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福建省泉州一中2009-2010学年高三上学期期中考试数学理试题


泉州一中 2009—2010 学年度第一学期期中能力测试试题
高 三 数 学 (理)
时间 120 分钟 满分 150 分

Ⅰ卷
泉州一中考试命题中心

一、选择题(本题共有 10 小题,在每小 题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本题每小题 5 分,满分 50 分.请将答案填涂在Ⅱ卷上) ..........
2 1 .已知 集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x 2 x ? 1 ? 5 ,则 下图中 阴影 表示的 集合 为

?

?

?

?



? ? C. ?x x ? 3?
A. x 1 ? x ? 3



B. x 1 ? x ? 2 )

?

?

D. {x 2 ? x ? 3} B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数 )

2.函数 y ? 2 cos(2 x ? ? ) 是( A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数 A. ?x ? R, 都有 x ? 1

3.命题“ ?x ? R, 使得 x ? 1 ”的否定是(

B. ?x ? R, 都有x ? ?1或x ? 1 [来源:Zxxk.Com] C. ?x ? R, 使得 x ? 1 D. ?x ? R, 使得 x ? 1

4、计算 ?

2

?2

? sin x ? 2?dx ? (
B.1
3 2

) C.8 D.-8

A.-1

5.若函数 f ( x) ? x ? x ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据 如下:[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 1.4375[来 1.40625[来 x 1.5 1.375 1.25 1 源:Zxxk.Com] 源:Z|xx|k.Com] f ( x) 0.625 0.162 -0.054 -0.260 -0.984 -2 那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A.1.2 B .1.3 C.1.4 D.1.5 ? 3 6.已知 sin( x ? ) ? ? ,则 sin 2 x 的值等于 ( ) 4 5 A. ? 7 B. 7 C. ? 18 D. 18 25 25 25 25 x 7.已知条件甲:函数 f ( x) ? a (其中a ? 0且a ? 1) 在其定义域内是减函数,条件乙:
3 2

log a

1 ? 0 ,则条件甲是条件乙的( 2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分而不必要条件 C.充要条件 8.已知 f ( x) ? A. 1 C. 0

a(2 x ? 1) ? 2 是奇函数,则实数 a 的值等于( 2x ?1 B. ? 1 D. ? 1

9、北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的 仰角分别为 60°和 30°,第 一排和最后一排的距离为 10 6 米 (如图所示 ) ,则旗杆的高度为( ) 10 米 30 米 A. B. C. 10 3 米 [来源:学§科§网] D. 10 6 米

10.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,若 f ? x ? 在区间 [1, a](a ? 2) 上单调递增且

f ? x ? ? 0 。则以下不等式不一定成立的是(
A. f ? a ? > f ? 0 ? C. f ? B. f ?



? 1 ? 3a ? ? > f ? ?a ? ? 1? a ?

? a ?1 ? ?> f a ? 2 ? ? 1 ? 3a ? D. f ? ? > f ? ?2? ? 1? a ?

? ?

二、填空题(本题共有 5 小题.请把结果直接填写在Ⅱ卷上,每题填对得 4 分,否则一律是零 ............ 分.本题满分 20 分.) 11、已知一个扇形的周长为 6cm ,面积为 2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是
? 12、已知幂函数 f ( x) ? k ? x 的图象过点 , (
2

rad
.

1 4

2 ,则 k ? ? = ) 8

?ax ? b, ( x ? 0) ? 13.函数 f ( x) ? ? 的图象如图所示, 1 ?logc ( x ? 9 )(x ? 0) ? 则a ? b ? c= .

1 2 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 x ?a, a ? b 5 ? ?? 2 15.定义一种运算 a ? b ? ? ,令 f ? x ? ? cos x ? sin x ? ,且 x ? ?0, ? ,则函 4 ? 2? ?b, a ? b ?? ? 数 f ? x ? ? 的最大值是 2? ?
14、曲线 y ?

?

?

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,并请 .. 将答案写在Ⅱ卷上) ........ 16.(本小题满分 13 分)
2 设集合 A 为函数 y ? ln(? x ? 2x ? 8) 的定义域,集合 B 为函数 y ? x ?

1 的值域,集合 x ?1

1 C 为不等式 (ax ? )( x ? 4) ? 0 (a ? 0) 的解集. a

①求 A ? B ; ②若 C ? CR A ,求实数 a 的取值范围.

17、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? a cos x ? a ? R, a为常数 ?,且
2

?
4

是函数y ? f ? x ?的零点

①求 a 的值,并求函数 f ? x ? 的最小正周期; ②求 f ? x ? 的单调区间; ③当 x ? ?0.

