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2018版高中数学第二章函数2.1函数概念学案北师大版必修1(数学教案)

2.1 函数概念 学习目标 1.理解函数的概念, 了解构成函数的三要素(重点); 2.能正确使用区间表示 数集(重点);3.会求一些简单函数的定义域、函数值(重、难点). 预习教材 P26-27 完成下列问题: 知识点一 函数的概念 (1)函数的定义: 给定两个非空数集 A 和 B,如果按照某个对应关系 f,对于集合 A 中的任何一个数 x, 在集合 B 中都存在唯一确定的数 f(x)与之对应,那么就把对应关系 f 叫作定义在集合 A 上 的函数,记作 f:A→B,或 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域与值域: 函数 y=f(x),x∈A,x 叫作自变量,集合 A 叫作函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. 【预习评价】 1.下列式子中不能表示函数 y=f(x)的是( A.x=y +1 C.x-2y=6 2 ) 2 B.y=2x +1 D.x= y 解析 一个 x 对应的 y 值不唯一,故 A 不能表示函数. 答案 A 2.函数符号 y=f(x)表示( A.y 等于 f 与 x 的乘积 B.f(x)一定是一个式子 C.y 是 x 的函数 D.对于不同的 x,y 也不同 解析 y=f(x)表示的是 y 是 x 的函数,故选 C. 答案 C 知识点二 函数的三要素 函数的三要素:定义域,对应关系,值域. (1)定义域 定义域是自变量 x 的取值集合.有时函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数 的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合. (2)对应关系 对应关系 f 是核心,它是对自变量 x 进行“操作”的“程序”或者“方法”,是连接 x ) 1 与 y 的纽带,按照这一“程序”,从定义域集合 A 中任取一个 x,可得到值域{y|y=f(x)且 x∈A}中唯一确定的 y 与之对应. (3)值域 函数的值域是函数值的集合, 通常一个函数的定义域和对应关系确定了, 那么它的值域 也会随之确定. 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数 y=f(x),x∈A,f(x)与 f(a)意义相同.( (2)在函数的定义中,集合 B 就是函数的值域.( ) ) 提示 (1)f(x)为变数,f(a)表示函数 f(x)当 x=a 时的函数值,是一个常数.(2)不一 定.例如,A={1,2,3},B={1,2,3,4},f:x→y=x,则 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的一 个函数,但函数值域{1,2,3}是 B 的子集. 答案 (1)× (2)× 知识点三 函数相等 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等. 【预习评价】 函数 y=x +x 与函数 y=t +t 相等吗? 提示 相等,这两个函数定义域相同,都是实数集 R,而且这两个函数的对应关系也相 同,因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系,只是习惯上自变量 用 x 表示. 知识点四 区间概念 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} 名称 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] 数轴表示 2 2 2 {x|x<a} R 【预习评价】 (-∞,a) (-∞,+∞) 取遍数轴上所有的值 1.对于区间[a,b]而言,区间端点 a,b 应满足什么关系? 提示 若 a,b 为区间的左右端点,则 a<b. 2.区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? 提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. 3.“∞”是数吗?如何正确使用“∞”? 提示 “∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间 一端时,这一端必须是小括号. 题型一 函数的概念及求值问题 【例 1】 (1)下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中, 不能确定 y 是 x 的函数的是( ①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系 f:x→y= ; 3 ②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系 f:x→y =3x; ③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系 f:x→y:x +y =25; ④A=R,B=R,对应关系 f:x→y=x ; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系 f:(x,y)→s=x+y; ⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系 f:x→y=0. A.①⑤⑥ (2)已知函数 f(x)= 1 ,g(x)=2x+1. x +2 2 2 2 2 2 ) x B.②④⑤⑥ C.②③④ D.①②③⑤ ①求 f(1),g(1)的值;②求 f(g(2))的值;③求 f(a-1),g(a+1)的值. (1)解析 ①在对应关系 f 下,A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有数与它对应,所以不 能确定 y 是 x 的函数.②在对应关系 f 下,A 中的数在 B 中有两个数与之对应,所以不能确 定 y 是 x 的函数. ③在对应关系 f 下, A 中的数(除去 5 与-5 外)在 B 中有两个数与之对应, 所以不能确定 y 是 x 的函数.⑤A 不是数集,所以不能确定 y 是 x 的函数;④⑥显然满足函 数的特征,y 是 x 的函数.故应选 D. 答案 D 1 1 (2)解 ①f(1)= 2 = ,g(1)=2×1+1=3; 1 +2 3 ②由 g(2)=2×2+1=5,所以 f(g(2))=f(5)= 1 1 = . 2 5 +2 27 3 ③f(a-1)= 1 a- 2 1 = 2 ,g(a+1)=2×(a+1)+1

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