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辽宁省沈阳二中2013届高三第四阶段测试(数学理)


沈阳二中 13 届(高三理)第四阶段测试 数学试题
命题人:高三数学组 说明:1. 测试时间:120 分钟 总分:150 分

2. 客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸上。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本小题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 (1) 若 X ~ B(n, p) ,且 E ( X ) ? 6 , D( X ) ? 3 ,则 P( X ? 1) 的值为( (A) )

1 16

(B)

3 210

(C)

1 218

(D)

3 4

(2) 一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余 的是黑球,若从中任取两个球,在取到的都是红球的前提下,且至少有 1 个球的号码是偶 数的概率是( (A) ) (B)

1 5

4 5

(C)

17 22

(D)

2 11

? y ≥ x, ? (3) 设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为( ) ? x ≥ ?2. ? (A) ?2 (B) ?4 (C) ?6 (D) ?8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) 设向量 a =(1,-3), b =(-2,4), c =(-1,-2), 若表示向量 4 a ,4 b -2 c ,2( a - c ), d 的有向
线段首尾相连能构成四边形,则向量 d 为( (A) (2,6) (B) (-2,6)

?

) (D) (-2,-6)

(C) (2,-6)

(5) 为了得到函数 y = sin ( 2x-

? )的图像,可以将函数 y = cos 2x 的图象( ) 6 ? ? (A) 向右平移 个单位长度 (B) 向右平移 个单位长度 6 3 ? ? (C) 向左平移 个单位长度 (D) 向左平移 个单位长度 6 3
2

(6) 设 p:x -x-20>0,q: (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件

1? x2 <0,则 p 是 q 的( x ?2



(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

-1-

(7) 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的 全面积(单位:cm2)为( )

(A) 36+12 2

(B) 48+24 2

(C) 48+12 2

(D) 36+24 2

(8) 阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100, 则输出的变量 S 和 T 的值依次是( )
开始

输入

n

(A) 2500,2500

S

? 0,T ? 0
n?2




(B)

2550,2500

s ? s?n

(C) 2500,2550

n ? n ?1 T ?T ?n

输出 S,T 结束

(D)

2550,2550

n ? n ?1

(9) 已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4} ,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标 系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) (A) 33 (B) 34 (C) 35 (D)36 (10) 设抛物线 y2 = 8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的 斜率的取值范围是( ) (A) [-

1 1 , ] 2 2

(B) [-2 , 2 ]

(C) [-1 , 1 ]

(D) [-4 , 4 ]

x (11) 已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称,

记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ?1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的取 值范围是( (A) [2,??) ) (B) (0,1) ? (1,2) (C) (0, ]

1 2

1 2

(D) [ ,1)

1 2

-2-

(12) 幂指函数 y ? [ f ( x)]g ( x) 在求导时,可运用对数法:在函数解析式两边求对数得
ln y ? g ( x) ? ln f ( x) ,两边同时求导得
y' f ' ( x) ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ,于是 y f ( x)

1 ? f ' ( x) ? x y ' ? [ f ( x)] g ( x ) ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ? 。运用此方法可以探求得知 y ? x 的一个单调递 f ( x) ? ?

增区间为( A. (0,2)

) B. (2,3) C. (e,4) D. (3,8)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 (13) 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选 该课的一些学生情况,具体数据如下表。为了 检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表 中的数据,得到 性别 男 女 专业 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

?2 ?

