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高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练习1


数列单元易错题分析
1、如何判断等差数列、等比数列?等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导? 2、解决等差(等比)数列计算问题通常的方法有哪两种? ① 基本量方法:抓住 a1 , d (q) 及方程思想; ②利用等差(等比)数列性质). 3、解决一些等比数列的前 n 项和问题,你注意到要对公比 q ? 1 及 q ? 1 两种情况进行讨论了 吗? 4、 在 “已知 S n , 求 an ” 的问题中,你在利用公式 an ? S n ? S n?1 时注意到 n ? 2 了吗?( n ? 1 时, 应有 a1 ? S1 ) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法?(①猜证法;②转化为等差(比)数列问题) [问题]:已知: a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 3n , 求an . 6、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) 7、数学归纳法证明问题的基本步骤是什么?你注意到“用数学归纳法证明中,必须用上归纳 假设”吗? 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前 n 项和之间的关系解题: 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项公式 an: (1)Sn=5n2+3n; (2)Sn= 3 -2; 【错解】由公式 an=sn-sn-1 得: (1)an=10n-2; (2) an ? 2 ? 3n?1 【分析】应该先求出 a1,再利用公式 an=sn-sn-1 ? n ? 2 ? 求解. 【正解】 (1)an=10n-2; (2) an ? ?
n

?1 ?2 ? 3
n ?1

(n ? 1) (n ? 2)

2、忽视等比数列的前 n 项和公式的使用条件: 例 2、求和:(a-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(an-n) . 【错解】S=(a+(a2+a3+?+an) -(1+2+3+?+n)=

a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? . 1? a 2

【分析】利用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q 的取值不能为 1. 【正解】S=(a+(a2+a3+?+an) -(1+2+3+?+n)

n ? n2 a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? 当 a=1 时,S = ;当 a ? 1 时,S= 2 1? a 2
3、 忽视公比的符号 例 3、已知一个等比数列 ?an ? 前四项之积为

1 ,第二、三项的和为 2 ,求这个等比数列 16
1

的公比.

1 ? a4 ? ? a a 16 ? 3 【错解】? 四个数成等比数列,可设其分别为 3 , , aq, aq , 则有 ? ,解得 q q ? a ? aq ? 2 ? ?q
q ? 2 ? 1 或 q ? ? 2 ? 1 ,故原数列的公比为 q2 ? 3 ? 2 2 或 q2 ? 3 ? 2 2
【分析】按上述设法,等比数列 ?an ? 的公比是 q2 ,是正数,四项中各项一定同号,而原题 中无此条件,所以增加了限制条件。

? 4 6 1 4 ? aq ? 16 ,? ?1 ? q ? ? 64q 2 【正解】设四个数分别为 a, aq, aq , aq , 则 ? ?aq ? aq 2 ? 2 ?
2 3

由 q ? 0 时,可得 q2 ? 6q ? 1 ? 0,?q ? 3 ? 2 2; 当 q ? 0 时,可得 q2 ? 10q ? 1 ? 0,?q ? ?5 ? 4 6 【变式】等比数列 {an } 中,若 a3 ? ?9 , a7 ? ?1 ,则 a5 的值 (A)是 3 或-3 (B) 是 3 (C) 是-3
2

(D)不存在

【错解】? {an } 是等比数列, ? a3 , a5 , a7 成等比, a5 ? (?9)(?1) =9,? a5 ? ?3 选A 【分析】 a3 , a5 , a7 是 {an } 中的奇数项,这三项要同号。错解中忽视这一点。 【正解】C 4、缺乏整体求解的意识 例 4、一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的 和为 234,求 a7 【错解】设该数列有 n项且首项为 a1 ,末项为 a n ,公差为 d

则依题意有

? ?5a1 ? 10 d ? 34 ? ?5a n ? 10 d ? 146 ?a ? a n ? 1 ? n ? 234 ? 2

(1) ( 2 ) ,三个方程,四个未知数,觉得无法求解。 ( 3)

