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7 二次函数与幂函数


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考向分层突破一

考向分层突破二
考向分层突破三

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1.幂函数 (1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数叫幂函数,其中x 是自变量,α是常数.

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(2)幂函数:y=x,y=x2,y=x3,y= 与性质:
函数 定义域 值域 奇偶性 y= x R R 奇函数 y= x2 R {y|y≥0} 偶函数 y= x3 R R 奇函数

1 x2

,y=x-1的图象

1 y= x 2

y= x - 1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数

{x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 函数

单调性

在(-∞,0) 在(0,+∞) 在(-∞,0)和 在R上单 上单调递减, 在R上单 上单调递 (0,+∞)上单 调递增 在(0,+∞) 调递增 增 调递减 上单调递增

公共点

(1,1)

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2.二次函数
(1)解析式:

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(2)图象与性质: 函数 图象 定义域 R
4ac - b 2 [ , +?) 4a
在( + ?, b 2a ]上递减, 在( + ?, 在 [b 2a b 2a

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax2+bx+c(a<0)

R
4ac - b 2 (??, ] 4a
]上递增,

值域
单调性 奇偶性

在 [-

b 2a

, +?]上递增

, +?]上递减

当b=0时为偶函数
b 函数的图象关于x=- 2a

对称轴

成轴对称

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考点 ? 分类整合

1.函数y=f(x)对称轴的判断方法
①对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数
y=f(x)的图象关于x= x1 + x 2 对称.
2

②对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的 充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).

2.与二次函数有关的不等式恒成立的两个条件
①ax2+bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是 ?a > 0
? 2 ?b - 4ac < 0 ?a ? 0 ②ax2+bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是 ? 2 ?b - 4ac < 0
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考向分层突破一:求二次函数的解析式

1.已知y=f(x)为二次函数,且f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=- 5,求此二次函数的解析式.
解析: 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

因为f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,

?c = -5 所以 ? ?a - b + c = -4 ?4a + 2b + c = -5 ?

1 2 解得a= ,b=- ,c=-5, 3 3 1 2 故f(x)= x 2 - x - 5 3 3

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2.已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1. 求f(x)解析式. 解析: 由于f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a. 由于f(x)有最小值-1, 所以必有 ?
?a > 0 ?-a = -1



解得a=1.
因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.

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二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选 择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图象与x轴两交点坐标,宜选用两根式.

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考向分层突破二:二次函数的图象与性质

例1:已知函数f(x)=ax2-2x(a>0),求函数f(x)在x∈[0,1]上 的最小值.
解析: 因a>0,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为x=

1 (1)当 ≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在[0,1]内, a 1 1 ∴f(x)在 [0, ] 上单调递减,在 [ , 1] 上单调递增. a a 1 1 2 1 ∴f(x)min= f( ) = - = a a a a 1 (2)当 >1,即0<a<1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在[0,1]的右侧, a
∴f(x)在[0,1]上单调递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. ?a - 2,0 < a < 1 综上所述f(x)min= ? ? 1 - ,a ? 1 ? ? a
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1 . a

同类练1.求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,1]上的最大值.
a a 2 a2 -(x ) + 解析: 函数f(x)= 的图象的对称轴为x= , 2 2 4 a a a 应分 <-1,-1≤ ≤1, >1,即a<-2,-2≤a≤2和a>2三种情形讨论. 2 2 2 (1)当a<-2时,由图(1)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=-1-a=-(a+1);
(2)当-2≤a≤2时,由图(2)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为

a a2 f( ) ? ; 2 4

(3)当a>2时,由图(3)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-1.

?-(a + 1),a < -2 ? 2 ?a , -2 ? a ? 2 综上可知,f(x)max=? 4 ? ? ?a -1,a > 2

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变式练2.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小 值为g(a),求g(a).
解析: ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1, ∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论. 当-2<a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减, 则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a; 当a>1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增, 则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.

综上,g(a)=

?a2 - 2a,-2 < a ? 1 ? ?-1,a > 1

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拓展练3.设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一 切x值,都有f(x)>0,求实数a的取值范围.

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1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型, 解决的关键是考查对称轴与区间的位置关系,当含有参数 时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;

2.二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图 象的对称轴进行分类讨论求解.

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考向分层突破三:幂函数的图象与性质

例2已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时, f(x): (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函 数.
解析:(1)∵f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. (2)若f(x)是幂函数,且又是(0,+∞)上的增函数,
?m 2 - m - 1 = 1 则 ? ∴m=-1. ?-5m - 3 > 0

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1.幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只 有参数α,因此只需一个条件即可确定其解析 式. 2.若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α 必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根 式,再判断. 3.若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增, 则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α< 0.
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跟踪训练1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x) 的图象是( )

解析: ∴α= 答案:

令f(x)=xα,则4α=2,
1 1 ,∴f(x)= x 2 . 2

C

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2.当0<x<1时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小 关系是_____.

解析:

如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象, 由此可知h(x)>g(x)>f(x).

答案:

h(x)>g(x)>f(x)

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