? ?? 时,求函数 f ? x ? 的值域,并写出 f ? x ? 取得最大值时的 x 值. ? 2? ?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

18、(本小题满分 13 分) 某种出口产品的关税税率 t 、市场价格 x (单位:千元)与市场供应量 p (单位:万件)之间近似满 足关系式: p ? 2 ,其中 k, b 均为常数.当关税税率为 75%时,若市场价格为 5 千 元,则市场供应量约为 1 万件;若市场价格为 7 千元,则市场供应量约为 2 万件. ①试确定 k, b 的值; ②市场需求量 q (单位:万件)与市场价格 x 近似满足关系式: q ? 2 ? x .当 p ? q 时,市场价格 称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值.
(1?kt )( x ?b ) 2

19.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, b ? 4, A ? ①求 BC 边的长度; ②求值: [sin 2 (

?
3

, 面积 S ? 2 3

A ? 1 C ? ) ? cos2B] ? ( ? tan ) C 4 4 2 tan 2

20. (本小题满分 14 分)

二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 图像顶点为 C 且过点 A(0, 2)、B (2, 2) ,又 ?ABC 的面积等于 1。 ①求满足条件的函数 f ( x ) 的解析式;
x ②当 a ? 0 时,求函数 g ( x) ? f ( x)e ?

e 3 x 的极值; 3

21.(本 小题满分 14 分)

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2 ①若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域是增函数,求实数 b 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? ②在①的结论下,设函数 ? ( x) ? e
2x

? bex , x ??0,ln 2? ,求 ? ( x) 的最小值;

③设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C 2 交于点 P, Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的 垂线分别交 C1 、 C 2 于点 M , N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C 2 在 N 处的切线 平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

泉州一中 2009—2010 学年度第一学期期中能力测试参考答案
高 三 数 学 (理)
一、选择题答题区:请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,不能答在试题卷 上。每小题 5 分,共 50 分 1 2 3 4 5 [A][▅][C][D] [A][▅][C][D] [A][▅][C][D] [A][B][▅][D] [A][B][▅][D] 6 7 8 9 10 [▅][B][C][D] [A][B][▅][D] [▅][B][C][D] [A][▅][C][D] [A][B][C][▅]

二、 填空题(本题共有 5 小题. 只要求直接填写结果, 每题填对得 4 分, 否则一律是零分. 本 题满分 20 分.) 11、 13、 1或4 12、 14、

9 4 3 4
[来

13 3

源:Z|xx|k.Com] 15、 1 三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 13 分) 解:①解得 A ? (?4,2) ???? 3 分 所以 A ? B ? ? ?4, ?3? ? ?1,2? ???? 1 分 ② 由①可知: CR A ? (??,?4] ? [2. ? ?) ; ???? 1 分

B ? ? ??, ?3? ? ?1, ??? ???? 3 分

1 ] ,显然不合题意 ???? 2 分 a2 1 (Ⅱ)当 a ? 0 时, C ? (?,?4] ? [ 2 ,?? ) ,由 C ? CR A 画数轴 可知 a 2 ???? 3 分 ?a ? 0 a 的范围为 ? 2
(Ⅰ)当 a ? 0 时, C ? [ ?4, 17、 (本小题满分 13 分) 解:①由已知 f ( ) ? 0 可得: sin

?

?
2

4

? a cos 2

?
4

? 0 解得 a ? ?2 ???? 2 分

? f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ? 1 ???? 2 分

? 周期 T ?
②由 2k? ?

?
2

2? ?? 2

???? 1 分

2 ? 3? f (x) 的单增区间为 [k? ? , k? ? ] , 8 8

? 2x ?

?

4

? 2k? ?

?

和 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

3? 可得 2

3? 7? , k? ? ] , 以上 (k ? Z ) ???? 4 分[来源:学#科#网] 8 8 ? ? ? 3? ? ? ?? 由x ? ?0, ? , 得2 x ? ? ? ? , ? 4 ? 4 4 ? ? 2?
单减区间为 [k? ? ③ 则 sin ? 2 x ?

? ?

?? ?

2 ? ? ?? ,1? ? 4? ? 2 ?

???? 3 分

?? ?? ? ? 则-1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2, ?2 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 2 ? 1 4? 4? ? ? ? ? 3? 当 f ( x) ? 2 ? 1 时, 2 x ? ? 解得 x ? ???? 1 分 4 2 8
18、(本小题满分 13 分)

?1 ? 2 (1?0.75 k )(5?b ) ?(1 ? 0.75k )(5 ? b) 2 ? 0 ? ? 解 :①由已知, ? ???? 3 分 ? ? (1?0.75 k )( 7 ?b ) 2 ?(1 ? 0.75k )(7 ? b) 2 ? 1 ?2 ? 2 ? ? ???? 2 分 解得 b = 5,k = 1
2

???? 2 分 x 1 ?1? ∴ (1 ? t )( x ? 5) 2 ? ? x ? t ? 1 ? 2 25 ( x ? 5) x? ? 10 x
记 f ( x) ? x ? 则 f ( x) ? x ?

