 ?,B?x2,x1 ? 之间的距离的最大值为_______。
9. 如图,设 ABCDE 是正五边形,五角星 ACEBD(阴影部分)的面积为 1,设 AC 与 BE 的交点为 P,BD 与 CE 的交点为 Q,则四边形 APQD 的 面积等于_______。 10. 设 a,b,c 是整数,1 ? a ? b ? c ? 9 ,且 abc? bca ? cab ? 1 能被 9 整除,则 a ? b ? c 的最小值是_________,最大值是__________。
B P E

Q C D

二、 解答题(每题 15 分,共 60 分) 11. 已知面积为 4 的 ?ABC 的边长分别为 BC ? a,CA ? b,AB ? c,c ? b , AD 是 ? A 的角平分 线,点 C ' 是点 C 关于直线 AD 的对称点,若 ?C ' BD 与 ?ABC 相似, 求 ?ABC 的周长的最小值。 A
10

C' B D C

12. 将 1,2,…,9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中,使得 三位数 abc, 求三位数 ceg 的 def , ghi, beh, cfi 和 aei 都能被 11 整除, 大值

a b c d e f g h i

7个 最

13. 设实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,且 ?x ? y ? ? ? y ? z ? ? ?z ? x? ? 2 ,求 x 的最大值和最
2 2 2

小值

b 形式的数为“好数”,其中 a, b 都是整数 14. 称具有 a ? 161
2 2

(1)证明:100,2010 都是“好数”。 (2)证明:存在正整数 x, y ,使得 x
161

? y161 是“好数”,而 x ? y 不是“好数”。

11

2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题 (2009年12月6日)
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、对于任意实数a,b,定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5,则实数a的值 是 。

2、在三角形ABC中, AB ? b2 ?1, BC ? a2 , CA ? 2a ,其中a,b是大于1的整数, 则b-a= 。

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能 是 。

4、已知关于x的方程 x4 ? 2x3 ? (3 ? k ) x2 ? (2 ? k ) x ? 2k ? 0 有实根,并且所有实根 的乘积为?2,则所有实根的平方和为 。
B P

E

5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边 AB上一动点。PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小 值为 。
C F
第 五题 图

A

6、设a,b是方程 x2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根,c,d是方程 x2 ? 86 x ? 1 ? 0 的两个根, 则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。

12

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx?1 的图像与线段 PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

8方程xyz=2009的所有整数解有

组。

9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。设AD,BC 延长线交于E ,则∠AEB= 。

D
A

C

D

M
B C
第 九题 图

E

A 第 十题 图

B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10,点M 在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。

二、 (本题15分) 如图, ΔABC 中∠ACB =90°, B 点D在CA上, 使得CD=1, AD=3, 并且∠BDC=3 ∠BAC,求BC的长。
C A D 第 二大 题 图

13

三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数 abcd , abcd ? (ab ? cd )2 其中 数字c可以是0。

四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两 两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。

五、 (本题15分) 若两个实数a,b,使得, a 2 ? b 与 a ? b2 都是有理数, 称数对(a,b) 是和谐的。 ①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数; ③证明:若(a,b)是和谐的,且 是有理数,则a,b都是有理数;
a b

14

2008 年新知杯上海市初中数学竞赛
一、填空题: 1、如图:在正 ? ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、 CA 上,使得 CD ? AE , AD 与 BE 交于点

P , BQ ? AD 于点 Q .则

QP ? _____________. QB

C Q E P A D

B

2、不等式 x 2 ? 2 x ? 6 ? a 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________.

3、设 a n 表示数 n 的末位数.则 a1 ? a 2 ? ? ? a 2008 ? _____________.
4

4、在菱形 ABCD 中, ?A ? 60 ? , AB ? 1 ,点 E 在边 AB 上,使得 AE : EB ? 2 : 1 , P 为对 角线 AC 上的动点.则 PE ? PB 的最小值为_____________.

