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2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案:第一章1.11.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念-含解析

数学 1.1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念 预习课本 P2~6,思考并完成下列问题 (1)平均变化率的定义是什么?平均变化率的几何意义是什么? (2)瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率? (3)如何用定义求函数在某一点处的导数? [新知初探] 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 Δy f?x2?-f?x1? (1)定义式: = . Δx x2-x1 (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义: 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两点, 函数 y=f(x)的平均变化率 AB 的斜率,如图所示. [点睛] Δx 是变量 x2 在 x1 处的改变量,且 x2 是 x1 附近的任 意一点,即 Δx=x2-x1≠0,但 Δx 可以为正,也可以为负. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 定义式 实质 作用 →0 liΔx m f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim Δx Δx→0 Δx Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? = = 为割线 Δx Δx x2-x1 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时,平均变化率趋近的值 刻画函数在某一点处变化的快慢 [点睛] “Δx 无限趋近于 0”的含义 Δx 趋于 0 的距离要多近有多近, 即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数, 且始终 Δx≠0. 3.导数的概念 定义式 记法 实质 →0 liΔx m f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim Δx Δx→0 Δx f′(x0)或 y′|x=x0 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 数学 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关.( ) ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( (3)在导数的定义中,Δx,Δy 都不可能为零.( 答案:(1)√ (2)× (3)× ) ) 2.质点运动规律为 s(t)=t2+3,则从 3 到 3+Δt 的平均速度为( A.6+Δt C.3+Δt 答案:A B.6+Δt+ D.9+Δt 9 Δt 3.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上两点 A,B,且 xA=1,xB=1.1,则函数 f(x)从 A 点 到 B 点的平均变化率为( A.4 C.4.2 答案:C 4.在 f′(x0)= lim → A.大于 0 C.等于 0 答案:C Δx 0 ) B.4x D.4.02 f?x0+Δx?-f?x0? 中,Δx 不可能为( Δx B.小于 0 ) D.大于 0 或小于 0 求函数的平均变化率 [典例] 1 求函数 f(x)=x2 在 x=1,2,3 附近的平均变化率, 取 Δx 的值为 , 哪一点附近的 3 平均变化率最大? [解] 在 x=1 附近的平均变化率为 f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-1 k1= = =2+Δx; Δx Δx 在 x=2 附近的平均变化率为 f?2+Δx?-f?2? ?2+Δx?2-22 k2= = =4+Δx; Δx Δx 在 x=3 附近的平均变化率为 数学 f?3+Δx?-f?3? ?3+Δx?2-32 k3= = =6+Δx; Δx Δx 1 1 7 1 13 若 Δx= ,则 k1=2+ = ,k2=4+ = , 3 3 3 3 3 1 19 k3=6+ = , 3 3 由于 k1<k2<k3, 故在 x=3 附近的平均变化率最大. 求平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量 Δy=f(x1)-f(x0). (2)再计算自变量的改变量 Δx=x1-x0. Δy f?x1?-f?x0? (3)求平均变化率 = . Δx x1-x0 [活学活用] 1 求函数 y=x3 从 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率,并计算当 x0=1,Δx= 时平均变化率 2 的值. 解: 当自变量从 x0 变化到 x0 + Δx 时,函数的平均变化率为 ?x0+Δx?3-x3 0 Δx 2 =3x2 0+3x0Δx+(Δx) , Δy f?x0+Δx?-f?x0? = = Δx Δx 1 当 x0=1,Δx= 时平均变化率的值为 2 1 1?2 19 3×12+3×1× +? = . 2 ?2? 4 求瞬时速度 [典例] 一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)=3t-t2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在 t=2 时的瞬时速度. [解] (1)当 t=0 时的速度为初速度.在 0 时刻取一时间段[0,0+Δt],即 [0,Δt], ∴Δs=s(Δt)-s(0)=[3Δt-(Δt)2]-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2, 数学 Δs 3Δt-?Δt? Δs →0 =liΔtm →0 (3-Δt)=3. = =3-Δt,liΔtm Δt Δt Δt 2 ∴物体的初速度为 3. (2)取一时间段[2,2+Δt], ∴Δs=s(2+Δt)-s(2) =[3(2+Δt)-(2+Δt)2]-(3×2-22) =-Δt-(Δt)2, Δs -Δt-?Δt? = =-1-Δt, Δt Δt 2 →0 liΔtm Δs →0 (-1-Δt)=-1, =liΔtm Δt ∴当 t=2 时,物体的瞬时速度为-1. 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0). Δs (2)求平均速度 v = ; Δt Δs (3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于常数 v,即为瞬时速度. Δt 2.求 Δ

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