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2016辽宁林业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016 辽宁林业职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解 析)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1、设 A、B、C 是三个集合,则“ A C 充分但不必要条件 充分且必要条件 ,向量 ,且 ”是“B=C”的( B 必要但不充分条件 D 即不充分也不必要条件 = ,则 的坐标可以是 )

2、已知向量 A (b,-a)

B (-a,b) C (a,-b) D (-b,-a) ,

3、设 f (x)与 g (x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f (x)、g (x)满足 则 f (x)与 g (x)满足 A C f (x) = g (x) f (x) - g (x) 是常数函数 4、已知,F1( – 3,0) , F2 (3 , 0) ④ – 3 中的 A ①② B ①③ C ①②④ D ②④ B f (x) = g (x) = 0

D f (x) +g (x)是常数函数 满足 PF1 – PF2 = 2m – 1 条件的动点 P ② – 1 ; ③ 4;

的轨迹是双曲线的一支。则 m 可以是下列数据: ① 2;

5、若 A 1

,则 a = ( B 2

) C 8 D 10

6、如图所示,是已知函数

的图象的

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一段圆弧,若 0 < x1 < x2 <2 ,则

A

<

B

=

C

>

D 前三个判断都不正确

7、已知 x 、 y 满足条件 A 8、若 5 B – 6

,则 f (x , y ) = 2x + 4y 的最小值是 C 10 D – 10

ABC 的内角满足 sinA + cosA > 0 ,tanA – sinA < 0 , 则角 A 的取值范围是

A

B

C

D

9、若( 1 +2x )( 1 + 4x )( 1 + 6x )…(1 +2006x )的展开式中 x 的一次项系数为 m, 则 A 10、二面角 = B C – 1 内 AB D 1 内 CD

的平面角为 1200 ,在

于点 B,AB =2 , 在

于点 D,CD = 3 , 且 BD = 1 ,若 M 为 A + 3 B C 2

上的一动点,则 AM+ CM 的最小值是 D 2

第二部分(非选择题,共 100 分)
二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷相应题目 上). 11、5 人站成一排,甲、乙两人要在一起的不同站法的种数有___________种(用数 字作答) 12、已知圆的半径为 2,圆心在轴的正半轴上,且圆与直线 3x + 4y +4 = 0 相切,则 圆的标准方程是_______________________

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13、已知正方体 ABCD – A1B1C1D1 的棱长为 2,在正方体表面上的与点 A 距离为 1 的点 的集合形成一曲线(此曲线不一定在同一平面上),则此曲线的长度之和为 ___________ ;在此正方形内与点距离为 1 的点的集合形成一曲面,则此曲面的面积 为_____________;(答案要保留 14、设 , 则数列 值) ,数列 的通项 满足 =_______________

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤). 15、(本小题满分 12 分) 已知函数 .

(1)求函数 f (x) 图象的对称轴方程、对称中心坐标;并指出它的最大值、最小值; (8 分) (2)试说明函数 f (x) 的图象可由 y = sinx 的图象经过怎样的变换而得到?(4 分)

16、(本小题满分 12 分) 已知函数 (!)求 ,其中 并判断函数 y = 。 的增减性;(4 分) 为真命题,求实数 x 的取值范围。(8 分)

(2)若命题 P:

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17、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 是一 直角梯形,∠BAD= 900 , AD∥BC , AB=BC=a , AD = 2a , 且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 300 的角。 (1)试在棱 PD 上找一点 E,使 PD⊥平面 ABE;(7 分) (2)若点 E 满足(1),求异面直线 AE 与 CD 所成的角 的大小。

18、(本小题满分 14 分) 甲、乙两个商店购进同一种商品的价格为每件 30 元,销售价均为每件 50 元。根 据前 5 年的有关资料统计,甲商店这种商品的需求量ξ 服从以下分布: ξ P 10 0.15 20 0.20 30 0.25 40 0.30 50 0.10

乙商店这种商品的需求量 服从二项分布 ~ B ( 40,0.8 )

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若这种商品在一年内没有售完,则甲商店在一年后以每件 25 元的价格处理。乙商 店一年后剩下的这种商品第 1 件按 25 元的价格处理,第 2 件按 24 元的价格处理,第 3 件按 23 元的价格处理,依此类推。今年甲、乙两个商店同时购进这种商品 40 件, 根据前 5 年的销售情况,请你预测哪间商店的期望利润较大?

19、(本小题满分 14 分) 已知 交点。 (1)若 ABC 的重心是椭圆的右焦点 F,试求直线 BC 的方程;(6 分) ABC 的三个顶点均在椭圆 4x2 +5y2 = 80 上,且点 A 是椭圆与 y 轴正半轴的

(2)若∠A =

,AD 垂直 BC 于点 D,试求点 D 的轨迹方程。

20、(本小题满分 14 分) 已知函数 且函数 f(x) 的图象关于原点

对称,其图象在 x = 3 处的切线方程为 8x – y – 18 = 0 . (1)问是否存在区间[ m , n ],使得函数 f (x) 的定义域和值域均为 [ m , n ]? 若存在,求出 f (x) 的解析式和这样的一个区间 [ m , n ];若不存在,请说明理由; (7 分)

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(2)设数列 { a
n

}满足: +

,试比较

与 1 的大小关系,并说明理由。(7 分)

答案及解析
一、

BACAD
11、 48

CBCDB
12、(x – 2 )2 + y2 = 4 13、 14、4n – 3

二、

三、解答题

15、解:(1)已知得



综上,所得函数 f (x)的图象的对称轴的方程为 为

,对称中心坐标

,函数的最大、最小值分别是

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(2)把 y = sinx 的图象上所有的点向左平移 的图象,再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 + )的图象,再把此图象向上平移 个单位长度,得到 y = sin(x + 倍(纵坐标不变)得到 y = sin(2x ) + )