5、关于 x 的方程

ax 2 ? 2a ? a 2 ? 1 的解为_____________. x ?1

6、如图:设 P 是边长为 12 的正 ? ABC 内一点,过 P 分别作三条边 BC 、 CA 、 AB 的垂线,垂 足 分 别 为 D 、 E 、 F . 已 知 PD : PE : PF ? 1 : 2 : 3 . 那 么 , 四 边 形 BDPF 的 面 积 是 _____________.

A

F
15

P D

E C

B

7、对于正整数 n ,规定 n! ? 1 ? 2 ? ? ? n .则乘积 1!?2!?? ? 9! 的所有约数中,是完全平方数的共 有_____________个.

8、已知 k 为不超过 2008 的正整数,使得关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有两个整数根.则所有这样
2

的正整数 k 的和为_____________.

9、如图:边长为 1 的正 ?A1 B1C1 的中心为 O ,将正 ?A1 B1C1 绕中心 O 旋转到 ?A2 B2 C 2 ,使得

A2 B2 ? B1C1 .则两三角形的公共部分(即六边形 ABCDEF )的面积为_________.
A2 A1 A F B E B1 C B2 D C1 C2

10、如图:已知 ?BAD ? ?DAC ? 9? , AD ? AE ,且 AB ? AC ? BE .则 ?B ? _____________.

A

B D C

E

16

二、如图:在矩形 ABCD 内部(不包括边界)有一点 P ,它到顶点 A 及边 BC 、 CD 的距离都等 于 1,求矩形 ABCD 面积的取值范围.

D

F

C E B

A

P

?x ? 2y ? 0 ? 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件: ? x ? 2 y ? 0 ,求 x ? y 的最小值. ?? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 ?

17

四、 如图: 在凹六边形 ABCDEF 中,? A 、? B 、?D 、?E 均为直角, p 是凹六边形 ABCDEF 内一点, PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ,垂足分别为 M 、 N ,图中每条线段的长度如图所示 (单位是米) ,求折线 MPN 的长度(精确到 0.01 米).

五、 求满足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 的最大正整数 n , 其中 ? x ? 表示不超过实数 x 的最 2 3 11 13 大整数.

?n? ? ?

?n? ? ?

?n? ? ?

?n? ? ?

18

19

20

2006 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 题,每题 10 分,共 90 分) 1、 如图,在△ ABC 中, ?A ? 70 °, ?B ? 90 °,点 A 关于 BC 的对称点是 A? ,点 B 关于 AC 的对称点是 B ? ,点 C 关于 AB 的对称点是 C ? ,若△ ABC 的面积是 1,则 △ A?B ?C ? 的面积是________________.

B'

A
A C

B
B C'
第 1 题图

D E C F
第 3 题图

A'

? 2a ? b ? c ? d ? e ? f ? 20, ? a ? 2b ? c ? d ? e ? f ? 40, ? ? ? a ? b ? 2c ? d ? e ? f ? 80, 2、 已知实数 a、b、c、d、e、f 满足如下方程组 ? , a ? b ? c ? 2 d ? e ? f ? 160 , ? ?a ? b ? c ? d ? 2e ? f ? 320, ? ? ?a ? b ? c ? d ? e ? 2 f ? 640.
则 f ? e ? d ? c ? b ? a 的值是_______________. 3、 如图, 菱形 ABCD 中, 顶点 A 到边 BC ,CD 的距离 AE, AF 都为 5,EF ? 6 , 那么菱形 ABCD 的边长为________________. 4、 已知二次函数 y ? x ? x ? a 的图像与 x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过 5,则 a
2

的取值范围是__________________. 5、 使得 n ? 1 能整除 n
2006

? 2006的正整数 n 共有_____________个.
7 的所有实数解为_________. 2

6、 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,方程 ?2 x ? ? ?3 x ? ? 8 x ?