【分析】 在数列问题中,方程思想是常见的思想,使用时,经常使用整体代换的思想。错 解中依题意只能列出 3 个方程,而方程所涉及的未知数有 4 个,没有将 a1 ? a n 作为一个 整体,不能解决问题。事实上,本题求 a 7 ,而没有要求其他的量,只要巧用等差中项的
2

性质, a 7 ? 理解。

a1 ? a13 ,求出 a1 ? a13 即可。知识的灵活应用,来源于对知识系统的深刻 2

【正解】设该数列有 n项且首项为 a1 ,末项为 a n ,公差为 d 则依题意有

? ?5a1 ? 10 d ? 34 ? ?5a n ? 10 d ? 146 ?a ? a n ? 1 ? n ? 234 ? 2

(1) (2) , ( 1 3, 1 )?(2 )可得 a1 ? a n ? 36 ,代入(3)有 n? ( 3)

1 从而有 a , 又所求项 a 7 恰为该数列的中间项,?? a ? a 3 6 1 1 3? 7

a? a 3 6 1 3 ? ? 1 8 2 2

例5

(1)设等比数列 ?an ?的全 n 项和为 S n .若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q .

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a1 (1 ? q 9 ) 错误解法 ? S3 ? S 6 ? 2S9 , ? , ? ? 2? 1? q 1? q 1? q

整理得

q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )= 0.
6 3 3 3 3

由q ? 0得方程 2q ? q ? 1 ? 0. ? (2q ? 1)(q ? 1) ? 0,? q ? ?

4 2

或 q ? 1。

错误分析 在错解中,由

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) , ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q

整理得 q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )= 0 时,应有 a 1 ? 0 和 q ? 1 。
在等比数列中, a1 ? 0 是显然的,但公比 q 完全可能为 1,因此,在解题时应先讨论公 比 q ? 1 的情况,再在 q ? 1 的情况下,对式子进行整理变形。 正确解法 若 q ? 1 ,则有 S 3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S9 ? 9a1 . 但 a1 ? 0 , 即得 S3 ? S 6 ? 2S9 , 与题设矛盾,故 q ? 1 . 又依题意

S3 ? S6 ? 2S9 ?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a1 (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1? q 1? q 1? q

3 6 3 ? q (2q ? q ? 1 )=0 , 即 (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0, 因为 q ? 1 ,所以 q 3 ? 1 ? 0, 所以

2q 3 ? 1 ? 0. 解得 q ? ?

3

4 . 2
3

说明 此题为全国高考数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分标准而痛 失 2 分。 【变式】等比数列前 n 项和为 2,其后 2n 项和为 12,则再后 3n 项和为_________ 例题 6 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,证明 am,am+2,am+1 成等差数列; (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2. 由已知 2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1), 1 1 ∴am+2=- am+1,即数列{an}的公比 q=- . 2 2 1 1 ∴am+1=- am,am+2= am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1 成等差数列. 2 4 (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 设数列{an}的公比为 q,∵am+1=amq,am+2=amq2. 1 由题设,2am+2=am+am+1,即 2amq2=am+amq,即 2q2-q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2 当 q=1 时,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1 不成等差数列.逆命题为假. 例题 7 已知数列{an}满足 a1=1,a2=-13, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2n ? 6 (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an , 求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求 n 为何值时, an 最小(不需要求 an 的最小值) 解: (I)? bn ? an?1 ? an ,? an?2 ? 2an?1 ? an ? bn?1 ? bn ? 2n ? 6

? bn ? bn ?1 ? 2(n ? 1) ? 6, bn ?1 ? bn ? 2 ? 2(n ? 2) ? 6,....,b2 ? b1 ? 2 ? 6 将这n ? 1个等式相加,得 bn ? b1 ? 2[1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)] ? 6(n ? 1) ? bn ? n(n ? 1) ? 6(n ? 1) ? (a 2 ? a1 ) ? n 2 ? 7n ? 8
即数列{bn}的通项公式为 bn ? n 2 ? 7n ? 8 (Ⅱ)若 an 最小,则 an ? an?1且an ? an?1 .即bn?1 ? 0且bn?1 ? 0
2 ? ?n ? 7 n ? 8 ? 0 ?? 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 2 ? ?(n ? 1) ? 7(n ? 1) ? 8 ? 0