个单位长度即得函数 f (x) = sin(2x +

的图象。 16、解:(1)由已知得:f –1(x) = ax (x∈R) ∵ a ∈{ a 12 < 8a – a2 }, ∴a2 – 8a +12 < 0 ,即 2 < a < 6, ∴ 函数 y = f –1(x) = ax 是增函数; (2 ) ,必有 x > 0 ,

① 当0<x< 不等式化为

时 ,

, ,∴ – loga 2x <1 ,故

loga 2x > – 1

, ∴

,此时

② 当 不等式化为

时, ,∴

, loga 2 <1 ,这显然成立,此时

③ 当

时,

不等式化为 ;

,∴

loga 2x <1 故 x <

,此时

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综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x }.

17、解:(1)过点 A 作 AEPD,垂足为 E,则点 E 为所求点. ∵PA⊥平面 ABCD ∴AD 为 PD 在平面 ABCD 上的射影 ∵AB⊥AD , AB 平面 ABCD , ∴ AB⊥PD

而 AE⊥PD , AE∩AB = A ∴PD ⊥平面 ABE (2) ∵PA 平面 ABCD , ∴PA⊥AB , PA⊥AD 又∠ BAD = 90
0

∴以点为原点建立如图所示的空间直角坐标 A – xyz ∵AD∥BC, AB= BC = a AD = 2a

∴A ( 0 , 0 , 0 ) , D ( 0 ,2a , 0 ) , B ( a , 0 , 0 ) , C ( a , a , 0 ) ∵PD 与底面成 300 角

∴∠PDA = 30 , PA = 2a
0

∴P ( 0 , 0 , ∵AE⊥PD

a )

过 E 作 EF⊥AD 于 F

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又 AE = Adsin300 = a , ∴ EF = Aesin600 =

a , AF =

a

∴E ( 0 , a , 0 )

a ,

a)



= ( 0 ,

a ,

a) 而

= ( – a ,

∴cos<

,

> =

故与所成的角为 arccos 18、解:Eξ =10 ×0.15 + 20×0.20 + 30× 0.25 + 40 ×0.30 + 50× 0.10 =30 ∴甲商店的期望利润为 30 ×(50 – 30)–(40 – 30 )×(30 – 25 )=550 (元) Eη =40× 0.8 = 32 由题意知,乙商店剩下的产,商品亏本金额是以 30 – 25 =5 为首项,公差为 1,项数 为 40 – 32 = 8 的等差数列。 ∴乙商店剩下的亏本金额为

8×5 +

×1 = 68(元)

∴乙商店的期望利润为 32×(50 – 30)– 68 = 576(元)> 550(元) 答:乙商店的期望利润较大。

19、解:椭圆 4x2 + 5y2 = 80 化为

,椭圆右焦点 F(2 , 0 ) ,A( 0 , 4 )
0

设 B (x1 , y1 ) ,C (x2 , y2 ),BC 中点为 M (x

, y0 )

则 KBC =

, x1 + x2 = 2x0 , y1 +y2 = 2y0

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于是有 两式相减有

(1) 又因为 F (2 , 0 )为 ABC 的重心,所以由

代入(1)有

,

∴直线 BC 的方程为: 6x – 5y – 28 =0 (2) ∵ = (x1 ,y1 – 4 ) , ⊥ (2) = (x2 ,y2 – 4 )

∴x1 x2 +y1 y2 – 4 (y1 +y2 ) +16 = 0

设直线 BC 的方程为 y =kx +b ,,代入 4x2 +5y2 =80,得 ( 4 +5k )x +10kbx +5b – 80 = 0
2 2 2



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把上述各式代入(2)得

,

∴9b2 –32b – 16 = 0

∴b = 4(因点 A (0 , 4 ),故舍去)或 b =

∴直线 BC 经过( 0 ,

)

设 D(x , y ),因 AD⊥BC,则 因 ABC 三点不共线,所以所求点 D 的轨迹方程为

即 9y +9x – 32y –16 = 0
2 2

20、解(1)先求 f (x )的解析式 ∵f (x )的图象关于原点对称,∴f ( – x ) + f (x ) = 0 恒成立,即 2bx2 + 2d = 0 恒成立, ∴b = d = 0 又 f (x )的图象在 x = 3 处的切线方程为 8x – y – 18 = 0,即 y – 6 = 8(x – 3 ), ∴ = 8 ,且 f ( 3 ) = 6,而 f ( x ) = ax + cx ,
3

=3ax + c

2



解得

∴f ( x )的解析式为 f ( x ) =

x3 – x

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由题意知 又 故当 x = x – 1 , 由
2

, 得 x=0或 x= = 0,得 x = 时, < 0. 上单调递增;在[ – 1 , 1] 是单调递减。 1 ,

或 x

> 0;

当 x∈( – 1 , 1 ) 时, ∴ f ( x )在 和

∴ f ( x )在

上的极大值和极小值分别为



, 而

,故存在这样的区间[m,n]其中一个区间为 (2) 由(1)知 ∴ = x2 – 1 , , 单调递增 , , ,……由此猜想 .

而函数 y=(x + 1)2 – 1 = x2 +2x 在 ∴由 进而可得 下面用数学归纳证明: 当 n = 1 时, 假设 n = k 时,有 可知, ,.结论成立; 可知,

,则当 n = k +1 时,由 y = x2 +2x 在 即 n = k +1 时,结论也成立。

上递增

对任意的

都有

,即

,

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∴ +……+ ≤ +…+

+

+

+

+

=1 –

< 1



+

+

+……+

< 1


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