21

7、 如图, ABCD 为直角梯形( ?B ? ?C ? 90 °) ,且 AB ? BC ,若在边 BC 上存在一点 M , 使 得 △ A M D为 等 边 三 角 形 , 则

CD 的 值 为 AB

D

C

_________________.

A' A
M A
第 7 题图

h B B'
第 8 题图

h h C C'

B

8、 如图,△ ABC 的面积为 S ,周长为 p ,△ A?B ?C ? 的三边在△ ABC 外,且与对应边的距离均 为 h ,则△ A?B ?C ? 的周长为______________,面积为_______________. 9、 n(? 1) 个整数(可以相同) a1 , a2 ,?an 满足a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an ? 2007,则 n 的最 小值是________________. 10、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列: a1 , a2 ,?, an ,? ,例如:

a1 ? 22 ? 12 ? 3, a2 ? 32 ? 22 ? 5, a3 ? 42 ? 32 ? 7, a4 ? 32 ? 12 ? 8,?,
a1 ? a2 ? ? ? a99 ? a100 的值是___________________.
二、 (本题 20 分)







如图,已知半径分别为 1,2 的两个同心圆,有一个正方形 ABCD ,其中点 A, D 在半径为 2 的 圆周上,点 B, C 在半径为 1 的圆周上,求这个正方形的面积.

O

第二题图
22

三、 (本题 20 分) 关于 x、 y、 z 的方程组 ?

? 3 x ? 2 y ? z ? a, 有实数解 ( x, y, z ) ,求正实数 a 的最小值. ? xy ? 2 yz ? 3zx ? 6

四、 (本题 20 分) 设 A 是给定的正有理数. (1) 若 A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积, 证明: 一定存在 3 个正有理数 x、 y、 z , 使得 x ? y ? y ? z ? A .
2 2 2 2

(2) 若存在 3 个正有理数 x、 y、 z ,满足 x ? y ? y ? z ? A ,证明:存在一个三边长都是
2 2 2 2

有理数的直角三角形,它的面积等于 A .

23

2005 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷 (2005 年 12 月 11 日 题号 得分 评卷 复核 解答本试卷不得使用计算器 一、填空题: (本大题 10 小题,前 5 题每题 8 分,后 5 题每题 10 分,共 90 分) 1.在小于 100 的正整数 n 中,能使分数 有可能值是 。
1 化为十进制有限小数的 n 的所 (3n ? 32)(4n ? 1)

上午 9:00——11:00) 三 四 总分





2.将数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 按某种次序写成一个九位数:

abcdefghi, 令A ? abc ? bcd ? cde ? def ? efg ? fgh ? ghi ,则 A 的最大可能值是
。 3.如果一个两位数 X 5 与三位数 3YZ 的积是 29400,那么 X+Y+Z= #. 已知 a, b, x, y 都为实数, 且 y? 值为 。 18 。 的

x ? 2 ? 1 ? a 2 , x ? 4 ? 3 y ? 3 ? b2 , 则 a ?b ?x ? y
y C A 1 O D

5.如图:△OAB 的顶点 O(0,0) ,A(2,1) , B(10,1) ,直线 CD ? X 轴,并且把△OAB 面积二等分,若点 D 的坐标为(x,0) ,则 x 的值是 。

B 10 x

6.如果两个一元二次方程 x2 ? x ? m ? 0与mx2 ? x ? 1 ? 0 分别有两个不相同的实根,但其 中有一个公共的实根 ? ,那么实根 ? 的大小范围是 7.如图:在梯形 ABCD 中,AB∥DC,DC=2AB=2AD, 若 BD=6,BC=4,则 SABCD= 。
D C


A B

(SABCD 表示四边形 ABCD 的面积,下同)

24

8.如图,? ABCD 中,点 M、N 分别是边 BC、DC AN=1 , AM=2 , 且 ∠ MAN=60 ° , 则 AB 的 长
D

A

B M N C

的中点, 是
A



#如图:△ABC 中,点 E、F 分别在这 AB、AC 上,EF∥
E

BC,若 S△ABC=1,S△AEF=2S△EBC,则 S△CEF=


B

F

C

10.设 P 为质数,且使关于 x 的方程 x2-px-580p=0 有两个整数根, 则 p 的值为 二、 (本题 20 分) 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b,是否存在另一个矩形 A’B’C’D’,使它的周长
1 和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 ?证明你的结认论。 3



