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求导数

【例1】求下列函数的导(函)数.
(1)y=x-5; (2)y=4x;
(3)y ? x x x ;

(1)y′=(x-5)′=-5x-6;
(2)y′=(4x)′=4xln4;
7 ?8 (3) y ? x ?x ?x ? x , y? ? x ; ? ? 8 (4)y′=(log3x)′= 1 ; xln3 ? ∴y′=-sinx; (5) y ? sin( ? x) cosx, ? ? 2 ? (6)y? ? sin )? 0; ( ? 3
1 2 1 4 1 8 7 8 1

(4)y=log3x;
? (5)y ? sin( ? x); 2 ? (6)y ? sin ; 3

(7)y=cos(2π -x).

(7) ∵y=cos(2π-x)=cosx,∴y′=-sinx.

导数几何意义的应用

1.求切线方程是导数应用之一,有两种情况:

2.求过点P与曲线相切的直线方程的步骤:

【例2】(2010·陕西高考改编)已知函数 f ? x ? ? x , g(x)=alnx,a∈R. 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切 线,求a的值及该切线的方程;

【审题指导】本题关键从曲线y=f(x)与y=g(x)在交点处有
相同的切线入手,求出交点坐标和a的值进而求出该切线的

方程.

【规范解答】f ? ? x ? ? 1 ,g? ? x ? ? a ? x>0 ? ,

x 2 x ? x ? alnx, ? 由已知得:? 1 解得 a ? 1 e, x ? e 2 . a ? . 2 ? 2 x x ?

∴两条曲线交点的坐标为(e2,e), 切线的斜率为 k ? f ? ? e 2 ? ? 1 ,
2e 所以切线的方程为 y ? e ? 1 ? x ? e 2 ?, 2e

即x-2ey+e2=0.

【例】(1) 求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程; (2)求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程; (3)已知直线y=x-1,点P为y=x2上任意一点,求P在什么 位置时到直线距离最短.

【解析】(1)点(1,1)在曲线y=x2上,y′=2x, 所以y′|x=1=2,即切线的斜率为2, 由点斜式得切线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0 .

(2)y′=2x,设切点坐标为(x0,y0),则切线斜率k=2x0, 切线方程为y-y0=2x0(x-x0).

因为切线经过点(0,-1),所以有
-1-y0=2x0(0-x0),即2x02-y0-1=0 ①

又点(x0,y0)在曲线y=x2上,所以y0=x02
解①②得x0=〒1,y0=1, 即切点为(-1,1),(1,1), 所以切线方程为y-1=2(x-1)或y-1=-2(x+1), 即2x-y-1=0或2x+y+1=0.



(3)设l与y=x-1平行,且与曲线y=x2相切, 则切点即为所求. 设切点为P(x0,y0),则切线斜率k= y? |x?x ? 2x0 ? 1 ,
0

1 所以 x 0 ? 1 ,y0 ? 1 , 即所求的点为 1 ,). ( 2 4 2 4

导数的综合应用

导数与其他知识点的结合: 高考中对导数的考查,往往与其他知识点相结合:如解析几

何、不等式、数列、函数等,解题的关键是能够熟练求出导
数,把问题转化为相对应的知识点.

【例3】(2010·辽宁高考)已知点P在曲线 y ?

4 上, x e ?1

α 为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α 的取值范围是
( (A) 0, ? ) [
4 (C)( ? , 3? ] 2 4

)

(B) ? , ? ) [

4 2 (D) 3? , ?) [ 4

【规范解答】选D.
4e x 4 y? ? ? 2x ?? 1 e ? 2e x ? 1 ex ? 2 ? x e 1 ? e x ? x ? 2,??1 ? y?<0,即 ? 1 ? tan? ? 0, e 3? ?? ? [ , ?) 4

【典例】(12分)(2010·湖北高考改编)设函数
1 a 其中a>0,曲线y=f(x)在点 f ? x ? ? x 3 ? x 2 ? bx ? c, 3 2

P(0,f(0))处的切线方程为y=1,确定b、c的值.

【规范解答】由题意得:f(0)=c, f′(x)=x2-ax+b, …………………………………………4分 由切点P(0,f(0))既在曲线 f ? x ? ? 1 x 3 ? a x 2 ? bx ? c
?f ? 0 ? 0 在切线y=1上知 ? ? ? ,即 ? ?f ? 0 ? ? 1 ?
3 2

上又

?02 ? a ?0 ? b ? 0 ? ?1 3 a 2 ? 3 ? 0 ? 2 ? 0 ? b?0 ? c ? 1 ………………………………10分 ? 故b=0,c=1. ……………………………………………12分

1.下列四组函数中导数相等的是( (A)f(x)=1与f(x)=x (B)f(x)=sinx与f(x)=-cosx (C)f(x)=1-cosx与f(x)=-sinx

)

(D)f(x)=1-2x2与f(x)=-2x2+3
【解析】选D.D中两个函数的导数都是-4x.其中A、B、C中 均不同.

2.对任意的x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式可 以为( ) (B)f(x)=x4-2 (D)f(x)=-x4

(A)f(x)=x4 (C)f(x)=x4+1

【解析】选B.根据导数,可设f(x)=x4+c, 由f(1)=-1得c=-2,

∴f(x)=x4-2.

3.曲线y=sinx在点( ? , 3 ) 处的切线方程为____________.
3 2

【解析】∵y′=cosx, ∴该点处的切线斜率为 cos ? ? 1 ,
3 2 3 1 ? ∴切线方程为 y ? ? (x ? ), 2 2 3 即 x ? 2y ? 3 ? ? ? 0. 3 ? 答案:x ? 2y ? 3 ? ? 0 3

4.y=xcosx在 x ? ? 处的导数值是____________.
3

【解析】∵y′=cosx+x(-sinx),
? y? |
x? ?? 3

1 3 ? ?. 2 6

答案:1 ? 3 ?
2 6

5.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,求l的方程. 【解析】由已知,l的斜率为4, 设切点为P(x0,y0), 则 y? |x ?x ? 4x 03 ? 4,
0

所以x0=1,所以y0=1,

即切点为P(1,1),
所以切线方程为y-1=4(x-1),

即4x-y-3=0.


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