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高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时作业 理


课时作业 3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题 1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题 p:? n∈N,n >2 ,则┑p 为( A.? n∈N,n >2
2 2 2

n

)

n

B.? n∈N,n ≤2
n

2

n

C.? n∈N,n ≤2

D.? n∈N,n =2

2

n

解析:根据特称命题的否定为全称命题得:┑p:? n∈N,n ≤2 . 答案:C 2.(2015·浙江卷)命题“? n∈N ,f(n)∈N ,且 f(n)≤n”的否定形式是( A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0 解析:根据全称命题的否定为特称命题,则命题“? n∈N ,f(n)∈N ,且 f(n)≤n”的 否定形式是:? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0. 答案:D 3.已知命题
* * * * * * * * * * * * * *

2

n

)

p:对任意 x∈R,总有|x|≥0; q:x=1 是方程 x+2=0 的根
则下列命题为真命题的是( A.p∧(┑q) C.(┑p)∧(┑q) ) B.(┑p)∧q D.p∧q

解析:由题知 p 真 q 假,∴┑q 为真, ∴p∧┑q 为真. 答案:A 4.已知 p,q 为两个命题,则“p 是真命题”是“p∨q 是真命题”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:p 是真命题,无论 q 是真是假, “p∨q”必为真命题,但“p∨q”为真命题,有 可能 p 假 q 真,故为充分不必要条件. )

1

答案:A 1+i 5.已知命题 p:复数 z= 在复平面内所对应的点位于第四象限,命题 q:? x0>0, i

x0=cosx0,则下列命题中为真命题的是(
A.(┑p)∧(┑q) C.p∧(┑q)

)

B.(┑p)∧q D.p∧q

1+i 解析:z= =1-i,其对应的点位于第四象限,故命题 p 为真命题;由数形结合可 i 知,命题 q 也是真命题.故 p∧q 为真命题. 答案:D 6.已知命题 p:? x∈R,2x -2x+1≤0,命题 q:? x∈R,使 sinx+cosx= 2,则下 列判断: ①p 且 q 是真命题;②p 或 q 是真命题;③q 是假命题;④非 p 是真命题 其中正确的是( A.①④ C.③④ ) B.②③ D.②④
2

解析:由题意知 p 假 q 真,故②④正确,选 D. 答案:D 7.已知命题 p:函数 y=2-a
x+1

的图象恒过定点(1,2);命题 q:若函数 y=f(x-1) )

为偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,则下列命题为真命题的是( A.p∨q C.(┑p)∧q 解析:函数 y=2-a
x+1

B.p∧q D.p∨(┑q) 的图象可看成是先把函数 y=a 的图象向左平移一个单位,再将
x x

所得图象沿 x 轴作翻折, 最后再将所得图象向上平移 2 个单位得到, 而 y=a 的图象恒过(0, 1),所以 y=2-a
x+1

的图象恒过点(-1,1),因此 p 为假命题;若函数 f(x-1)为偶函数,

即图象关于 y 轴对称, f(x)的图象即 f(x-1)的图象向左平移一个单位得到, 所以 f(x)的图 象关于直线 x=-1 对称,因此 q 为假命题,故 p∨(┑q)为真命题,故选 D. 答案:D 8.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 的命题中为假命题的是( )
2

A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.? x∈R,f(x)≥f(x0) C.? x∈R,f(x)≤f(x0) D.? x∈R,f(x)≥f(x0)

2

解析:由题知:x0=- 为函数 f(x)图象的对称轴方程,所以 f(x0)为函数的最小值, 2a 即对所有实数 x,都有 f(x)≥f(x0).因此? x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,选 C. 答案:C 二、填空题 9.命题“? x∈R,x -x≥0”的否定是________. 解析:全称命题的否定为特称命题,故命题“? x∈R,x -x≥0”的否定是“? x0∈R,
2 2

b

x2 . 0-x0<0”
答案:? x0∈R,x0-x0<0 10. 若“x∈[2, 5]或 x∈(-∞, 1)∪(4, +∞)”是假命题, 则 x 的取值范围是________.
?x<2或x>5, ? 解析:根据题意得? 解得 1≤x<2,故 x∈[1,2). ?1≤x≤4, ?
2

答案:[1,2)

? π? 11.(2015·山东卷)若“? x∈?0, ?,tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为 4? ?
________.

