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线面垂直,面面垂直的性质定理


线面垂直面面垂直的性质

复习引入

1. 直线与平面垂直判定?
l

用符号表示?
a A

?

b

2.平面与平面垂直的判定定理?
?

a

用符号表示?
?

知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理 思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么 位置关系?
C1 B1 C B A A1 D

D1

思考2:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?
?

a

b b’
c

α

O

直线与平面垂直的性质定理.

垂直于同一个平面的两条直线平行
a

b

用符号表示?

α

作用:1证明线线平行. 2 作平行线
其它性质:1.直线与平面垂直,则垂直于平面内的任意直线. 2.垂直于同一直线的平面平行.

练习一
? ? ? ? ?

1.判断下列命题正确的是_______ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 (3)一条直线在平面内,另一条直线与主个平面 垂直,则这两条直线互相垂直.

2.已知直线a, b和平面? , 且a ? b, a ? ? , 则b与?的 位置关系是_______

知识探究(二)平面与平面垂直的性质定理

思考3:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,平面AA1D1D与平面ABCD垂直,直线 AA1垂直于其交线AD.平面AA1D1D内的 直线AA1与平面ABCD垂直吗?
C1 B1 C B A A1 D D1

推导:平面与平面垂直的性质定理
. 设 ? ⊥ ? , ? ? ? ? CD , AB ? ? , AB⊥ CD且AB ? CD ? B

AB? ? ⊥
在?内引直线BE⊥ CD, 垂足为B, 则∠ ABE是二面角?-CD- ? 的 平面角, 由 ?⊥? 知, AB⊥ BE,又BE与CD ? 是 ? 内的两条 C 相交直线.

? E

D
A

B

平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直

简记为:面面垂直,则线面垂直.

?

用符号怎么表示?
?
l

a

例1.如图,已知平面? , ? , ? ? ? , 直线a满足a ? ? , a ? ? 试判断直线a与平面?的关系 .

?
b

a

?

理论迁移

例2 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, ? ? , a ? AB, a 求证:a // l .
β B α l A a

C

练习二
1.下列命题中错误的是 ( ) A.如果平面? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l, 则l ? ? B.如果平面?不垂直于平面? , 则?内一定不存在 直线垂直于? C.如果平面? ? ? , 则?内一定存在直线平行于 ? D.如果平面? ? ? , 则?内所有直线都垂直于 ?

2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
?


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