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黑龙江省哈尔滨市第三中学2015-2016学年高二上学期第一学段考试数学(文)试题

哈三中2015—2016 学年度上学期高二第一学段考试 数学(文) 试卷 考试说明:(1)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分, 满分150 分. 考试时间为120 分钟; (2)第I 卷,第II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、双曲线 A.2 2

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长是( 4 8
B.4

) C.4 2 ) B. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D.8

2、圆心在 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2 2 2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

2 3、圆 ? x ? 2 ? ? y ? 4 与圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 9 的位置关系是(

) D.相离

A.内切

B.相交

C.外切

4、设经过点 ? ? 2,1? 的等轴双曲线的焦点为 F1 、 F2 ,此双曲线上一点 ? 满足 ?F 1 ? ?F 2 ,则

??F1F2 的面积为(
A. 2

) B. 3 C.2 D.3

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10 , 5、已知椭圆与双曲线 4 12
那么椭圆的离心率等于( A. ) B.
2

3 5

4 5
2

C.

5 4


D.

3 4

6、过坐标原点且与圆 x ? 4 x ? y ? 2 ? 0 相切的直线方程为( A. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 或 x ? y ? 0 7、已知 F1 ,F2 是椭圆 B. x ? y ? 0

D. x ? 3 y ? 0 或 x ? 3 y ? 0

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 ? ,? 两点.在 ??F1? 16 9
) C. 4 D. 3 B. 5

中,若有两边之和是 10 ,则第三边的长度为( A. 6

8、若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于 ? ,Q 两点,且 ???Q ? 120?(其中 ? 为原点), 则 k 的值为( A. ? 3 或 3 9、已知集合 ? ? 的取值范围是( A.? ?1,3? ) B. 3 C. ? 2 或 2 D. 2

?? x, y ? y ?


1 ? x 2 ,集合 ? ? ?? x, y ? y ? 2 x ? a? ,且 ? ? ? ? ? ,则 a

?

B.? ??, ?1? ?

?

3, ??

? ?

C.? ?2, 5 ?

?

?

D.? ??, ?2 ? ?

?

5, ??

?


10、已知直线 y ? kx ? 1 和双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的右支交于不同两点,则 k 的取值范围是( A. 1, 2

?

?

B. ? 2, ?1 ? 1, 2

?

? ?

?
9 4

C. ? 2, 2

?

D. ? 2, ?1 ? ? ?1,1? ? 1, 2

?

?

?

?

11、设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点,双曲线上存在一点 a 2 b2
) D. 3

?F1 ? ?F2 ? ab ,则该双曲线的离心率为( ? 使得 ?F 1 ? ?F 2 ? 3b ,
A.

4 3

B.

5 3

C.

9 4

12、已知椭圆

x2 2 ? y 2 ? 1的焦点为 F1 , F2 ,若点 ? 在椭圆上,则满足 ?? ? ?F1 ? ?F2 (其 4
) C. 4 个 D. 0 个

中 ? 为坐标原点)的点 ? 有( A.无数个

B. 6 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13、若经过点 4, 3 的双曲线的渐近线方程为 y ?

?

?

3 x ,则双曲线的标准方程为 2




2 2 14、圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点到直线 y ? x ? 1 的最小距离是 2 2 2 2

15、已知圆 C1 : x ? y ? 4 x ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? 4x ? 60 ? 0 ,动圆 ? 和圆 C1 外切,和圆

C2 内切,则动圆圆心 ? 的轨迹方程为
16、已知 ? , ? , ? 是双曲线



x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上不同的三点,且 ? , ? 连线 a 2 b2
2 , 则该双曲线的离心率为 3


经过坐标原点, 若直线 ?? ,?? 的斜率乘积 k?? ? k?? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、(本小题满分 10 分)已知圆 C 过点 ? ?1, 4 ? , ? ? 3, 2? ,且圆心在直线 x ? y ? 3 ? 0 上.

(I)求圆 C 的方程; (II)若点 ? ? x, y ? 在圆 C 上,求 x ? y 的最大值.

