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内蒙古包头市包头一中届高三模拟考试数学试题及答案(理)

包头一中高三年级校一模考试(数学理科试卷)
命题人:马丽 审题人: 刘胤国 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的). 1. 已知集合 P ? { x | x( x ? 3) ? 0 } , Q ? { x || x |? 2 } ,则 P ? Q ? ( A. ( ? 2 , 0 ) 2. B. ( 0 , 2 ) C. ( 2 , 3 ) ) C. 1 ? 2 i D. 2 ? i D. ( ? 2 , 3 ) )

i 是虚数单位,复数

3?i = ( 1? i

A. 2 ? i 3.将函数 y ? sin( x ?

B. 1 ? 2i

?
6

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上各 4

点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( A. y ? sin(2 x ?



5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 2

5? )( x ? R ) 12 5? )( x ? R ) 24
)

C. y ? sin( ?

x ? )( x ? R) 2 12

D. y ? sin( ?

x 2

4.已知函数

f ? x ? 的定义域为(-3,0),则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为(
(B) ? ?1,

(A) ? ?1,1?

? ?

1? ? 2?

(C) ? -1, 0 ?

(D) ?

?1 ? ,1? ?2 ?
)

5.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

(A)2

(B)1 (C)

2 3
? 1 2

(D)

1 3

6.已知 x=lnπ ,y=log52, z ? e (A)x<y<z (B)z<x<y

,则(

) (D)y<z<x

(C)z<y<x

7. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题:

①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ;

②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ;

③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么 n与? 相交; ④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是 ( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④

8.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = ( )

n 2 7n ? A. 4 4

n 2 5n ? B. 3 3

n 2 3n ? C. 2 4

D. n ? n
2

9. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为(
(A) 4 (B) 8

) (C) 16
2n

(D) 32

10. 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 2 ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a 3 ?
A. n(2n ? 1)
11 . 已 知 圆

? log 2a 2 n? 1 ?(

) C. n
2

B. (n ? 1) 2
2 2

2

D. (n ? 1)2
2

C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分 别 是 圆


C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 (
A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 )
2

D. 17

12.下列五个命题中正确命题的个数是(

(1)对于命题 p : ?x ? R, 使得x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ; (2) m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? my ? 2 ? 0 与直线 m x ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件;

? =1.23x+ (3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 y 0.08
(4).若实数 x, y ???1, 1? ,则满足 x 2 ? y 2 ? 1 的概率为 (5) 曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积是 S ?
2
1

? . 4
2

? ( x ? x )dx
0

A.2

B.3

C.4

D.5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.执行如图所示的程序框图,输出的 S =

n ? 10 ?

S ? S ? n?2n

14. (1 ? x ? x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_______.
2 6

1 x

? x ? y ? 5 ? 0, ? 15.若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形, ?0 ? x ? 2 ?
则实数 k 的取值范是
2

.

x y2 16.设 F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在 一点 P,使(→ OP +→ OF2 )·→ F2P =0(O 为坐标原点) ,且|→ PF1 |= 3|→ PF2 |,则双曲线的离心 率为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分) .设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (I) (II)

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2

求 f ? x ? 的值域; 记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 , 求 a 的值。

18. (本题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于点 O, 且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点,又 BO=2 , PO= 2 , PB⊥PD.

(Ⅰ) 求二面角 P-AB-C 的大小; (Ⅱ) 设点 M 在棱 PC 上,且

PM ? ? ,问? 为何值时,PC⊥平面 BMD. MC

19.(本题满分 12 分) 前不久, 省社科院发布了 2013 年度“城市居民幸福排行榜”, 某市成为本年度城市最“幸福城”. 随后,某校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查 人群中随机抽取 16 名, 如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字 为茎,小数点后的一位数字为叶): (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值;

(Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. 21.(本题满分 12 分).已知函数 f(x)=

x ,g(x)=alnx,a ? R。

(1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的 方程; (2) 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 ? (a)的解析式; (3) 对(2)中的 ? (a) ,证明:当 a ? (0,+ ? )时, ? (a) ? 1. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E , A 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; E (2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB
2

O M B D C

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ?

