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中学《生活中的数学》校本课程教材

《生活中的数学》校本课程 目录 第一讲:生活中的趣味数学 第二讲: 数学中的悖论 第三讲:对称——自然美的基础 第四讲:斐波那契数列 第五讲:龟背上的学问 第六讲:巧用数学看现实 第七讲:运用数学函数方程解决生活中的问题 第八讲:生活中的优化问题举例 第一讲:生活中的趣味数学 1.“荡秋千”问题: 我国明朝数学家程大位(1533~1606 年)写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》,其中有一道与荡秋千有关 的数学问题是用《西江月》词牌写的: 平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记; 仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几? 词写得很优美,翻译成现代汉语大意是:有一架秋千,当它静止时,踏板离地 1 尺,将它往前推送 10 尺(每 5 尺为一步),秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为 5 尺,如果这时秋千的绳索拉得很直,试问它有多长? 下面我们用勾股定理知识求出答案: 如图,设绳索 AC=AD=x(尺),则 AB=(x+1)-5(尺),BD=10(尺) 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得 AB2+BD2=AD2,即(x-4)2+102=x2, 解得 x=14.5,即绳索长为 14.5 尺. 2.方程的应用: 小青去植物园春游,回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。小青并不直接回答,却调皮地说:“我带出去的钱正好 花了一半,剩下的元数是带出去角数的一半,剩下的角数与带出去元数相同。”爸爸踌躇一下,有些为难。 你能否帮助他把钱数算出来,小青到底带了多少钱?花了多少钱?还剩多少钱? 方法一:设带出去 x 元,y 角.根据剩下的元数是带出去角数的一半知道 y 是偶数 花了的钱分 x 为奇数与偶数情况 (1)x 是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2 元,(y/2+5)角 根据后面两句话知道,剩下=y/2 元,x 角 有二元一次方程组:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得 x=9,y=8 (2)x 是偶数时候,花一半就是花了=剩下=x/2 元,(y/2+5)角 剩下的同上面情况 有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得 x=y=10 但是没有 10 角钱说法 不符合实际(舍) ∴答案是 9 元 8 角 方法二:设带出去 X 元 Y 角,还剩 a 元 b 角 按照用掉一半还剩一半的等式: 10a + b = ( 10x + y)/ 2 又因为: a = y / 2 b=x 带入等式化简即可得:x / y = 9 / 8 因为 y 只能是小于 10 的整数 所以,小青带了 9 元 8 角!用了 4 元 9 角,还剩 4 元 9 角! 3.工资的选择: 假设你得到一份新的工作,老板让你在下面两种工资方案中进行选择: (A) 工资以年薪计,第一年为 4000 美元以后每年加 800 美元; (B) 工资以半年薪计,第一个半年为 2000 美元,以后每半年增加 200 美元。 你选择哪一种方案?为什么? 答案:第二种方案要比第一种方案好得多 4.我们大家一起来试营一家有 80 间套房的旅馆,看看知识如何转化为财富。 经调查得知,若我们把每日租金定价为 160 元,则可客满;而租金每涨 20 元,就会失去 3 位客人。 每间住了人的 客房每日所需服务、维修等项支出共计 40 元。 问题:我们该如何定价才能赚最多的钱? 答案:日租金 360 元。 虽然比客满价高出 200 元,因此失去 30 位客人,但余下的 50 位客人还是能给我们带来 360*50=18000 元的 收入; 扣除 50 间房的支出 40*50=2000 元,每日净赚 16000 元。而客满时净利润 160*80-40*80=9600 元。 当然, 所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰,据此入市,风险自担。 第二讲 数学中的悖论 “悖论”也可叫“逆论”,或“反论”,这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛 盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。 1.一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬)。 2.一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论)。 3.一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论有点像魔术中的变戏法,它使人们在看完之后,几乎没有—个不惊讶得马上就想知道:“这套戏法是怎么 搞成的?”当把技巧告诉他时,他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此,悖论就成了一 种十分有价值的教学手段。 悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分,这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它 带有强烈的游戏色彩。然而,切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对 bridge-crossing 之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏(一种在小方格中插小木条的游戏)时分 析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机 游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。 悖论一览 1. 理发师悖论(罗素悖论):某村只有一人理发,且该村的人都需要理发,理发师规定,给且只给村中不自己理 发的人理发。试问:理发师给不给自己理发? 如果理发师给自己理发,则违背了自己的约定;如果理发师不给自己理发,那么按照他的规定,又应该给自己 理发。这样,理发师陷入了两难的境地。 2. 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟:公元前 5 世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著 名的悖论:他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑,并让乌龟在阿基里斯前头 1000 米开始。假定阿基里斯能 够跑得比乌龟快 10 倍。比赛开始,当阿基里斯跑了 1000 米时,乌龟仍前于他 100 米;当阿基里斯跑了下一个 100 米时,乌龟依然前于他 10 米……所以,阿基里斯永远追不上乌龟。 3. 说谎者悖论:公元前 6

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