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2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案:第一章1.11.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念-含解析


数学 1.1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念 预习课本 P2~6,思考并完成下列问题 (1)平均变化率的定义是什么?平均变化率的几何意义是什么? (2)瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率? (3)如何用定义求函数在某一点处的导数? [新知初探] 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 Δy f?x2?-f?x1? (1)定义式: = . Δx x2-x1 (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义: 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两点, 函数 y=f(x)的平均变化率 AB 的斜率,如图所示. [点睛] Δx 是变量 x2 在 x1 处的改变量,且 x2 是 x1 附近的任 意一点,即 Δx=x2-x1≠0,但 Δx 可以为正,也可以为负. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 定义式 实质 作用 →0 liΔx m f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim Δx Δx→0 Δx Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? = = 为割线 Δx Δx x2-x1 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时,平均变化率趋近的值 刻画函数在某一点处变化的快慢 [点睛] “Δx 无限趋近于 0”的含义 Δx 趋于 0 的距离要多近有多近, 即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数, 且始终 Δx≠0. 3.导数的概念 定义式 记法 实质 →0 liΔx m f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim Δx Δx→0 Δx f′(x0)或 y′|x=x0 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 数学 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关.( ) ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( (3)在导数的定义中,Δx,Δy 都不可能为零.( 答案:(1)√ (2)× (3)× ) ) 2.质点运动规律为 s(t)=t2+3,则从 3 到 3+Δt 的平均速度为( A.6+Δt C.3+Δt 答案:A B.6+Δt+ D.9+Δt 9 Δt 3.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上两点 A,B,且 xA=1,xB=1.1,则函数 f(x)从 A 点 到 B 点的平均变化率为( A.4 C.4.2 答案:C 4.在 f′(x0)= lim → A.大于 0 C.等于 0 答案:C Δx 0 ) B.4x D.4.02 f?x0+Δx?-f?x0? 中,Δx 不可能为( Δx B.小于 0 ) D.大于 0 或小于 0 求函数的平均变化率 [典例] 1 求函数 f(x)=x2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率, 取 Δx 的值为 , 哪一点附近的 3 平均变化率最大? [解] 在 x=1 附近的平均变化率为 f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-1 k1= = =2+Δx; Δx Δx 在 x=2 附近的平均变化率为 f?2+Δx?-f?2? ?2+Δx?2-22 k2= = =4+Δx; Δx Δx 在 x=3 附近的平均变化率为 数学 f?3+Δx?-f?3? ?3+Δx?2-32 k3= = =6+Δx; Δx Δ

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