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必修二:第二章:2.3直线、平面垂直的判定及其性质


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明轩教育个性化辅导授课案 教师: 学生: 时间:_ 2015 _年_ _月 日 段 第__ 教学目的: 掌握判定直线和平面垂直的方法,会求直线与平面的夹角和二面角 教学重点: 掌握判定直线和平面垂直的方法 教学难点: 会求直线与平面的夹角和二面角 2.2.3 学习内容:直线、平面垂直的判定与性质 重要知识点讲解

次课

知识点一:直线与平面垂直的定义 定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直。记作 l ? ? ,直 线 l 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做垂足 符号语言:任意 a ? ? , 都有l ? a ? l ? ? ,其中“任意直线”等同于“所有直线” 规律与方法 (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形。 (2)由定义可知,若直线与平面垂直,则直线与平面内的任意一条直线垂直,这是证线线垂直的重要方法 (3)重要结论:过一点和已知平面垂直的直线只有一条 题型一: 直线与平面垂直的判定定义 例题 1 下列命题中,正确的序号是 ① 若直线 l 与平面 ? 内的无数条直线垂直,则 l ? ? ; ② 若直线 l 与平面 ? 内的一条直线垂直,则 l ? ? ③ 若直线 l 不垂直于平面 ? ,则 ? 内没有与 l 垂直的直线 ④ 若直线 l 不垂直于平面 ? ,则 ? 内也可以有无数条直线与 l 垂直 ⑤ 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 变式训练 1:直线 a 与 b 垂直,b⊥平面 ? ,则 a 与平面 ? 的位置关系是 ( ) A.a∥ ? B.a⊥ ? C.a ? ? D.a ? ? 或 a∥ ? ) 变式训练 2:已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A . m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D. m // n, n ? ? ? m ? ? )

变式训练 3:已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ( ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 知识点二:直线与平面垂直的判定定理 定理:一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 图形语言: 符号语言: (1) 推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面 (2) 直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行.
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③垂直于同一直线的两平面平行. 线面角定义:斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角 题型二 直线与平面垂直的判定定理的运用 例题 1:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。 求证:PC⊥BC

变式训练 1:已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D1 A1 D O A B B1

C1

? 面 AB1D1 . 求证: AC 1

C

题型三 :线线 、线面垂直的相互转换

例题 1:已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 与它的侧视图(或称左视图) , E 是 DD1 上一点, AE ? B1C .求证

AE ? 平面B1CD ;
A1

D1 B1

C1

D1

A1

E D
知识点二:面与面垂直 二面角 角 A 图形 边 顶点 O 边 B A 棱 l B α 定义 构成 表示 从平面内一点出发的两条射线(半 直线)所组成的图形 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

4

C
B
图5 二面角 β

A

D

2

A

从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。

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平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质 定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(面面垂直,则线面垂直) 平面角 例 1:下列说法中正确的是 ( ) A.二面角是两个平面相交所组成的图形 C1 D1 B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角 C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角 B1 A1 D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱. C D 例 2 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中: (1)求二面角 D1-AB-D 的大小; B A (2)求二面角 A1-AB-D 的大小

变式训练 1:如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长都相等,D、E 分别为 AC1,BB1 的中点。 (1)求证: DE∥平面 A1B1C1; (2)求二面角 A1—DE—B1 的大小。
A

D

A1 C1

B

C
E

B1

两个平面垂直 例 1:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求证: 平面 A1C1CA⊥面 B1D1DB . D1 A1 D A B B1 C C1

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变式训练 1:如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点, 求证:(1)平面 PED⊥平面 PAB ; (2)求二面角 F-AB-D 的正切值. P F D A E B C

变式训练 2.:判断下列命题是否正确,并说明理由: ① α ⊥γ , β ⊥γ , 则α //β ; ②若α ⊥β , β ⊥γ , 则α ⊥γ ; ③若α //α 1, β //β 1, α ⊥β , 则α 1⊥β 1, 变式训练 3:已知直线 PA 垂直于?O 所在的平面,A 为垂足,AB 为?O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的一点。 1) 求证:平面 PAC?平面 PBC; 2) 若PA ? AB ? a, AC ? 6 a, 求二面角A? PB? C的大小 3

随堂练习 1.若 m ,n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( ) A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ?

2.下列命题中,不正确的是( ) A. 一条直线垂直于平面内无数条直线,则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3.已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,点 P∈ l ,则给出下面四个结论: ①过 P 和 l 垂直的直线在平面 ? 内; ③过 P 和 l 垂直的直线必与 ? 垂直; A. ② B. ③ ②过 P 和平面 ? 垂直的直线在平面 ? 内; ④过 P 和平面 ? 垂直的平面必与 l 垂直。其中真命题是: ( C. ①、④ D. ②、③ )

4、关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题:
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① m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ③ m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; A. ①、② B. ③、④

② m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ④ m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n .其中真命题的序号是( C. ①、④ D. ②、③ )

5.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( ) A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?

6. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1, 2
M 是 PB 的中点。 (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。

垂直问题的转化关系 判定 判定 线线垂直 线面垂直 面面垂直 性质 性质 小结:两个平面互相垂直的判定方法有: (1)定义法,即说明这两个平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理,即一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直; (3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面. (一)二面角的计算方法: 1 用定义作二面角的平面角 ○ 2 用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面, ○ 则该垂面与二面角的两个 半平面交线所成的角就是二面角的平面角. 3 面积法:如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形,且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ ,则 ○ cosθ =

S 射影多边形面积 S原多边形面积

.

(二)求作二面角的平面角 求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种: 1.定义法:利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线 所成角就是二面角的平面角. 2.三垂线法:利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键在找面的垂线. 3.垂面法: 作一与棱垂直的平面, 该垂面与二面角两半平面相交, 得到交线, 交线所成的角为二面角的平面角.
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4.面积法:如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形,且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ , 则 cosθ =

S 射影多边形面积 S原多边形面积

5.等体积法:利用多面体(一般是三棱锥)体积相等,先求得多面体体积,再求三垂线法中垂线的大小 注意: 求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法 去找),然后借助于解三角形求出平面角 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ① 定义:两条直线所成的角为 90° ; ② 平面几何中证明线线垂直的方法; ③ 线面垂直的性质:a⊥α ,b?α?a⊥b; ④ 线面垂直的性质:a⊥α ,b∥α ?a⊥b (2)证明线面垂直的方法 ① 线面垂直的定义:a 与α 内任何直线都垂直?a⊥α ;

3 判定定理 2:a∥b,a⊥α ?b⊥α ; ○ 4 面面平行的性质:α ∥β ,a⊥α ?a⊥β ; ○ 5 面面垂直的性质:α ⊥β ,α ∩β =l,a?α,a⊥l?a⊥β . ○ (3)证明面面垂直的方法 1 利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ○ 2 判定定理:a?α,a⊥β ?α⊥β ○

课后练习

考向一 直线与平面垂直的判定与性质

【例 1】在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO ⊥平面 ABCD. 证明:AD⊥平面 PAC.

方法总结:(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②a∥b,a⊥α ?b⊥α ; ② α ∥β ,a⊥α ?a⊥β ;④面面垂直的性质. (2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直 训练一:如图所示,EA⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,AC⊥BC,且 AC=BC=BD=2AE,M 是 AB 的中点 (Ⅰ)求证:CM⊥EM; (Ⅱ)求 CM 与平面 CDE 所成的角

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考向二 平面与平面垂直的判定与性质 【例 2】如图所示,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD =2AD=8,AB=2DC= 4 5 .M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD

方法总结:面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有:判定定理法、平行线法(若两条平行线中 一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法,本题就是用的面面垂直性质定理法, 这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法 【训练 2】 如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M

考向三 平行与垂直关系的综合应用 【例 3】?如图, 在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

方法总结:解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作用,空间平行、垂 直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合,准确识图,灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的 平行与垂直关系是证明的关键
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【训练 3】 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (1) 求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.

考向四 线面角 【例 4】如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2 AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小

方法总结:求直线与平面所成的角,一般分为两大步: (1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成; (2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 【训练 4】如图,已知 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q 分别为 AE, AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值

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【例题 5】如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2 ,⊙O 的直径 AB=2,点 C 在 ? AB 上,且∠CAB=30°,D 为 AC 的中点. (1)证明:AC⊥平面 POD; (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值

方法总结:本题考查垂直关系的证明,线面角的求解及逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.试题的难 点是第二问的线面角,其中作出线面角是解题的关键,作线面角就是找直线上的点在平面内的射影,一个根本的 方法就是通过两个平面互相垂直的性质定理得出点在平面上的射影 专项突破——证明过程推理不严密而丢分 【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题,难度为中低档题,大多数考生会做而得不到全 分,往往因为推理不严密,跳步作答所致. 【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程,不可跨 度太大,以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯 【典型例题】如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

【试一试】 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中点, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 2 AD。 (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD
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求二面角: 题 1、四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC=2,CD= 2 ,AB=AC (Ⅰ)证明:AD⊥CE; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45° , ,求二面角 C-AD-E 的大小的余弦值

题 2: 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱 形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M. (Ⅰ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 ADMN; (Ⅲ)求以 AD 为棱,PAD 与 ADMN 为面的二面角的大小

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