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吉林省长春外国语学校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


吉林省长春外国语学校 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每题给的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. (5 分)设集合 P={0,1,2},N={x|x ﹣3x+2=0},则 P∩(?RN)=() A.{0,1,2} B. {1,2} C. {0} D.以上答案都不对 2. (5 分)cos210°的值为() A. B. C. D.
2

3. (5 分)已知扇形的面积为 4,弧长为 4,求这个扇形的圆心角是() A.4 B.2° C.2 4. (5 分)关于 x 的不等式 0.2 A.(﹣∞, ) 3) 5. (5 分)已 f(x)=2sin( A.2 x+ ) ,f(x)的最小正周期是() C.2π
(3﹣2x)

D.4°

<125 的解集为() C.[﹣1,+∞) D.(﹣∞,

B.( ,+∞)

B.4π

D.4

6. (5 分)已知 sinα+cosα= A.

,则 sinα?cosα 的值为() C. D.﹣

B .﹣

7. (5 分)要得到函数 y=sin(2x﹣ A.向右平移

)的图象,可由函数 y=sinx()

个单位长度,再将图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度

B. 将图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 C. 向右平移

个单位长度,再将图象上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变 个单位长度

D.将图象上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再向右平移

8. (5 分)下面四个选项大小关系正确的是()

A.sin cos

<sin

B.sin

>sin

C.cos

>cos

D.cos



9. (5 分)函数 f(x)=bsinx+2,若 f(3)=2,则 f(﹣3)的值为() A.4 B .0 C.2
x

D.﹣4
x

10. (5 分)用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在(1,2)内近似解的过程中,设 f(x)=3 +3x﹣8, 得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)>0,则该方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 11. (5 分)求满足 2 (2sinx﹣ A.(0, ) B .[
x

)≥0,x∈(0,2π)的角 α 的集合() , ] C.[ , ] D.[ , ]

12. (5 分)函数在 f(x)=sinx﹣ax∈[ A.[ ,1) B.[0, )

,π]上有 2 个零点,则实数 a 的取值范围() C.( ,1) D.( ,1)

二.填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x) ,求 x<0 时,f(x) 的解析式. 14. (5 分)函数 f(x)=a
(x+1)

+2(a>0 且 a≠1) ,必经过定点. )图象上的点向左平移 个单位,得到的函数解析式

15. (5 分)将函数 f(x)=sin(x﹣ 为.

16. (5 分)已知函数 f(x)= sin(x﹣

) ,x∈[0,

],那么这个函数的值域为.

三.解答题(共 70 分,要求要有必要的文字说明和解题过程) 17. (10 分)已知任意角 α 终边上一点 P(﹣2m,﹣3) ,且 cosα=﹣ (1)求实数 m 的值; (2)求 tanα 的值. 18. ( 12 分)已知 cos( ﹣θ)=a(|a|≤1) ,求 cos( +θ)和 sin( ﹣θ)的值.

19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)过点(2,1) ,函数 g(x)=( ) (1)求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (2)若 x∈[1,2) ,求函数 f(x) ,g(x)的值域.

x

20. (12 分)已知函数 f(x)=

(1)化简函数 f(x)的解析式; (2)求出函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|< (1)求出函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 的单调增区间及对称中心. 个单位得到函数 y=g(x)的图象,求出函数 y=g(x) )的图象如图所示,

22. (12 分)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,当 x>0 时,有 f(x)<0,且 f (1)=﹣2 (1)求 f(0)及 f(﹣1)的值; (2)判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; 2 (3)求解不等式 f(2x)﹣f(x +3x)<4.

吉林省长春外国语学校 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每题给的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. (5 分)设集合 P={0,1,2},N={x|x ﹣3x+2=0},则 P∩(?RN)=() A.{0,1,2} B. {1,2} C. {0} D.以上答案都不对 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N,根据集合的基本运算即可. 2 解答: 解:N={x|x ﹣3x+2=0}={1,2}, 则 P∩(?RN)={0,1,2}∩{x|x≠1 且 x≠2}, 则 P∩(?RN)={0}, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)cos210°的值为() A. B. C. D.
2

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 所求式子中的角度变形后,利用诱导公式化简即可求出值. 解答: 解:cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣ .

故选 D 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 3. (5 分)已知扇形的面积为 4,弧长为 4,求这个扇形的圆心角是() A.4 B.2° C. 2 D.4° 考点: 扇形面积公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先根据扇形的面积求出半径,再由弧长公式得出结果. 解答: 解:根据扇形的面积公式 S= lr 可得:4= ×4r, 解得 r=2cm, 再根据弧长公式 l=rα, 解得 α22, 扇形的圆心角的弧度数是 2, 故选:C 点评: 本题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径,再利用弧长公式求出圆心角. 4. (5 分)关于 x 的不等式 0.2
(3﹣2x)

<125 的解集为()

A.(﹣∞, )

B.( ,+∞)

C.[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,3)

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 化为同底幂的不等式,运用指数函数的单调性,得到一次不等式,解得即可. 解答: 解:不等式 0.2 <125 即为 2x﹣3 3 5 <5 , 即有 2x﹣3<3, 解得,x<3. 则解集为(﹣∞,3) . 故选 D. 点评: 本题考查指数不等式的解法,考查指数函数的单调性的运用,考查运算能力,属于 基础题.
(3﹣2x)

5. (5 分)已 f(x)=2sin( A.2 B.4π

x+

) ,f(x)的最小正周期是() C . 2π D.4

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= 解答: 解:f(x)=2sin( x+ )的最小正周期为 ,可得结论. =4,

故选:D. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= ,属于基础题.

6. (5 分)已知 sinα+cosα= A. B. ﹣

,则 sinα?cosα 的值为() C. D.﹣

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 对等式“sinα+cosα= 解答: 解:∵sinα+cosα=
2

”的等号的两端平方,即可求得答案. , ,

∴(sinα+cosα) =1+2sinα?cosα=

∴sinα?cosα=



故选:A. 点评: 本题考查三角函数化简求值,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于基础题.

7. (5 分)要得到函数 y=sin(2x﹣ A.向右平移

)的图象,可由函数 y=sinx()

个单位长度,再将图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度

B. 将图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 C. 向右平移

个单位长度,再将图象上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变 个单位长度

D.将图象上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再向右平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由 y=sin(2x﹣ 可得. 解答: 解:∵y=sin(2x﹣ ∴要得到函数 y=sin(2x﹣ )=sin[2(x﹣ )] 个单位长度,再将图象 )=sin[2(x﹣ )]根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即

)的图象,可由函数 y=sinx 向右平移

上所有点横坐标变为原来的 ,纵坐标不变. 故选:C. 点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,属于基本知识的考查. 8. (5 分)下面四个选项大小关系正确的是() A.sin <sin B.sin >sin C.cos >cos D.cos <cos

考点: 三角函数线. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式,可得 sin 数,故 cos >cos =sin ,故排除 A,B,根据 y=cosx 在[0,π]上为减函

,故 C 正确,D 错误. =(π﹣ ) ,

解答: 解:∵ ∴sin =sin ,

故 A,B 都不正确; ∵y=cosx 在[0,π]上为减函数, 故 cos >cos ,

故 C 正确,D 错误; 故选: C 点评: 本题考查的知识点是诱导公式和余弦函数的单调性,难度不大,属于基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=bsinx+2,若 f(3)=2,则 f(﹣3)的值为() A.4 B. 0 C. 2 D.﹣4 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数解析式得出 f(﹣x)+f(x)=bsin(﹣x)+2+bsin(x)+2=4,运用此式子 代入 f(3)=2 就看得出 f(﹣3)的值. 解答: 解:∵f(x)=bsinx+2, ∴f(﹣x)+f(x)=bsin(﹣x)+2+bsin(x)+2=4, ∵f(3)=2, ∴f(﹣3)=4﹣2=2, 故选:C 点评: 本题考查了函数的性质,整体求解的思路方法,属于容易题. 10. (5 分)用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在(1,2)内近似解的过程中,设 f(x)=3 +3x﹣8, 得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)>0,则该方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用;推理和证明. x 分析: 设 f(x)=3 +3x﹣8,单调递增函数,f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)>0,根据 定理的条件可判断答案. 解答: 解:∵设 f(x)=3 +3x﹣8,∴单调递增函数, ∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)>0, ∴根据根的存在性定理可知:f(x)的图象与 x 轴的交点在区间(1,1.25)内, x 则方程 3 +3x﹣8=0 在的根落在区间(1,1.25) , 故选:A 点评: 本题考察了函数的单调性和根的存在性定理的运用,只要掌握好定理的条件即可判 断. 11. (5 分)求满足 2 (2sinx﹣ A.(0, ) B. [ ,
x x x x

)≥0,x∈(0,2π)的角 α 的集合() ] C. [ , ] D.[ , ]

考点: 三角不等式. 专题: 三角函数的求值.