∴当 n=8 或 n=9 时,an 的值相等并最小 基础练习题 - 1、已知 a1 = 1,an = an-1 + 2n 1(n≥2),则 an = ________。2n-1(认清项数) 2、已知 -9、a1、a2、-1 四个实数成等差数列,-9、b1、b2、b3、-1 五个实数成等比数 列,则 b2 (a2-a1) = A(符号) (A) -8 (B) 8 9 (C) -8 9 (D) 8

3、已知 {an} 是等比数列,Sn 是其前 n 项和,判断 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列吗?
4

当 q = -1,k 为偶数时,Sk = 0,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 不成等比数列; 当 q≠-1 或 q = -1 且 k 为奇数时,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列。 (忽视公比 q = -1) 4、已知等差数列{an}的首项 a1=120,d=-4,记 Sn= a1+a2+?+an,若 Sn≤an(n>1) ,则 n 最小值为???????????????????????( (A)60 (B)62 (C)63 (D)70 B )

5、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于(C ) (A)

2 n ?1 ? 2

(B) 3n

(C) 2 n

(D)

3n ? 1

6、若数列 ?an ?中, a1 ?

1 ,且对任意的正整数 p 、 q 都有 a p ? q ? a p aq ,则 a n ? 3
n

?1? (A) ? ? ? 3?

n ?1

?1? (B) 2? ? ? 3?

?1? (C) ? ? ? 3?

n

(D)

1 3

(

C)

7、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? aq n?1 (a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ,则数列 {a n } 为( (A)等差数列 (C)既不是等差数列,又不是等比数列 (B)等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 (



1 , q ? 2 ,则 a4 与 a10 的等比中项为 8、设数列{an}是等比数列, a1 ? 512 1 1 1 1 A. B. C. ? D. ? 4 8 4 8



(a1 ? a 2 ) 2 9、 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, 则 的取值范围是____________. x, b1, b2 , y 成等比数列, b1b2
(答: (??,0] ? [4, ??) ) 。 10 、设 x, a1 , a2 , a3 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , b3 , y 成等比数列,则 ____________.(答: [4, ??) ) 。 11、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 . 若存在正整数 m(m ? 3) ,使得 am ? Sm , 则当 n ? m ( n ? N * )时,有 Sn _____ an (填“>” 、 “<” 、 “=” ) . ? 12、已知数列 {an } 为等差数列,则“ m ? n ? p ? q ”是“ am ? an ? ap ? aq ”的(A) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

(a1 ? a3 )2 的取值范围是 b1b3

5

易错原因:不注意 {an } 为常数列特殊情况. 14、 “b ? a c ”是实数 a, b, c 成等比数列的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件 (B) D. 17 (B) (D)

A.充分不必要条件 C.充要条件 易错原因:对等比数列的概念理解不全面.

15、等差数列 {an } 中,若 S9 ? 18, Sn ? 240, an?4 ? 30 ,则 n 的值为 A. 14 B. 15 C. 16 易错原因:找不到简捷的解法,用联立方程组求解时发生运算错误. 16、等差数列 {an } 中, a10 ? 0, a11 ?| a10 |, Sn 为其前 n 项的和,则 A. S1 , S2 , ???, S10 都小于 0 , S11 , S12 , ??? 都大于 0 B. S1 , S2 , ???, S10 都小于 0 , S20 , S21 , ??? 都大于 0 C. S1 , S2 , ???, S5 都小于 0 , S6 , S7 , ??? 都大于 0 D. S1 , S2 , ???, S20 都小于 0 , S21 , S22 , ??? 都小于 0 易错原因:已知条件 a11 ?| a10 | 不会灵活运用. 17、在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 a11 的值是 A. 1 B. ?1 C. 0

(C) D.不能确定

易错原因:找不到 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 与 a11 的关系. 18、若 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? ?512, a3 ? a8 ? 124 ,若公比 q 为整数,则 a10 ? (C) A. 256 B. ?256 C. 512 D. ?512