三、 (本题 20 分) 已知 a、b、c 都是大于 3 的质数,且 2a ? 5b ? c 。 (1)求证:存在正整数 n>1,使所有满足题设的三个质数 a、b、c 的和 a+b+c 都能被 n 整除; (2)求上一小题中 n 的最大值。

25

四、 (本题 20 分) 如图:在 Rt△ABC 中,CA>CB,∠C=90°,CDEF、KLMN 是△ABC 的两个内接 正方形,已知 SCDEF=441,SKLMN=440,求△ABC 的三边长。

B M E F N C K D A L

26

2004 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(前 5 题每题 6 分,后 5 题每题 8 分,共 7 O 分) 1.若关于 x 的二次方程 x2+(3a-1)x+a+8=0 有两个不相等的实根 x1、x2,且 x1<1,x2>1,则实数 a 的取值范围是 . 2.方程

1 2 3 ? ? =3 的解是 5? x 4? x 3? x



3.一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的 2 倍;又若这二位数加上 9,则得到的和 恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的 2 倍;原二位数是 4.如图,△ABC 中,CD、CE 分别是 AB 边上高和中线,CE=BE=1,又 CE 的中垂线过点 B, 且交 AC 于点 F,则 CD+BF 的长为 .

5. 如图, 分别以 Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、 BCYX、 DEZY, 若直角边 YZ=1,XZ=2,则六边形 ABCDEF 的面积为 .

6.如图,正方形纸片 ABCD 的面积为 1,点 M、N 分别在 AD、BC 上,且 AM=BN=2/5,将 点 C 折至 MN 上,落在点 P 的位置。折痕为 BQ(Q 在 CD 上),连 PQ,则以 PQ 为边长的正 方形面积为 .

7.三个不同的正整数 a、b、c,使 a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数,则 a、 b、c 是 . 8.若实数 a、b、c、d 满足 a2+b2+c2+d2=10,则 y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2 的 最大值是 . 9.已知实系数一元二次方程 ax2+2bx+c=O 有两个实根 x1、x2,若 a>b>c,且 a+b+c=0,则 d=|x1-x2|的取值范围为 . 1O. 如图, △ABC 中。 AB=AC, 点 P、 Q 分别在 AC、 AB 上, 且 AP=PQ=QB=BC, 则∠A 的大小是 .

27

二、(本题 16 分)如图 PQMN 是平行四边形 ABCD 的内接四边形

(1)若 MP∥BC,NQ∥AB,求证:S 四边形 PQMN=

1 S□ABCD; 2

(2)若 S 四边形 PQMN=

1 2

□ABCD

,问是否能推出 MP∥Bc 或 NQ∥AB?证明你的结论.

三、(本题 l 6 分)设 n 是正整数,d1<d2<d3<d4 是 n 的四个最小的正整数约数,若 n=d12+d22+d32+d42, 求 n 的值.

四、(本题 l 8 分)如图,已知△ABC,且 S△ ABC=1,D、E 分别是 AB、AC 上的动点,BD 与 CE 相交于 点 P,使 SBCDE=

16 S△ BPC,求 S△ DEP 的最大值. 9

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2003 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题
(2003 年 12 月 7 日 上午 9∶00~11∶00) 解答本试卷不得使用计算器. 一、填空题(本大题 10 小题,前 5 题每题 6 分、后 5 题每题 8 分,共 70 分.) 1、设曲线 C 为函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象,C 关于 y 轴对称的曲线为 C1,C1 关于 x 轴对称 的曲线为 C2,则曲线 C2 是函数 y =________的图象. 2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是 1 元。一天学生小王欲购这种铅笔,发现甲、乙两商店都让利优 惠:甲痁实行每买 5 支送 1 支(不足 5 支不送) ,乙店实行买 4 支或 4 支以上打 8.5 折,小王买 13 支这种铅笔,最少需要化_____元。 3、已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=0, a ? b ? c ? 0.1 ,则 a ? b ? c 的值是___.
2 2 2 4 4 4

