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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 不等式选讲 计时双基练79 不等式的证明 理 北师大版理选修4-5


计时双基练七十九
a

不等式的证明
b
)

1 1 1.(2016·西安模拟)若 a>b>1,x=a+ ,y=b+ ,则 x 与 y 的大小关系是( A.x>y C.x≥y 1 ? 1? b-a 解析 x-y=a+ -?b+ ?=a-b+ B.x<y D.x≤y

a ?

b?

ab



?a-b??ab-1? 。由 a>b>1 得 ab>1,a-b>0,

ab

?a-b??ab-1? 所以 >0,即 x-y>0,所以 x>y。

ab

答案 A 2.设 P= 2,Q= 7- 3,R= 6- 2,则 P,Q,R 的大小关系是( A.P>Q>R C.Q>P>R B.P>R>Q D.Q>R>P )

解析 因为 2+ 2=2 2> 6,所以 2> 6- 2, 即 P>R;又因为 6+ 3> 7+ 2,所以 6- 2> 7- 3,即 R>Q,所以 P>R>Q。 答案 B 3.(2015·湖北八校一联)已知 x,y,z∈R,且 x-2y+2z=5,则(x+5) +(y-1) + (z+3) 的最小值是( A.20 C.36 解析
2 2 2 2 2 2 2 2

) B.25 D.47

由于[(x+5) +(y-1) +(z+3) ][1 +(-2) +2 ]≥[(x+5)+(-2)(y-1)+
2 2 2 2

2

2

2(z+3)] =18 =324,则(x+5) +(y-1) +(z+3) ≥36,当且仅当

x+5 y-1 z+3
1 = -2 = 2

,即

x=-3, ? ? ?y=-3, ? ?z=1
答案 C

时取等号。故选 C。

4.已知 x+y=1,那么 2x +3y 的最小值是________。 解析 =1, 6 3 2 2 2 ∴2x +3y ≥ ,当且仅当 2x=3y,即 x= ,y= 时,取等号。 5 5 5
1

2

2

由柯西不等式 (2x + 3y )·??
2 2

?? 1 ?2 ? 1 ?2? ? 2x· 1 + 3y· 1 ? 2 2 ? +? ? ? ≥ ? ? = (x +y) 2 3? ?? 2? ? 3? ? ?

答案

6 5

5.给出下列命题: ①若

x+2y >1,则 x+2y>x-y; x-y
1

②已知 a>b>-1,则 ③设 t= ,s=

a+1 b+1

<

1



b a

b+1 (b>a>0),则 s≥t; a+1

④证明 10- 8< 3-1 可用比较法证明。 其中正确的命题是________。 解析 ①错误。若 x-y<0,则有 x+2y<x-y。 ②正确。因为 a>b>-1,所以 a+1>b+1>0, 所以 1 1 < 。 a+1 b+1

③错误。

b+1 b a-b - = ,因为 b>a>0,所以 a-b<0, a+1 a a?a+1?

b+1 b a(a+1)>0,所以 < ,所以 s<t。 a+1 a
④错误。该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明,最好用分析法。 答案 ② 6.A=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1

n

与 n(n∈N+)的大小关系为________。 1 2 + 1 1 1 1 1 +…+ > + + +…+ 3 n n n n

解析 当 n=1 时,A= n,当 n>1 时,A=1+ 1 =

n

n = n。综上可知,A≥ n n

n。

答案 A≥

7.已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y )(1+x +y)≥9xy。 3 2 2 证明 因为 x>0,y>0,所以 1+x+y ≥3 xy >0, 3 2 2 1+x +y≥3 x y>0, 3 2 3 2 2 2 故(1+x+y )(1+x +y)≥3 xy ·3 x y=9xy。 8.(2016·宝鸡模拟)已知 f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M。 (1)求 M; (2)若 a,b∈M,证明:2|a+b|<|4+ab|。
2

2

2



(1)M=(-2,2)。

(2)证明:a,b∈M,即-2<a<2,-2<b<2, 所以 4(a+b) -(4+ab)
2 2 2 2

=4(a +2ab+b )-(16+8ab+a b ) =(a -4)(4-b )<0, 所以 4(a+b) <(4+ab) ,所以 2|a+b|<|4+ab|。 9.(2015·陕西卷)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}。 (1)求实数 a,b 的值; (2)求 at+12+ bt的最大值。 解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 解得 a=-3,b=1。
2 2 2 2

2 2

? ?-b-a=2, 则? ?b-a=4, ?

(2) -3t+12+ t= 3 4-t+ t ≤ [? 3? +1 ][? 4-t? +? t? ] =2 4-t+t=4, 当且仅当 4-t t = ,即 t=1 时取等号。 1 3
2 2 2 2

故( -3t+12+ t)max=4。 1 1 10.(2015·湖南卷)设 a>0,b>0,且 a+b= + ,证明:

a b

(1)a+b≥2; (2)a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立。 1 1 a+b 证明 由 a+b= + = ,a>0,b>0,得 ab=1。
2 2

a b

ab

(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2。 (2)假设 a +a<2 与 b +b<2 同时成立,则由 a +a<2 及 a>0 得 0<a<1;同理,0<b<1,从 而 ab<1,这与 ab=1 矛盾。故 a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立。
2 2 2 2 2

3


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