50(13 ? 20 ? 10 ? 7) 2 ? 4.84 23 ? 27 ? 20 ? 30

因为 ? 2 ? 3.841 ,所以断定主修统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性为 (14) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布 直方图(如图) 。为了分析居民的收入与年龄、学 历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用 分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000] (元)月收入段应抽出 人。 (15) 已知 ? x 2 ?
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001



月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

? ?

i ? ? 的展开式中第三项与第五项的 x?
3 2 ,其中 i =-1,则展开式中常数项是 14

n

系数之比为-


D C

(16) 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2, ∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P, 则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为 。

A

E

B

三、解答题:本小题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ? (17) (本小题满分 10 分) ?ABC 中, A, C 的对边分别是 a , b, c , 在 角 B, 已知向量 m ? (cos A, cos B) , ? ? ? n ? (a,2c ? b) ,且 m // n 。 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 4 ,求 ?ABC 面积的最大值。

-3-

(18) (本小题满分 12 分)袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个 小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ? 表示 取出的 3 个小球上的最大数字,求: (I)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (II)随机变量 ? 的分布列和数学期望; (III)计分介于 20 分到 40 分之间的概率
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(19) (本小题满分 12 分)右图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面 所 截 得 到 的 几 何 体 , 截 面 为 ABC
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A C O

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已 知 A B1 ? B1 C1 1 , ? 1
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?A1B1C1 ? 90? , AA1 ? 4 , BB1 ? 2 , CC1 ? 3

B
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(I)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC ∥ 平面 A1B1C1 ; (II)求二面角 B ? AC ? A1 的大小;

A1 B1

C1

(20)(本小题满分 12 分)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和 S n ? 0 (n ? 1,2,?) 。 (I)求 q 的取值范围; (II)设 bn ? a n ? 2 ?

3 a n ?1 ,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 与 Tn 的大小。 2

(21)(本小题满分 12 分)双曲线 C 与椭圆
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x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一 8 4

条渐近线 (I)求双曲线 C 的方程; (II)过点 P(0,4)的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不重合) 。
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当 PQ = ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

8 时,求 Q 点的坐标 3

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(22)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 。 x ? bx (b 为常数) 2

(Ⅰ)函数 f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线与函数 g (x) 的图象相切,求实数 b 的值; (Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 h(x) 在定义域上存在单调减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)若 b ? 1 ,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 b 的取值范围。

-4-

沈阳二中 13 届(高三理)第四阶段测试 数学参考答案
一、选择题: (1)B (7)C (2)B (8)B (3)D (9)A (4)D (10)C (5)B (11)C (6)A (12)A

二、填空题: (13)5%(或 0.05) 三、解答题: (17) 解: (Ⅰ)因为 m// n ,所以 a cos B ? (2c ? b) cos A ? 0 ,由正弦定理 得 sin A cos B ? (2 sin C ? sin B) cos A ? 0 , 所以 sin(A ? B) ? 2 sin C cos A 。????????3? 又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2 sin C cos A , 因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 , 所以 cos A ?
? ?

(14)25

(15)45

(16)

6? 8

1 ? ,又 0 ? A ? ? ,所以 A ? 。????5? 2 3

(Ⅱ)由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 所以 16 ? b2 ? c 2 ? bc ? bc ,所以 bc ? 16 , 当且仅当 b ? c ? 4 时,上式取“=”????????8?

1 所以 ?ABC 面积为 S ? bc sin A ? 4 3 , 2
所以 ?ABC 面积的最大值为 4 3 。??????10? (18)解: (I)解法一: “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A , 则 P( A) ?
3 1 1 1 C5 ? C2 ? C2 ? C2 2 ? 3 C10 3

解法二: “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”“一次取出 , 的 3 个小球上有两个数字相同” 的事件记为 B , 则事件 A 和事件 B 是 互斥事件,因为 P( B) ?
1 2 1 C5 ? C2 ? C8 1 ? 3 C10 3

所以 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

1 2 ? 3 3
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??????3?

(II)由题意 ? 有可能的取值为:2,3,4,5

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-5-

P(? ? 2) ?

2 1 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? C2 1 ? ; 3 C10 30 2 1 1 2 C4 ? C2 ? C4 ? C2 2 ? ; 3 C10 15

P(? ? 3) ?

