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高中数学配套课件:第1部分 第一章 1.4 1.4.2 第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值


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第 一 章

1.4 1.4.2

第 二 课 时 应用创 新演练

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[例1]

π 求函数y=2sin(x- )的单调区间. 3

[思路点拨]

π 令 z=x- 3 ,借助 y=2sin z 的单调性求解.

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π [精解详析] 令z=x- ,则y=2sin z. 3 π ∵z=x- 是增函数, 3 π ∴y=2sin z单调递增(减)时,函数y=2sin(x- )也单调递增 3 (减). π π 由z∈[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z), 2 2 π π π 得x- ∈[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z), 3 2 2

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π 5π 即x∈[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z), 6 6 π 故函数y=2sin(x- )的单调递增区间为 3 π 5π [2kπ - ,2kπ + ](k∈Z). 6 6 π 同理可求函数y=2sin(x- )的单调递减区间为 3 5π 11 [2kπ + ,2kπ + π ](k∈Z). 6 6

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[一点通]

求y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的单调

区间时,首先把x的系数化为正的,再利用整体代换,即把

ωx+φ代入相应不等式中,解不等式求x的范围.

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π 1.已知函数y=cos( -2x),则它的单调减区间为________. 3 π π π 解析:y=cos( -2x)=cos(2x- ),由2kπ≤2x- ≤ 3 3 3
π 2π 2kπ+π,k∈Z,得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 6 3 π 2π ∴单调递减区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π 2π 答案:[kπ + ,kπ + ](k∈Z) 6 3

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π π 2.求函数y=sin( x- )的单调递增区间. 4 6
π π π π 解:令 2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ (k∈ Z) 2 4 6 2 4 8 得 8k- ≤x≤8k+ (k∈Z) 3 3 4 8 ∴函数的单调递增区间是[8k- ,8k+ ](k∈ Z). 3 3

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[例2]

比较下列各组数的大小.

π 13π (1)cos(- )与cos ;(2)sin 194°与cos 160°. 8 7
[思路点拨] 利用诱导公式,把函数名称统一,并把

角化在同一单调区间上,根据单调性比较大小.

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π π [精解详析] (1)cos(- )=cos ; 8 8 π 13 6 6 cos π =cos(π + π )=-cos π =cos . 7 7 7 7 π π ∵0< < <π ,且y=cos x在(0,π )上单调递减, 8 7 π π π 13π ∴cos >cos ,即cos(- )>cos . 8 7 8 7

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(2)sin 194°=sin (180°+14°)=-sin 14°. cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. π ∵0°<14°<70°<90°且y=sin α 在(0, )上单调递增, 2 ∴sin 70°>sin 14°,即-sin 14°>-sin 70°. 故sin 194°>cos 160°.

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[一点通]

比较三角函数值的大小的一般思路:先判断三

角函数值的正负,若三角函数值同号,再利用诱导公式转化到 同一个单调区间内的同名函数值进行比较.

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3.若α、β均为锐角,且sin α >cos β ,则( A.α >β π C.α +β> 2 B.α <β

)

π D.α +β< 2 π 解析:由sin α>cos β,得sin α>sin( -β),∵α,β 2
π π 为锐角,∴ -β也是锐角,又y=sin x在(0, )上单调 2 2 π π 递增,∴α> -β,即α+β> . 2 2

答案:C
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4.比较下列各组函数值的大小. 21π 42π (1)sin ,sin ; 5 5 1 (2)sin ,cos 5. 5

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21π π π 解:(1)sin =sin(4π+ )=sin , 5 5 5 42π 2π 2π sin =sin(8π+ )=sin . 5 5 5 π 2π π ∵0< < < , 5 5 2 π 且y=sin x在[0, ]上为增函数, 2 π 2π ∴sin <sin , 5 5 21π 42π 即sin <sin . 5 5

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π 1 1 (2)sin =cos( - )≈cos 1.37, 5 2 5 cos 5=cos(2π-5)≈cos 1.28. ∵y=cos x在[0,π]上为减函数, 1 ∴cos 1.37<cos 1.28,即sin <cos 5. 5

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[例3]

(12分)求下列函数的值域:

π π (1)y=cos(x+ ),x∈[0, ]; 6 2 (2)y=cos2x-4cos x+5.
[思路点拨] π (1)先求x+ 的范围,再由y=cos x的图像 6

求出值域;(2)可以令t=cos x ∈[-1,1],转化为二次函数 求值域.