易错原因:①未考虑 q 为整数;②运算发生错误. 19、数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 1 ,则 an 为 A. 2 ? 1 B. 2 ? 1 C. 2 ? 1 D. 2 易错原因:①对取特殊值排除有些选项的意识不强;②构造新数列有困难.
n n

(C)
n ?1 n ?1

?1

20、数列 {xn } 满足 则首项 x1 等于 A. 2n ? 1

x xn x1 x ? 2 ? 3 ? ??? ? ,且 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? 8 , x1 ? 1 x2 ? 3 x3 ? 5 xn ? 2n ? 1
(D) B. n C.

8 2n ? 1

D.

8 n2

6

易错原因:①不能熟练地运用比的性质;②对连等式如何变换缺少办法. 21.已知数列 2004 , 2005 , 1 , ? 2004 , ? 2005 ,?,这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2004 项之和 S 2004 等于( D ) (A) 2005 (B) 2004 (C) 1 (D) 0

22. 已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55, 去掉一项 ak 后, 余下 10 项的算术平均值为 4. 若

a1=-5,则 k= 填 11.



解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 23. 使不等式

1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

值为 . 【答案】 2009 1 1 1 设 f ? n? ? . 显 然 f ? n? 单 调 递 减 , 则 由 f ? n? 的 最 大 值 ? ??? n ?1 n ? 2 2n ? 1

1 f ?1? ? a ? 2007 ,可得 a ? 2009 3
24.若数列 ?an ? 满足: a1 ?

2 2 , an?1 ? an ? (an ?1 ? an ) ,求 a2007 . 3 3



由 an ?1 ? an ?

2 (an ?1 ? an ) 两边平方得 3(an?1 ? an )2 ? 2(an?1 ? an ) , 3

又 3(an ? an?1 )2 ? 2(an ? an?1 ) ,两式相减,得

3(an?1 ? an?1 )(an?1 ? 2an ? an?1 ) ? 2(an?1 ? an?1 ) .
由 a1 ?

2 2 , an?1 ? an ? (an ?1 ? an ) 求得 a2 ? 2 ,又由递推关系式易知数列 ?an ? 是单 3 3
2 , 3

调递增数列,所以 an?1 ? an?1 ? 0 ,故 3(an?1 ? 2an ? an?1 ) ? 2 ,即 an ?1 ? 2an ? an ?1 ? 即 (an ?1 ? an ) ? ( an ? an ?1 ) ?

4 2 2 ,所以数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 为首项, 为公差的 3 3 3 4 2 2 等差数列,所以 an ?1 ? an ? ? (n ? 1) ? (n ? 1) ,于是 3 3 3 2 1 an ? a1 ? (2 ? 3 ? ? ? n) ? n(n ? 1) , 3 3

7

所以 a2007 ?

1 ? 2007 ? (2007 ? 1) ? 1343352 . 3

25 . 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足

a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ?

1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2

m, n ? N, m ? n .
(1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明:

1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009
1 (a 2 m ? a 2 n ) 中, 令 m ? n, 可得 a0 ? 0 ; 2


证明 ( 1) 在已知关系式 a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? 令 n ? 0 ,可得 令 m ? n ? 2 ,可得

a2m ? 4am ? 2m
a2n?2 ? a2 ? 2 ? 1 (a 2 n ? 4 ? a 2 n ) 2



由 ① 得 a2n?2 ? 4an?1 ? 2(n ? 1) , a2 ? 4a1 ? 2 ? 6 , a2n?4 ? 4an?2 ? 2(n ? 2) ,

a2n ? 4an ? 2n ,
代入②,化简得 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (2)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,得 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2 ,故数列 {an?1 ? an } 是首项为 a1 ? a0 ? 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 an?1 ? an ? 2n ? 2 . 于是 a n ?

? (ak ? ak ?1 ) ? a0 ? ? (2k ) ? 0 ? n(n ? 1) .
k ?1 k ?1

n

n

因为

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 1) ,所以 a n n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. a1 a2 a2009 2 2 3 2009 2010 2010

8


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