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高三复数总复习知识点、经典例题、习题


复数
一.基本知识 【1】复数的基本概念 (1)形如 a + bi 的数叫做复数(其中 a,b ? R ) ;复数的单位为 i,它的平 方等于-1,即 i 2 ? ?1 .其中 a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当 b = 0 时复数 a + bi 为实数 虚数:当 b ? 0 时的复数 a + bi 为虚数; 纯虚数:当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, ? R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

(3)共轭复数: z ? a ? bi 的共轭记作 z ? a ? bi ; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; z ? a ? bi ,对应 点坐标为 p ? a, b? ; (象限的复习) (5)复数的模:对于复数 z ? a ? bi ,把 z ? a 2 ? b 2 叫做复数 z 的模; 【2】复数的基本运算 设 z 1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2 i (1) 加法: z 1 ? z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ? i ; (2) 减法: z 1 ?z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ? i ; (3) 乘法: z 1?z2 ? ? a1a2 ? b1b2 ? ? ? a2b1 ? a1b2 ? i 特别 z ? z ? a 2 ? b2 。

(4)幂运算: i1 ? i i 2 ? ?1 i 3 ? ?i i 4 ? 1 i 5 ? i i 6 ? ?1 ??? ??? 【3】复数的化简 c ? di z? ( a , b 是均不为 0 的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 a ? bi 化为实数: z ?
c ? di c ? di a ? bi ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i ? ? ? a ? bi a ? bi a ? bi a 2 ? b2

对于 z ?

c ? di c d ? a ? b ? 0 ? ,当 ? 时 z 为实数;当 z 为纯虚数是 z 可设为 a ? bi a b

z?

c ? di ? xi 进一步建立方程求解 a ? bi

二.

例题分析

【例 1】已知 z ? a ? 1 ? ?b ? 4? i ,求 (1) 当 a , b 为何值时 z 为实数 (2) 当 a , b 为何值时 z 为纯虚数 (3) 当 a , b 为何值时 z 为虚数 (4) 当 a , b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式 1】若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 A. ?1 B. 0 C1
2

D. ?1 或 1

【变式 2】求实数 m 的值,使复数 (m 别是: (1)实数。 (2)纯虚数。 (3)零

? 2m ? 3) ? (m2 ? 3m ? 4)i 分

【例 2】已知 z1 ? 3 ? 4i ; z2 ? ? a ? 3? ? ?b ? 4? i ,求当 a , b 为何值时 z 1 =z2

【变式 1】(1)设 x, y ? R,( x ? 1) ? 2 xi 值。

? ?3 y ? 2( y ? 1)i 求 x , y 的

(2)

(2 x ? 2i) ? ( y ? 4)i ? 0 求 x , y 的值。

【变式 2】设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a =( A.2 B.1 C.0

) D. ? 1

【例 3】已知 z ? 1 ? i ,求 z , z ? z ;

【变式 1】复数 z 满足 z ?

2?i ,则求 z 的共轭 z 1? i

【变式 2】已知复数 z ? A.
1 4

3 ?i ,则 z ? z = (1 ? 3i)2
C.1 D.2

B.

1 2

【变式 3】若复数 z 满足 z(1 ? i) ? 1 ? i ,则其共轭复数 z =________________ 【例 4】已知 z1 ? 2 ? i , z2 ? ?3 ? 2i (1) 求 z1 ? z2 的值; (2) 求 z1 ? z2 的值; (3) 求 z1 ? z2 .

?

【变式 1】已知复数 z 满足 ? z ? 2? i ? 1 ? i ,求 z 的模.

【变式 2】若复数 ?1 ? ai ? 是纯虚数,求复数 1 ? ai 的模.
2

z ? 2 ? i ,则复数 z ? ( 【变式 3】已知 1? i
A. ?1 ? 3i B. 1 ? 3i C. 3 ? i

?

) D. 3 ? i )

【例 5】下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i

p1 : z ? 2

p2 : z 2 ? 2i

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1

( A) p2 , p3

( B ) p1 , p2

( D) p? , p?

a ? 3i , ? a ? R ? (i 为虚数单位) 1 ? 2i (1) 若 z 为实数,求 a 的值 (2) 当 z 为纯虚,求 a 的值.

【例 6】若复数 z ?

【变式 1】设 a 是实数,且

a 1? i ? 是实数,求 a 的值.. 1? i 2

【变式 2】若 z ?

y ? 3i ? x, y ? R ? 是实数,则实数 xy 的值是 1 ? xi

.

【例 7】复数 z ? cos3 ? i sin 3 对应的点位于第几象限?

【变式 1】 i 是虚数单位, ( A.i B.-i

1? i 4 ) 等于 ( 1-i

) D.-1

C.1

【变式 2】已知 (A)-1+3i

Z =2+i,则复数 z=() 1+i

(B)1-3i

(C)3+i

(D)3-i

【变式 3】i 是虚数单位,若 (A)-15 【例 8】复数 z ? (A) 2 ? i

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则乘积 ab 的值是 2?i (B)-3 (C)3 (D)15

7?i = ( ) 3?i (B) 2 ? i (C) ?2 ? i

(D) ?2 ? i

【变式 1】已知 i 是虚数单位, A1 ? i B ?1 ? i

2i3 ? 1? i





C1 ? i

D. ? 1 ? i
1 ? 3i = 1? i D ?1 ? 2i

【变式 2】.已知 i 是虚数单位,复数 A2?i B2?i C ?1 ? 2i





【变式 3】已知 i 是虚数单位,复数 (A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i

?1 ? 3i ?( ) 1 ? 2i (D)-1-i

【变式 4】.已知 i 是虚数单位,则 (A) ? 1 (B)1 (C) ? i

i 3 ?i ? 1? ? i ?1





(D) i

高二数学复数测试题
一、选择题
1.若复数 z ? 3 ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 四象限
1? i 的结果是( ) i A. ?1 ? i B. ?1 ? i 3.复数 ? 9 的平方根是( ) A . 3i B . ? 3i

B.第二象限

C.第三象限

D.第

2.计算

C. 1 ? i
C . ? 3i

D. 1 ? i
D .不存在

4.若复数 z ? 2m2 ? 3m ? 2 ? (m2 ? 3m ? 2)i 是纯虚数,则实数 m 的值为(
A . 1或2



1 B . ? 或2 2

C .?