分析: 满足 2 (2sinx﹣

x

)≥0,化为
x

,由于 x∈(0,2π) ,利用正弦函数的单

调性即可得出. x 解答: 解:∵满足 2 (2sinx﹣ ∴ ,

)≥0,2 >0.

∵x∈(0,2π) , ∴ ,

故选:B. 点评: 本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性,属于基础题. 12. (5 分)函数在 f(x)=sinx﹣ax∈[ A.[ ,1) B.[0, ) ,π]上有 2 个零点,则实数 a 的取值范围() C. ( ,1) D.( ,1)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数在 f(x)=sinx﹣a,x∈[ 上有两个交点,从而作图求解. 解答: 解:函数在 f(x)=sinx﹣a,x∈[ 函数 y=sinx 与 y=a 在[ 作函数 y=sinx 与 y=a 在[ ,π]上有 2 个零点可化为 ,π]上有 2 个零点可化为函数 y=sinx 与 y=a 在[ ,π]

,π]上有两个交点, ,π]上的图象如下,

故 a∈[

,1) ,

故选 A. 点评: 本题考查了函数零点与函数图象的应用,属于基础题. 二.填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x) ,求 x<0 时,f(x) 的解析式 f(x)=x(1+x) . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,设 x<0,则﹣x>0;则由 f(x)是 R 上的奇函数求函数解析式. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0, 则由 f(x)是 R 上的奇函数知, f(x)=﹣f(﹣x) =﹣[﹣x(1+x)] =x(1+x) ; 故答案为:f(x)=x(1+x) . 点评: 本题考查了函数的解析式的求法,属于基础题. 14. (5 分)函数 f(x)=a
(x+1)

+2(a>0 且 a≠1) ,必经过定点(﹣1,3) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x+1=0,由函数的解析式求得 x 和 y 的值,可得函数 f(x)=a 的定点的坐标. 解答: 解:令 x+1=0,由函数的解析式求得 x=﹣1 且 y=3, 故函数 f(x)=a +2 的图象恒过定点(﹣1,3) , 故答案为: (﹣1,3) 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.
(x+1) (x+1 )

+2 的图象恒过

15. (5 分)将函数 f(x)=sin(x﹣ 为 .

)图象上的点向左平移

个单位,得到的函数解析式

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接结合三角函数的变换,得到将函数 f(x)=sin(x﹣ 个单位,即可得到 f(x)=sin[(x+ 解答: 解:将函数 f(x)=sin(x﹣ ∴f(x)=sin[(x+ )﹣ ] )﹣ )图象上的点向左平移

],然后,化简该式子即可. 个单位,

)图象上的点向左平移

=sin(x+ 故答案为:

) . .

点评: 本题重点考查了三角函数的图象平移等知识,属于中档题,务必分清周期变换和相 位变换的区别.这是近几年高考的热点问题. ) , x∈[0, ], 那么这个函数的值域为

16. (5 分) 已知函数 f (x) = sin (x﹣



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 x 的范围求得 x﹣ 域. 解答: 解:由于 x∈[0, 值为﹣ 当 x﹣ , = 时,函数取得最大值为 ,故函数的值域为 . . ],∴x﹣ ∈[﹣ , ],故当 x﹣ = 时,函数取得最小 的范围,再根据正弦函数的定义域和值域求得该函数的值

故答案为:

点评: 本题主要考查正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 三.解答题(共 70 分,要求要有必要的文字说明和解题过程) 17. (10 分)已知任意角 α 终边上一点 P(﹣2m,﹣3) ,且 cosα=﹣ (1)求实数 m 的值; (2)求 tanα 的值. 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)直接利用任意角的三角函数的定义,求出 m 值即可. (2)通过 m 值,利用三角函数定义求出正切函数值即可. 解答: 解: (1)任意角 α 终边上一点 P(﹣2m,﹣3) , x=﹣2m,y=﹣3,r=







(或 cosα<0 且 P(﹣2m,﹣3) )

(2)P(﹣4,﹣3) , . 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力.