2 1 1 2 C6 ? C2 ? C6 ? C2 3 P(? ? 4) ? ? ; 3 C10 10 1 1 2 C82 ? C2 ? C8 ? C2 8 ? ; 3 C10 15

P(? ? 5) ?

所以随机变量ξ 的分布列为 2 3 ξ

4

5

P

1 30

2 15

3 10

8 15

因此 ? 的数学期望为

1 2 3 8 13 ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ??????9? 30 15 10 15 3 (III) “一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C ,则 2 3 13 P(C ) ? P(? ? 3或? ? 4) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ? ? ? 15 10 30 E (? ) ? 2 ?
? ? ? ? ? ? ? ? 12? (19) (I)证明:作 OD ∥ AA1 交 A1B1 于 D ,连 C1D 则 OD ∥ BB1 ∥CC1
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因为 O 是 AB 的中点, 所以 OD ?

1 ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 2

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则四边形 ODC1C 是平行四边形, 因此有 OC ∥C1D
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C1D ? 平面 C1B1 A1
且 OC ? 平面 C1B1 A1 , 则 OC ∥ 平面 A1B1C1
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????????6?

(II)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系,

1, 0, ,3) 则 A(0,4) , B(0, 2) , C (1 0, ,
-6-

??? ? ??? ? AB ? (0,1 ? 2) , BC ? (1 0, , ?, ,1)
设 m ? ( x,y,z ) 是平面 ABC 的一个法向量,则

??

A C

??? ?? ? ??? ?? ? ?? y ? 2 z ? 0 则 AB? ? 0 , BC ? ? 0 得: ? m m ?x ? z ? 0 ?? 取 x ? ? z ? 1 , m ? (1 2, 1) ,?
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O

z
B

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显然, n ? (11 0) 为平面 AAC1C 的一个法向量 , , 1

?

y
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A1 B1

C1

x

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?? ? ?? ? m?n 1? 2 ? 0 3 则 cos m, ? ?? ? ? ,结合图形可知所求二面角为锐角 n ? 2 6? 2 m ?n
所以二面角 B ? AC ? A1 的大小是 30
?
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??????12?

(20)解: (I)因为 {an } 是等比数列, S n ? 0, 可得a1 ? S1 ? 0, q ? 0. 当 q ? 1 , S n ? na1 ? 0; 时

当q ? 1时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0,即 ? 0,(n ? 1, 2,?) 1? q 1? q
① 或?

上式等价于不等式组:

?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2, ?) ? n ?1 ? q ? 0

?1 ? q ? 0,

, (n ? 1,2, ?) n ?1 ? q ? 0



解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是 (?1,0) ? (0,??). ??????6? (II)由 bn ? an ? 2 ?

3 3 3 an ?1 得 bn ? a n (q 2 ? q), Tn ? (q 2 ? q) S n . 2 2 2 3 1 于是 Tn ? S n ? S n (q 2 ? q ? 1) ? S n ( q ? )( q ? 2). 2 2 又∵ Sn >0 且-1< q <0 或 q >0 1 当 ?1 ? q ? ? 或 q ? 2 时, Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn 2 1 当 ? ? q ? 2 且 q ≠0 时, Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn 2 1 当 q ? ? 或 q =2 时, Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn ??????12? 2

(21)解: (I)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

-7-

由椭圆

x2 y 2 ? ? 1 求得两焦点为 (?2, 0), (2, 0) , 8 4

? 对于双曲线 C : c ? 2 ,又 y ? 3x 为双曲线 C 的一条渐近线
?
b ? 3 a
解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,

? 双曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1??????4? 3
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(II)由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零

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设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

4 , 0) k ??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA
则 Q(?

y
P

A Q

o

x

4 4 ? (? , ?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) k k

B

4 4 ? 4 ? 4 ? x1 ? ? k ? ? k ?? ? ?1 ( x1 ? ) ? 1 ??????8? ?? k k ?? 4 ? ?4 ? ?1 y1 ? y ?? ? ? 1 ?1 ?