②当 p = q 时, 2

(1?t )( x ?5) 2

? 2? x

???? 2 分

25 25 ‘ ,当 x ?(0,4]时, f ( x) ? 1 ? 2 ? 0 x x

25 在(0,4]上单调递减 x

???? 2 分

41 4 故当 x = 4 时,关税税率的最大值为 500%. 19.(本小题满分 13 分)
∴当 x = 4 时, f (x) 有最大值 解:①在 ?ABC 中

???? 2 分

1 3 2 3 ? ? 4? c ? [来源:学科网] 2 2 c?2 ???? 3 分 1 ???? 3 分 a ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 16 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? 2 3 2 a b 2 3 4 ? ? sin B ? 1 sin A sin B 3 sin B 2 ? ? 0 ? B ?? B ? C? ???? 2 分 2 6 A ? 1 C ② [sin 2 ( ? ) ? cos 2 B] ? ( ? tan ) C 4 4 2 tan 2

1 S ? bc sin A 2

A ? C C 1 ? cos( ? ) cos sin 2 2 ? cos 2 B][ 2 ? 2] =[ C C 2 sin cos 2 2 A 1 ? sin 2 ? cos2B)( 2 ) ? (? 1 ) ? 4 ? ?1 =( 2 sin C 4
20. (本小题满分 14 分) 解:①依题意设 f ( x) ? ax( x ? 2) ? 2 ,由 S ?

???? 4 分

???? 1 分

? h ? 1, f (1) ? 1 或 3,? a ? ?1

1 ? 2 ? h ? 1 ( h 为 AB 边上的高) 。 2

。 ? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 或 f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 2 (或讨论 a ? 0 与 a ? 0 )

4ac ? b 2 ? 1 或 3,其它同上 ???? 7 分 或依题意 c ? 2, 4a ? 2b ? c ? 2,? b ? ?2a, 4a
(第一小题若列式正确但是计算错误给 4 分) (注:由于本题所给的已知两点对称,二次函数解析式的假设较灵活,请阅卷老师注意)
2 2 x ②当时 a ? 0 , f ( x) ? x ? 2 x ? 2,? g ( x) ? ( x ? 2 x ? 2)e ?

e 3 x , 3 ? g ' ( x) ? x2ex ? ex2 ? x2 (e x ? e), 令 g ' ( x) ? 0, 得 x ? 0 ,或 x ? 1 ???? 2 分

? x ? 0 不是极值点, x ? 1 是极值点, ???? 4 分 2 因此,函数 g ( x) 的极小值为 g (1) ? e ,极大值不存在。 ???? 1 分 3
21.(本小题满分 14 分) 解:①依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx. 定义域为(0,+ ? ) ∵h(x)在(0,+ ? )上是增函数,
2

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x∈ (0,+ ? )恒成立, ???? 1 分 x 1 ∴ b ? ? 2x x 1 ∵x>0,则 ? 2 x ? 2 2 x
∴h?(x)=
?b的取值范围为? ?,2 2 . (若少等号扣一分) ②设 t ? e x , 则函数化为 ? t 2 ? bt, t ? [1,2]. y

?

?

????2 分

b b2 ? y ? (t ? ) 2 ? . 2 4 b ?当 ? ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2]上为增函数, 2
当 t=1 时, ymin =b+1;

b b b2 当1 ? ? ? 2,即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时,y min ? ? ; 2 2 4 b 当 ? ? 2,即b ? ?4时, 函数y在[1,2]上是减函数, 2
当 t=2 时, ymin =4+2b

综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1. 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为?
当 b ? ?4时, ? ( x) 的最小值为 4 ? 2b.

b2 . 4
????6 分

③设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 .

x1 ? x 2 . 2 1 2 C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ? | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x2
则点 M、N 的横坐标为 x ? C2 在点 N 处的切线斜率为 k2 ? (ax ? b) |

a( x1 ? x2 ) ? b. 2 假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 . 2 a ( x1 ? x2 ) 即 ? ? b. x1 ? x2 2
x ?x x? 1 2 2

?

??1 分



2 2( x2 ? x1 ) a ( x2 ? x12 ) a 2 a ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) ?1 分 x1 ? x2 2 2 2

? y 2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln x2 , x1

x2 ? 1) x 2 2( x 2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? . x2 x1 x1 ? x 2 1? x1 x 2(u ? 1) 设 u ? 2 ? 1, 则 ln u ? , u ? 1, ……………… ① x1 1? u 2(
令r (u ) ? ln u ? ? u ? 1,? r?(u ) ? 0.所以r (u )在?1,???上单调递增 故r (u ) ? r (1) ? 0, , 2(u ? 1) 则 ln u ? . u ?1 2(u ? 1) 1 4 (u ? 1)2 , u ? 1.则r?(u ) ? ? ? . 1? u u (u ? 1)2 u (u ? 1)2

[来源:学科网]

??1 分

这与① 矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

??2 分


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