18. (12 分)已知 cos(

﹣θ)=a(|a|≤1) ,求 cos(

+θ)和 sin(

﹣θ)的值.

考点: 两角和与差的余弦函数;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式通过角的转化求解 cos( 解答: 解:∵cos( 则 = ∴ = 点评: 本题考查诱导公式的应用,角的变换的技巧,考查计算能力.
x

+θ)与 sin(

﹣θ)的值.

﹣θ)=a(|a|≤1) ,



19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)过点(2,1) ,函数 g(x)=( ) (1)求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (2)若 x∈[1,2) ,求函数 f(x) ,g(x)的值域.

考点: 函数的值域;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意得 f(2)=loga3=1,从而求 a,再求函数 f(x) ,g(x)的解析式; (2)由函数的单调性求函数的值域. 解答: 解: (1)f(2)=loga3=1, a=3, f(x)=log3(x+1) , ;

(2)∵f(x)=log3(x+1)在定义域上是增函数, ∴x∈[1,2)时,f(x)的值域是[log32,1) , ∵ 在定义域上是减函数,

∴x∈[1,2)时,g(x)的值域是( , ]. 点评: 本题考查了函数的解析式与值域的求法,属于基础题.

20. (12 分)已知函数 f(x)=

(1)化简函数 f(x)的解析式; (2)求出函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值. 考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)运用诱导公式化简即可; (2)利用余弦函数的单调性质与最值性质,解求得函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的 值. 解答: 解: (1)f(x)= =cosx;

(2)∵f(x)=cosx, ∴f(x)max=1,此时,x=2kπ,k∈Z. 点评: 本题考查三角函数的化简求值,诱导公式以及余弦函数的最值,考查计算能力

21. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|< (1)求出函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 的单调增区间及对称中心.

)的图象如图所示,

个单位得到函数 y=g(x)的图象,求出函数 y=g(x)

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)通过函数的图象求出振幅,周期,以及 b.求出函数 f(x)的解析式; (2)利用平移变换的运算求出函数 y=g(x)的解析式,通过正弦函数的单调增区间求解函数 单调增区间及对称中心.

解答: 解: (1)由题意 ∴ T=4π, ∴ x=﹣ ∵|φ|< , 时,y=2,可得:2= ,∴φ= , ,







函数的解析式为: (2) 增区间 即 增区间 当 对称中心 ,k∈Z; 解得 k∈Z ,k∈Z; ,k∈Z, ,



,k∈Z,

,k∈Z.

点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,平移变换以及正弦函数的单调区间,对称中心 的求法,考查计算能力. 22. (12 分)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,当 x>0 时,有 f(x)<0,且 f (1)=﹣2 (1)求 f(0)及 f(﹣1)的值; (2)判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; 2 (3)求解不等式 f(2x)﹣f(x +3x)<4. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)令 x=y=0 求 f(0)=0;再令 x=﹣y=1 得 f(0)=f(1)+f(﹣1) ;从而求解; (2)可判断函数 f(x)是 R 上的减函数,利用定义证明; 2 2 2 (3)由(2)知,f(2x)﹣f(x +3x)<4 可化为 f(2x﹣x ﹣3x)<f(﹣2) ;从而得 x +x ﹣2<0,从而解得. 解答: 解: (1)令 x=y=0 得, f(0)=f(0)+f(0) ; 故 f(0)=0; 令 x=﹣y=1 得,

f(0)=f(1)+f(﹣1) ; 故 f(﹣1)=f(0)﹣f(1)=2; (2)函数 f(x)是 R 上的减函数,证明如下, 令 x=﹣y 得,f(0)=f(x)+f(﹣x) ; 故 f(x)=﹣f(﹣x) ; 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2) =f(x1﹣x2)=﹣f(x2﹣x1) , 故由 f(x2﹣x1)<0 知,﹣f(x2﹣x1)>0, 从而得 f(x1)﹣f(x2)>0, 则函数 f(x)是 R 上的减函数; (3)由(2)知, f(2x)﹣f(x +3x)<4 可化为 2 f(2x﹣x ﹣3x)<f(﹣2) ; 2 故 x +x﹣2<0, 解得,x∈(﹣2,1) . 点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.
2


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