? π? 解析:要使“? x∈?0, ?,tanx≤m”成立, 4? ? ? π? 只需 m≥(tanx)max,x∈?0, ?. 4? ? ? π? ∵正切函数 y=tanx 在 x∈?0, ?上单调递增, 4? ?
π ∴(tanx)max=tan =1, 4 ∴m≥1,故实数 m 的最小值为 1. 答案:1 12.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞), 则实数 a 的值是________. 解析:因为存在 x∈R,使 x +2x+m≤0 是假命题,所以对任意 x∈R 都有 x +2x+m>0, 因此Δ =4-4m<0,即 m>1,故 a=1. 答案:1
2 2 2

1.下列命题的否定为假命题的是( A.? x∈R,x +2x+2≤0 B.? x∈R,lgx<1
2

)

3

C.所有能被 3 整除的整数都是奇数 D.? x∈R,sin x+cos x=1 解析:对 A,因为 x +2x+2=(x+1) +1>0,所以? x∈R,x +2x+2≤0 是假命题,其 否定为真命题. 对 B, 当 x>10 时, lgx>1, 所以? x∈R, lgx<1 是假命题, 其否定为真命题. 对 C,6 能被 3 整除,但 6 是偶数,所以这是假命题,其否定为真命题.对 D,显然成立,所以 其否定是假命题.选 D. 答案:D 2.(2016·山西考前监测)给定下列三个命题:
2 2 2 2 2

p1:函数 y=ax+x(a>0,且 a≠1)在 R 上为增函数; p2:? a,b∈R,a2-ab+b2<0; p3:cosα =cosβ 成立的一个充分不必要条件是 α =2kπ +β (k∈Z).
则下列命题中的真命题为( A.p1∨p2 C.p1∨(┑p3) ) B.p2∧p3 D.(┑p2)∨p3

0 -1 1 ?1? ?1? 解析:对于 p1:令 y=f(x),当 a= 时,f(0)=? ? +0=1,f(-1)=? ? -1=1, 2 ?2? ?2? 2 ? 1 ? 3 2 2 2 所以 p1 为假命题;对于 p2:a -ab+b =?a- b? + b ≥0,所以 p2 为假命题;对于 p3:由 ? 2 ? 4 cosα =cosβ ,可得 α =2kπ ±β (k∈Z),所以 p3 是真命题,所以(┑p2)∧p3 为真命题,故 选 D. 答案:D

? π? 3.已知命题 p:? x0∈(-∞,0),3x0<4x0,命题 q:? x∈?0, ?,tanx>x.则下列命 2? ?
题中为真命题的是( A.p∧q C.p∧(┑q) ) B.p∨(┑q) D.(┑p)∧q

解析:由指数函数的单调性可知命题 p:? x0∈(-∞,0),3x0<4x0 为假,则命题┑p

? π? 为真;易知命题 q:? x∈?0, ?,tanx>x 为真.则命题┑q 为假.根据复合命题的真值表 2? ?
可知命题 p∧q 为假,命题 p∨(┑q)为假,命题 p∧(┑q)为假,命题(┑p)∧q 为真,故选 D. 答案:D 4.已知函数 f(x)=x +mx+1,若命题“? x0>0,f(x0)<0”为真,则 m 的取值范围是 ________. 解析:因为函数 f(x)=x +mx+1 的图象过点(0,1),若命题“? x0>0,f(x0)<0”为真,
4
2 2

则函数 f(x)=x +mx+1 的图象的对称轴必在 y 轴的右侧, 且与 x 轴有两个交点, 所以 Δ =

2

m m2-4>0,且- >0,即 m<-2,所以 m 的取值范围是(-∞,-2).
2 答案:(-∞,-2) 5.某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院之后发 现,当天正在放映 A,B,C,D,E 五部影片,于是他们商量一起看其中的一部影片: 小赵说:只要不是 B 就行; 小张说:B,C,D,E 都行; 小李说:我喜欢 D,但是只要不是 C 就行; 小刘说:除了 E 之外,其他的都可以. 据此判断,他们四人可以共同看的影片为________. 解析:小赵可以看的电影的集合为{A,C,D,E},小张可以看的电影的集合为{B,C,D,

E},小李可以看的电影的集合为{A,B,D,E},小刘可以看的电影的集合为{A,B,C,D},
这四个集合的交集中只有元素 D,故填 D. 答案:D

5


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