4、已知凸四边形 ABCD 的四边长为 AB=8,BC=4,CD=DA=6,则用不等式表示∠A 大小的范 围是______。 5、在 1,2,3,?,2003 中有些正整数 n,使得 x ? x ? n 能分解为两个整系数一次式的乘积,则
2

这样的 n 共有_____个。 6、设正整数 m,n 满足 m < n,且 ____。 7、数 1,2,3,?, k 按下列方式排列: 1 2
2

1 ? 1 ? ? ? 2 1 ? 1 ,则 m ? n 的值是 m2 ? m ? m ? 1?2 ? ? m ? 1? n ? n 23

k ?1

k?2
??

? ?

k 2k

? k ?1? k ?1 ? k ?1? k ? 2

?

k2

任取其中一数,并划去该数所在的行与列;这样做了 k 次后,所取出的 k 个数 的和是___。 8、如图,边长为 1 的正三角形 ANB 放置在边长为 MN=3,NP=4 的正方形 MNPQ 内,且 NB 在边 NP 上。若正三角形在长方形内沿着边 NP、PQ、 QM、MN 翻转一圈后回到原来起始位置,则顶点 A 在翻转过程中形成轨 迹的总长是_____(保留π ) 。

9、如图,△ABC 中,AB=BC=10,点 M、N 在 BC 上,使得 MN=AM=4,∠MAC= ∠BAN,则△ABC 的面积是____。 10、△ABC 中,∠C=3∠A,AB=10,BC=8,则 AC 的长是____。

二、 (本题 16 分)
29

2 若关于 x 的方程 4 x ? 2mx ? n ? 0 的两个实数根都大于 1, 且小于 2, 求m, m ,n 均为正整数,

n 的值。

三、 (本题 16 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M、N 分别在 BC、CD 上,使得△CMN 的周长为 2。求 (1)∠MAN 的大小; (2)△MAN 面积的最小值。

四、 (本题 18 分) 某学生为了描点作出函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量的 7 个值: x1 ? x2 ? ? ? x7 ,且

x2 ? x1 ? x3 ? x2 ? ?? x7 ? x6 ,分别算出对应的 y 的值,列出下表:
x y x1 51 x2 107 x3 185 x4 285 x5 407 x6 549 x7 717

但由于粗心算错了其中一个 y 值。请指出算错的是哪一个值?正确的值是多少?并说明理由。

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2002 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 一、填空题(1~5 题每小题 6 分,6~10 题每小题 8 分,共 70 分) 1.在 2002 当中嵌入一个数码组成五位数 20□02.若这个五位数能被 7 整除,则嵌入的数码“□” 是 . 3 2 2.若实数 a 满足 a <a<a ,则不等式 x+a>1-ax 解为 . 3.如图,一张矩形纸片沿 BC 折叠,顶点 A 落在点 A’处,第二次过 A’ 再 折 叠,使折痕 DE∥BC 若 AB=2,AC=3,则梯形 BDEC 的面积为 . 2 4.已知关于正整数 n 的二次式 y=n +an(n 为实常数).若当且仅当 n=5 时 , y 有最小值,则实数 n 的取值范围是 . 5.如图,在平面直角坐标系中有一个正方形 ABCD,它的 4 个顶点为 A(10, O) 、 B(0, 10)、 C(-10, O)、 D(O, -10), 则该正方形内及边界上共有 个 整 点 (即纵、横坐标都是整数的点). 6.如图,P 为△ABC 形内一点,点 D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上.过 A、B、 C 分别 作 PD、PE、PF 的平行线,交对边或对边的延长线于点 X、Y、Z.若

PF PD 1 PE 1 ? , ? ,则 = CZ AX 4 BY 3
7.若△ABC 的三边两两不等,面积为 和 2,则中线 CF 的长为 8.计算:

15 ,且中线 AD、BE 的长 3

分别为 1

12 22 k2 992 ? ? ? ... ? ? 12 ? 100? 5000 2 2 ? 200? 5000 k 2 ? 100k ? 5000 992 ? 9900? 5000
9.若正数 x、y、z 满足 xyz(x+y+z)=4,则(x+y)(y+z)的最小可能值为 lO. 若关于 x 的方程 x ?
2

14 2 1 x ? ? c 恰有两个不同的实数解, 则实数 a 的取值范围是 2 3
2 2



二、(16 分)已知 p 为质数,使二次方程 x -2px+p -5p-1=0 的两根都是整数.求出 p 的所有可能 值. 三、(16 分)已知△XYZ 是直角边长为 l 的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的 3 个顶点分别在等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上.求△ABC 直角边长的最大可能值. 四、(18 分)平面上有 7 个点,它们之间可以连一些线段,使 7 点中的任意 3 点必存在 2 点有线段相 连.问至少要连多少条线段?证明你的结论.

四、(1)若 7 个点中,有一点孤立(即它不与其他点连线),则剩下 6 点每 2.点必须连线,此
31

时至少要连 1 5 条. (2)若 7 点中,有一点只与另一点连线,则剩下 5 点每 2 点必须连线,此时至少要连 11 条. (3)若每一点至少引出 3 条线段,则至少要连 21/2 条线段.由于线段数为整数,故此时至少要 连 1 1 条. (4)若每点至少引出 2 条线段,且确有一点(记为 A)只引出 2 条线段 AB、AC,则不与 A 相连的 4 点每 2 点必须连线,要连 6 条.由 B 引出的线段至少有 2 条,即除 BA 外还至少有一条.因此,此时 至少要连 6+2+1=9 条.图中所给出的是连 9 条线的情况.综合(1)~(4),至少要连 9 条线段,才能 满足要求.

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2000 年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分.) 1.如图,已知□ABCD 中,过点 B 的直线顺次与 AC、AD 及 CD 的延长线相交于点 E、F、 G.若 BE=5,EF=2,则 FG 的长是 . 2.有四个底面都是正方形的长方体容器 A、B、C、D,已知 A、B 的底面边长均为 3, C、D 的底面边长均为 a,A、C 的高均为 3,B、D 的高均为 a,在只知道 a≠3,且不考 虑容器壁厚度的条件下,可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3 3,若 n 的十进位制表示为 99??9(20 个 9),则 n 的十进位制表示中含有数码 9 的个数是 . 4.在△ ABC 中,若 AB=5,BC=6,CA=7,H 为垂心,则 AH 的长为 . 5.若直角三角形两直角边上中线的长度之比为 m,则 m 的取值范围是 . 6.若关于 x 的方程|1-x|=mx 有解,则实数阴的取值范围是 7.从 1 000 到 9 999 中,四个数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位数有 个. 8.方程

1 1 1 3 ? - 2 ? 的整数解(x,y)= x y xy 4
BM = BA

9.如图,正△ABC 中,点 M、N 分别在 AB、AC 上,且 AN=BM,BN 与 CM 相交于点 O.若 S△ABC=7,S△OBC=2 则

10.设 x、y 都是正整数,且使 x - 116 ? x ? 100 =y。则 y 的最大值为 二、(16 分)求所有满足下列条件的四位数:能被 111 整除,且除得的商等于该四位数的各位数 之和. 三、(16 分)(1)在 4×4 的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后画去其中 2 行与 2 列.若无 论怎样画,都至少有一个红色的小方格没有被画去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论. (2)如果把上题中的“4×4 方格纸”改成“n×n 的方格纸(n≥5)” ,其他条件不 变,那么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论 四、(18 分)如图,ABCD 是一个边长为 l 的正方形,U、V 分别是 AB、CD 上的点, AV 与 DU 相交于点 P,BV 与 CU 相交于点 Q.求四边形 PUQV 面积的最大值.

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