? x ? 1 ? t cos ? . ? x ? cos ? , (t 为参数) ,圆 C2 : ? ( ? 为参数), ? y ? t sin ? , ? y ? sin ? ,
时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅰ)当 ? =

?
3

(Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线.

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a, m 的值。 (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? f ( x ? 2) 。

试卷答案(仅供参考)
一、选择: 1 B 2 A 3 B 4 B 5 B 6 D 7 D 8 A 9 B 10 C 11 A 12 A

二、填空题 13.8194 17. (1)值域【0,2】 18.解:18.解法一: 14.-5 (2)a=1 或 2 平面 , 由平面几何知识得: (Ⅰ)连结 , 为二面角 的平面角 , ; 又 15. 16.

, (Ⅱ)连结 又在 , 平面 中,

二面角的大小为 平面 , ,

, 解法二: 平面

故 又

时, ,

平面 ,得:



为原点, ,

分别为 ,

轴建立如图所示的空间直角坐标系, , , , , , ,

各点坐标为 (Ⅰ)设平面

的一个法向量为







, 又 已 知 平 面 ABCD 的 一 个 法 向 量

, 角的大小为 平面 (Ⅱ)设 , ,由于

又二面角 三点共线,

为锐角,

所求二面 ,

由(1)(2)知:







时,

平面



19.解:(1)众数:8.6;
( 2 )设

中位数:8.75 ;……………………………2 分 ,则

表示所取 3 人中有 个人是 “ 极幸福 ” ,至多有 1 人是 “ 极幸福 ” 记为事件

; (3) 的可能取值为 0,1,2,3. ; ; 所以 的分布列为:

…………………6 分

; ……..……………..10 分

.

………..……….…12 分

另解: 的可能取值为 0,1,2,3.则



.

所以

=



20. (本题 12 分) (Ⅰ) 设P (x, y) , 由椭圆定义可知, 点 P 的轨迹 C 是以 为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 ,

故曲线 C 的方程为 (Ⅱ)设



3分

,其坐标满足

消去 y 并整理得





.5分



,即





,于是



化简得 (Ⅲ)

,所以



8分



因为 A 在第一象限,故 故

.由

知 .

,从而 12 分

.又



,即在题设条件下,恒有

21。解 (1)f’(x)= 由已知得 =alnx

,g’(x)=

(x>0),

=
2

, 解 a=

,x=e ,

2

两条曲线交点的坐标为(e ,e)

2

切线斜率

k=f’(e )=

1 2e

切线的方程为 y-e=

1 1 e 2 (x- e ). y= x+ 2e 2e 2

(2)令 h( x) ?

x ? a ln x( x ? 0) 则
? a ? x x ? 2a 2x
, )上递减;

h ' ( x) ?

1 2 x

Ⅰ 当 a.>0 时,令 h (x)=0,解得 x= 所以当 0 < x< 当 x> 所以 x>

时 h (x)<0,h(x)在(0,

时,h (x)>0,h(x)在(0,

)上递增。

是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小 )= 2a-aln =2

值点。 所以Φ (a)=h(

Ⅱ当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ (a)的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知Φ (a)=2a(1-ln2a) 1 1 则 Φ (a )=-2ln2a,令Φ (a )=0 解得 a =1/2 1 当 0<a<1/2 时,Φ (a )>0,所以Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增 1 当 a>1/2 时, Φ (a )<0,所以Φ (a ) 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ (a )在(0, +∞)处取得极大值Φ (1/2 )=1 因为Φ (a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以Φ (1/2)=1 也是Φ (a)的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时,总有Φ (a) ≤ 1 四、选做题 22.证明:22.证明: (1)连接 又 又 所以 (2)延长 交圆 于点 是 BC 的中点,所以 , 所以 所以 因为 、 、 .…………………………3 分 、 四点共圆 …………5 分 、 ,则

……………7 分

所以 所以 ………………10 分

23. 【规范解答】 (I)当

时,C1 的普通方程为

,C2 的普通方程为

. 联立方程组 (II)C1 的普通方程为 点坐标为

解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) , . ,故当 变化时, 点轨迹的参数方程为



为参数)

点轨迹的普通方程为



点是圆心为

,半径为

的圆.


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