? A( x1 , y1) 在双曲线 C 上, ?
16 1 ? ?1 2 16 ( ) ? 2 ?1 ? 0 k 2 ?1 3?1

? (16 ? k 2 )?12 ? 32?1 ? 16 ?

16 2 k ? 0. 3 16 2 2 2 k ? 0. 同理有: (16 ? k )?2 ? 32?2 ? 16 ? 3
若 16 ? k ? 0, 则直线 l 过顶点,不合题意
2
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?1 6 ?k 2 ? 0 ,
16 2 k ? 0. 的两根 3
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? ?1 , ?2 是二次方程 (16 ? k 2 ) x 2 ? 32 x ? 16 ?
? ?1 ? ?2 ? 32 8 ?? k ? 16 3
2

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?k 2 ? 4 ,
此时 ? ? 0,? k ? ?2
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? 所求 Q 的坐标为 (?2, 0)

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??????12?
-8-

(22) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ,所以 f ' ( x) ?

1 ,因此 f ' (1) ? 1 , x

所以函数 f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 ,????1?

? y ? x ? 1, ? 由? 得 x2 ? 2(b ? 1) x ? 2 ? 0 , 1 2 ? y ? 2 x ? bx, ?
由 ? ? 4(b ? 1)2 ? 8 ? 0 ,得 b ? ?1? 2 ????????3? (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 所以 h' ( x) ?

1 2 x ? bx( x ? 0) , 2

1 x 2 ? bx ? 1 ? x?b ? , x x

由题意知 h' ( x) ? 0 在 (0,??) 上有解, 因为 x ? 0 ,设 u( x) ? x 2 ? bx ? 1 ,因为 u (0) ? 1 ? 0 ,
?b ? ? 0, 则只要 ? 2 ,解得 b ? 2 , ?( ? b ) 2 ? 4 ? 0 ?

所以 b 的取值范围是 (2,??) ???6? (Ⅲ)不妨设 x1 ? x2 , 因为函数 f ( x) ? ln x 在区间[1,2]上是增函数,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 函数 g (x) 图象的对称轴为 x ? b ,且 b ? 1 。

(i)当 b ? 2 时,函数 g (x) 在区间[1,2]上是减函数,所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,

即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 等价于 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 h' ( x) ? 等价于 b ? x ?

1 2 x ? bx 在区间[1,2]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,2]上恒成立, x 1 在区间[1,2]上恒成立, x

所以 b ? 2 ,又 b ? 2 , 所以 b ? 2 。????????8?

-9-

(ii)当 1 ? b ? 2 时,函数 g (x) 在区间[1,b]上是减函数,在 [b,2] 上为增函数。 ① 当 1 ? x2 ? x1 ? b 时,
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,

等价于 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 h' ( x) ? 等价于 b ? x ?

1 2 x ? bx 在区间[1,b]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,b]上恒成立, x 1 在区间[1,b]上恒成立, x

所以 b ? 2 ,又 1 ? b ? 2 ,所以 1 ? b ? 2 ② 当 b ? x2 ? x1 ? 2 时,
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,

等价于 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 H '( x) ?

1 2 x ? bx 在区间[b,2]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[b,2]上恒成立, x 1 等价于 b ? x ? 在区间[b,2]上恒成立, x 3 3 所以 b ? ,故 ? b ? 2 , 2 2
③ 当 1 ? x2 ? b ? x1 ? 2 时, 由 g ? x ? 图像的对称性知, 只要 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 对于①②同时成立, 那么对于③,则存在 t1 ??1, b? , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (t1 ) ? f ( x2 ) |? g ? t1 ? ? g ? x2 ? = g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立; 或存在 t2 ??b,2? , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x1 ) ? f (t2 ) |? g ? x1 ? ? g ? t 2 ? = g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,

3 ?b?2, 2 3 综上,b 的取值范围是 ? b ? 2 ??????????12? 2
因此

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