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方程的根与函数的零点例题思考 新课标 人教版 必修1(A)

方程的根与函数的零点 例题思考
思考过程 根据本节课的知识要求,要掌握判断一元二次方程根的存在性及根的个数的方法,理解 函数零点的概念,了解函数 y ? f ?x ?的零点就是方程 f ?x ? ? 0 的实数根,也就是函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴交点的横坐标。 一般地,对于不能用公式法求根的方程 f ?x ? ? 0 来说,我们可以将它与函数 y ? f ?x ? 联系 起来,并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间,从而求出方程的根。 在学习中提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学学习方式。这些方式有助于发 挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师指导下的“再创造”过程。 【例 1】利用函数的图象,指出函数 f ?x? ? 2x ? ln(x ? 2) ? 3 零点所在的大致区间。 解:用计算器或计算机作出 x 、 f ?x ? 的对应值表(如下表)如图象(如下图) 。

x
f ?x ?

2.5 - 6.4657

3 - 3

3.4 - 0.1617

4 2.5452

4.5 5.2466

5 7.9861

由上表和上图可知,该函数零点的大致区间为[3,4,5]。 【例 2】求函数 f ?x? ? 2 x 2 ? 3x ? 1 零点的个数。 解:用计算器或计算机作出 x 、 f ?x ? 的对应值表(如下表)和图象(如下图) 。

x
f ?x ?

-1.5 -1.25

-1 2

-0.5 2.25

0 1

0.5 -0.25

1 0

1.5 3.25

由上表和上图可知, f ?? 1.5? ? 0 , f ?? 1? ? 0 ,即 f ?? 1.5? ? f ?? 1? ? 0 ,说明这个函数在区 间 ?? 1.5,?1? 内有零点。同量,它在区间(0,0.5)内也有零点。另外, f ?1? ? 0 ,所以 1 也是

它的零点。由于函数 f ?x ? 在定义域 ?? ?,?1.5? 和(1, ? ? )内是增函数,所以它共有 3 个零 点。 新题解答 国家购买某种农产品的价格为 120 元/担,其中征税标准为 100 元征 8 元(叫做税率为 8 个百分点,即 8%) ,计划可收购 m 万担。为了减轻农民负担,决定税率降低 x 个百分点,预 计收购量可增加 2 x 个百分点。 (1)写出税收 f ?x ? (万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后达到计划的 78%,试求此时的 x 的值。 解: (1)由题设,调节税率后税率为 ?8 ? x ? %,预计可收购 m(1 ? 2 x%) 万担,总金额为 120 m(1 ? 2 x%) 万元,所以

f ?x? ? 120m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% 。
3m 2 x ? 42 x ? 400 ?0 ? x ? 8? 。 125 (2)计划税收为 120 m ? 8% 万元,由题设,有

即 f ?x ? ? ?

?

?

f ?x? ? 120m ? 8% ? 78% ,
即 x 2 ? 42x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) ,解得 x ? 2 。 试 用 函 数 的 图 象 指 出 方 程 x 2 ? 42x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) 的 根 , 即 函 数

g ?x? ? x 2 ? 42x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) 的零点所在的大致区间。
点评:本题是一道有关降低税率的应用题,涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、 预计收购量等多个量。通过审题,建立了税收 f ?x ?(万元)和降低税率 x 的二次函数关系式, 再运用二次函数的有关知识使问题得以解决。在题后又给出设问,目的是要用本节知识来解 决问题。


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