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[精解详析]

π π π 2π (1)∵x∈[0, 2 ],∴ 6 ≤x+ 6 ≤ 3 .

π 2π ∵y=cos x 在区间[0,π ]上单调递减,而[ 6 , 3 ]?[0,π ], π 2π ∴y=cos x 在区间[ 6 , 3 ]上也单调递减,? 2π π 1 3 ∴cos 3 ≤y≤cos 6 ,即-2≤y≤ 2 . π π 1 3 ∴y=cos(x+ 6 ),x∈[0, 2 ]的值域为[-2, 2 ].? (6 分) (3 分)

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(2)令t=cos x,则-1≤t≤1. ∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1, ∴t=-1时,y取得最大值10,? t=1时,y取得最小值2.? (10分) (11分)

所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].? (12分)

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[一点通] 三角函数的值域问题主要有两类,第一种类型 是可化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式, 这类函数的值域问题的解决方法是利用给定区间上的单调 性;第二种类型是关于cos x(或sin x)的二次函数型,利用三 角函数的有界性和二次函数的配方法求最值.

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π 5.函数y=cos(2x- )在x=________时,取到最大值________. 3
π π 解析:当2x- =2kπ,k∈Z,即x=kπ+ (k∈Z)] 3 6 时,函数取到最大值1.
π 答案:kπ + (k∈Z) 6

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m-1 π 2π 6.若sin α = ,α∈[- , ],则m的取值范围是 3 6 3 ________.
π 2π 1 解析:∵α∈[- , ],sin α∈[- ,1], 6 3 2 1 m-1 1 ∴- ≤ ≤1,- ≤m≤4. 2 3 2

1 答案:[- ,4] 2

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7.求下列函数的最大值和最小值: π π π (1)y=2sin(2x+ )(- ≤x≤ ); 3 6 6 (2)y=2cos2x+5sin x-4.
π π π 2π 解:(1)∵- ≤x≤ ,∴0≤2x+ ≤ , 6 6 3 3 π ∴0≤sin(2x+ )≤1. 3 π π ∴当sin(2x+ )=1,即x= 时,ymax=2; 3 12 π π 当sin(2x+ )=0,即x=- 时,ymin=0. 3 6

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(2)y=2cos2 x+5sin x-4 =-2sin2 x+5sin x-2 5 9 =-2(sin x- )2+ . 4 8 ∵sin x∈[-1,1], ∴当sin x=-1, π 即x=- +2kπ(k∈Z)时, 2 y有最小值-9; π 当sin x=1,即x= +2kπ(k∈Z)时,y有最大值1. 2

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1.确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法: π π (1)把ωx+φ看成一个整体,由2kπ - ≤ω x+φ≤2kπ + 2 2 π (k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2kπ + ≤ω x+ 2 3 φ≤2kπ + π (k∈Z)解出x的范围,所得区间即为减区间. 2 (2)对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω<0),可先用诱导公式转 化为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增(减)区间即为 函数y=Asin(ωx+φ)的减(增)区间.函数y=Acos(ωx+φ)的单调性 类似.

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2.求三角函数的最值问题一般有两种基本类型: (1)化为一个角的三角函数,即y=Asin(ωx+φ)+B或y= Acos(ωx+φ)+B,利用三角函数的单调性或有界性求解. (2)化为关于某三角函数的二次函数型,即y=Asin2x+Bsin x +C(或y=Acos2x+Bcos x+C),配方利用二次函数求最值,特别 要注意三角函数的有界性.

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