18、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为 1 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若斜率为

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,过椭圆一 2 a b 2

1 5 的直线与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,且 ?? ? ,求该直线的方程. 2 2

19、(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 x?y 中,已知圆 ? 在 x 轴上截得线段长为 2 2 , 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (I)求圆心 ? 的轨迹方程; (II)若 ? 点到直线 y ? x 的距离为

2 ,求圆 ? 的方程. 2

20、(本小题满分 12 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点 F ? 2,0 ? ,且 F 到双曲线的一 条渐近线的距离为 1 . (I)求双曲线 C 的方程; (II)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 ? , ? ,且 ????? ? 2 ( ? 为 原点),求 k 的取值范围.

???? ??? ?

21、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 a 2 b2

?

3, 0 ,离

?

心率是

3 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于不同的两点 ? , ? ,若 ?? ? ?? ( ? 为坐标原

点),证明:点 ? 到直线 l 的距离为定值,并求出这个定值.

22、(本小题满分 12 分)已知焦点为 ? 0,1? , ? 0, ?1? 的椭圆 C 与直线 l : y ? ? x ? 1 交于 ? ,

? 两点, ? 为 ?? 的中点,直线 ?? 的斜率为 2 .焦点在 y 轴上的椭圆 ? 过定点 ?1, 4 ? ,且
与椭圆 C 有相同的离心率.过椭圆 C 上一点作直线 y ? kx ? m( m ? 0 )交椭圆 ? 于 ? , ? 两点. (I)求椭圆 C 和椭圆 ? 的标准方程; (II)求 ???? 面积的最大值.

2015-2016 高二考试数学(文科)答案 一、选择题 1-5 BDBDB 6-10CAADA 11-12 BC

二、填空题

x2 y2 ? ?1 13. 12 9
14. 2 2 ? 1 15.

x2 y2 ? ?1 25 21

16.

15 3

三、解答题

?(a ? 1) 2 ? (b ? 3) 2 ? r 2 ? 2 2 2 17.(1)设圆心坐标为 (a,b),则 ?(a ? 3) ? (b ? 2) ? r ?a ? b ? 3 ? 0 ?
解得: a ? 1, b ? 2, r ? 2 ,故圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (2)令 z=x+y,即 y ?? x? z ,当这条直线与圆相切时,它在 y 轴上的截距最大或最小, 可求得最大值为: 3 ? 2 2 18. (1)设焦点为(c,0),因为过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为1,

1 ? ? c2 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b ?c 3 所以, ? ? ,解得: a ? 2, b ? 1 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
故椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

(2) x ? 2 y ? 7 ? 0 , x ? 2 y ? 7 ? 0 19.

20. (1)双曲线的一条渐近线方程为: bx ? ay ? 0 ,则

? ?c ? 2 ? ? 2 2 2 ?c ? a ? b ,解得: a ? 3, b ? 1 ? 2b ? ?1 2 2 ? b ? a ?
故双曲线的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

(2) (?

15 3 3 15 ,? ) ? ( , ) 3 3 3 3 c 3 ,所以,a=2,b=1 ? a 2

21. (1)依题意,得: c ? 3,

故椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

(2)定值为 22 (1)

2 5 5

y 2 x2 依题意,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b

将直线 y ? ? x ? 1 代入椭圆方程,得:, (a2 ? b2 ) x2 ? 2b2 x2 ? b2 ? a2b2 =0



x1 ? x2 y1 ? y2 x1 ? x2 b2 a2 , , ? 2 ? 1 ? ? 2 a ? b2 2 2 a 2 ? b2

b2 a2 所以,M( 2 , 2 ) a ? b2 a ? b2
直线 OM 的斜率为 2,可得: a ? 2b
2 2



c ?1 a 2 ? b2 ? c

解得 b=1, a ? 2

2 ,所以,椭圆方程是 C :

y2 ? x2 ? 1; 2

E:

y2 x2 ? ?1 18 9

(2)4


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