1 2

D .2

5 若实数 x, y ,满足 (1 ? i) x ? (1 ? i) y ? 2 ,则 xy 的值是( A. 1 6.已知复数 z 满足 A.1 7. (
1 ? i 2008 ) ?( 1? i

) D.-3

B. 2
1? z ? i, 则 1 ? z =( 1? z

C.-2 ) C.

B. 0 ) B. ? 1

2

D. 2

A.1

C. i

D. ? i )

8.如果复数 z ? 3 ? ai 满足条件 z ? 2 ? 2 ,那么实数 a 的取值范围为( A. (?2 2, 2 2)
2) B. (?2, , C. (?11)

D. (? 3,3)

9、适合方程 2z ? z ? i ? 0 的复数 z 是(
A.


C .?

3 1 ? i 6 2

B.

3 1 ? i 6 2

3 1 ? i 6 2

D .?

3 1 ? i 6 2

i i2 · i3 ·……· i100 = ( 10. · ) A.1 B.-1

C.I )

D.-i

11.在复平面内,复数 A、第一象限 象限

i ? (1 ? 3i ) 2 对应的点位于( 1? i

B、第二象限

C、第三象限

D、第四

i3 12.复数 ? (1 ? i ) 2
A.
1 2

B. ?

1 2

C. ?

i 2

D.

i 2

二、填空题
1、复数 z=3-2i 的共轭复数为_________________。 2、若 z= a+bi,则 z ? z =____________, z ? z =____________.
1 3、 ? ______ , (1 ? i) 2 ? ______ i 1? i 1? i ? ______ , ? ______ 4、 1? i 1? i

1 3 5、设 w ? ? ? i, 则 w2 ? _______ , w3 ? _______ ,1 ? w ? w2 ? _______ . 2 2
6、已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1 ? z 2 是实数,则实数 t 等于___________. 7、已知 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 对应的点在________象限。 8、若 ( x2 ?1) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是___________
1 ? i 2006 ) =___________ 9、 ( 1? i 1? i 10、已知复数 Z ? ,则 1 ? Z ? Z 2 ? Z 3 ? Z 4 的值是___________ 1? i

11、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 3i ,则复数

i z2 = ? z1 5



12、 f (n) ? i n ? i ?n ,(n ? N * ) 的值域中,元素的个数是___________个。 13. (

1? i 4 ) =_______________ i

14.已知 x, y ? R ,若 xi ? 2 ? 3i ? y ? i ,则 x ? y ? 15、试求 i1, i 2 , i3 , i 4 , i5 , i6 , i7 , i8 的值,由此推测 i 4 n ? _____,
i 4 n ? 2 ? ______, i 4 n?3 ? ______,


i 4 n?1 ? ______,

i1i 2i 3i 4 ......i 2000 ? ___________

16. 在复平面内,平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 对应的复数分别是 1+3i,-i,2+i,则点 D 对应的复数为 。 2 17. 已知复数 z 与(z +2) – 8 i 都是纯虚数,则 z =_________。
1 1 1 18. 已知 z1 ? 5 ? 10i,z 2 ? 3 ? 4i, ? ? ,则z. ? z z1 z 2



19.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a 2 ? b 2 ? _________。 20.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 三、解答题
1 ? i 5 2 1 ? i 20 ) ] ?( ) 1. 计算 [(1 ? 2i) ? i 100 ? ( 1? i 2
z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2



2. 已知复数 z ? (2m 2 ? 3m ? 2) ? (m 2 ? m ? 2)i, m ? R 根据下列条件,求 m 值。 (1)z 是实数; (2)z 是虚线; (3)z 是纯虚数; (4)z=0。

3.已知复数 z1 ? a ? 2 i (a ? R) , z 2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,求复数 z 1 . z2

4. 设复数 Z ? lg(m 2 ? 2m ? 2) ? (m 2 ? 3m ? 2)i ,试求实数 m 取何值时 (1)Z 是实数; 象限 (2)Z 是纯虚数; (3)Z 对应的点位于复平面的第一

5、已知 z 是复数,z+2i、 第一象限, 求实数 a 的取值范围。

z 均为实数,且复数(z+ai)2 在复平面上对应的点在 2?i

6.已知: z 2 ? z ? 1 ? 0 , (1) 证明:z 3 ? 1 ; (2) 求值:z 6 ? z ?6 ; (3) 求值:
1 z
2007

?

1 z
2008

?

1 z
2009



7.实数 m 分别取什么数时,复数 z ? (1 ? i)m2 ? (5 ? 2i)m ? (6 ? 15i) 是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数; (4)对应点在第三象限;

(5)对应点在直线 x ? y ? 5 ? 0 上;

(6)共轭复数的虚部为 12.

2 8、已知 z ? 1 ? i ,如果 z ? az ? b ? ?1 ? i ??1 ? z ? ,求实数 a 、 b 的值.


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